что такое радиус сходимости степенного ряда

Степенные ряды

Радиус и круг сходимости степенного ряда.

Функциональные ряды вида
$$
\sum_^<\infty>c_(\zeta — a)^,\label
$$
где \(c_\ (n = 1, 2, \ldots)\) и \(a\) — заданные комплексные числа, \(\zeta\) — комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа \(c_\) — коэффициентами степенного ряда \eqref.

Полагая в \eqref \(z = \zeta — a\), получим ряд
$$
\sum_^<\infty>c_z^,\label
$$
исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда \eqref.

Если степенной ряд \eqref сходится при \(z = z_ <0>\neq 0\), то он сходится, и притом абсолютно, при любом \(z\) таком, что \(|z| |z_<1>|\).

Так как ряд \eqref сходится в точке \(z_<0>\), то должно выполняться условие
$$
\lim_c_z_<0>^ = 0,\nonumber
$$
откуда следует ограниченность последовательности \(\z_<0>^\>\), то есть
$$
\exists M > 0: \forall n \in \mathbb \rightarrow |c_z_<0>^| \leq M.\label
$$
Используя неравенства \eqref и \eqref, получаем
$$
|c_z^| = |c_z_<0>^|\left|\frac>\right|^ \leq M q^,\ \mbox<где>\ 0 \leq q Следствие 1.

Если ряд \eqref сходится в точке \(z_ <0>\neq 0\), то в круге \(K_ <1>= \

Если ряд \eqref сходится в точке \(z_ <0>\neq 0\), то ряды
$$
\sum_^<\infty>c_z^,\quad m \in \mathbb,\label
$$
$$
\sum_^<\infty>nc_z^\label
$$
сходятся абсолютно в круге \(K_<0>\), а в круге \(K_<1>\) — абсолютно и равномерно.

\(\circ\) Для ряда \eqref в круге \(K_<0>\) выполняется неравенство
$$
|c_z^| \leq \frac<|z_<0>|^>q^,\ 0 \leq q 0\), \(B > 0\), \(0 \leq q Теорема 2.

Для всякого степенного ряда \eqref существует \(R\) (\(R \geq 0\) — число или \(+\infty\)) такое, что:

\(\circ\) Пусть \(D\) — множество всех точек сходимости ряда \eqref. Это непустое множество, так как в точке \(z = 0\) ряд \eqref сходится.

Если \(D\) — неограниченное множество, то ряд \eqref сходится в произвольной точке \(\tilde\) комплексной плоскости. В самом деле, возьмем точку \(z_ <0>\in D\) такую, что \(|\tilde| R\). Тогда \(z’ \in D\) (по определению точной верхней грани), и поэтому ряд \eqref расходится в точке \(z’\). \(\bullet\)

На границе круга \(K\) ряд \eqref может как сходиться, так и расходиться. В любом меньшем круге \(K_ <1>= \

Если \(R\) — радиус сходимости степенного ряда \eqref, причем \(0 Доказательство.

\(\circ\) Теорема приводится без доказательства. \(\bullet\)

Если существует конечный или бесконечный \(\displaystyle\lim_ \sqrt[n]<|c_|>\), то для радиуса \(R\) сходимости ряда \eqref справедлива формула
$$
\frac<1> = \lim_ \sqrt[n]<|c_|>,\label
$$
а если существует конечный или бесконечный \(\displaystyle\lim_ \left|\frac>>\right|\), то
$$
R = \lim_ \left|\frac>>\right|,\label
$$

\(\circ\) Докажем формулу \eqref. Обозначим \(\rho = \displaystyle\lim_ \sqrt[n]<|c_|>\).

Пределы \eqref и \eqref могут не существовать. Однако имеется универсальная формула для вычисления радиуса сходимости \(R\) степенного ряда \eqref, а именно формула
$$
\frac<1> = \overline<\lim_> \sqrt[n]<|c_|>,\label
$$
которую называют формулой Коши-Адамара.

Найти радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_z^\),

Найти радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>2^z^<5n>\).

\(\vartriangle\) Обозначим \(2z^ <5>= t\). Тогда \(\displaystyle\sum_^<\infty>2^z^ <5n>= \sum_^<\infty>t^\), причем ряд \(\sum_^<\infty>t^\) сходится, если \(|t| 1\). Поэтому ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>2^z^<5n>\) сходится, если \(2|z|^ <5>\displaystyle\frac<1><\sqrt[5]<2>>\). Итак, радиус сходимости \(R = \displaystyle\frac<1><\sqrt[5]<2>>\). Тот же результат следует из формулы \eqref, так как
$$
\overline<\lim_> \sqrt[n]<|c_|> = \lim_ \sqrt[5n]<2^> = \sqrt[5]<2>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Для степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) круг сходимости \(K\) имеет вид \(K = \ — R, x_ <0>+ R)\) называют интервалом сходимости, a \(R\) — радиусом сходимости ряда \eqref. Радиус сходимости ряда \eqref совпадает с радиусом сходимости ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_(z — x_<0>)^\), где \(z\) — комплексное переменное. При \(R = 0\) ряд \eqref сходится лишь в точке \(x = x_<0>\), а при \(R = +\infty\) — на всей числовой прямой.

Регулярные функции.

Введем понятие функции комплексного переменного. Пусть каждой точке \(z \in E\), где \(E\) — множество точек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплексное число \(w\). Тогда говорят, что на множестве \(E\) определена функция комплексного переменного, и пишут \(w = f(z)\), где символом \(f\) обозначено правило (закон), определяющее это соответствие.

Понятия предела, непрерывности, производной для функции комплексного переменного вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для функции действительного переменного. Если
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta_ <\varepsilon>> 0: \forall z: |z — a| Определение.

Функция комплексного переменного \(f(z)\) называется регулярной (однозначной аналитической, голоморфной) в точке \(a\), если она определена в некоторой окрестности точки \(a\) и представима в некотором круге \(|z — a| 0\), сходящимся к \(f(z)\) степенным рядом
$$
f(z) = \sum_^<\infty>c_(z — a)^.\label
$$

Отметим, что любой многочлен, то есть функция вида \(P(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^\), является регулярной функцией в каждой точке комплексной плоскости.

Рациональная функция \(f(z) = \displaystyle\frac(z)>(z)>\), где \(P_\) и \(Q_\) — многочлены степени \(n\) и \(m\) соответственно, регулярна в каждой точке \(a\), в которой \(Q_ \neq 0\). Если многочлены \(P_\) и \(Q_\) не имеют общих корней и если \(z = z_<0>\) — корень многочлена \(Q_(z)\), то \(\displaystyle\lim_>f(z) = \infty\), а точку \(z_<0>\) называют полюсом функции \(f(z)\). Полюсы — один из типов особых точек функций комплексного переменного.

В теории функций комплексного переменного доказывается, что на границе круга сходимости степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) лежит хотя бы одна особая точка его суммы \(f(z)\) и что радиус сходимости этого ряда равен расстоянию от точки \(a\) до ближайшей к \(a\) особой точки функции \(f(z)\).

В частности, если \(f(z) = \displaystyle\frac(z)>(z)>\), причем многочлены \(P_\) и \(Q_\) не имеют общих корней, то радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) равен расстоянию от точки \(a\) до ближайшего к этой точке корня многочлена \(Q_(z)\), то есть
$$
R = \min_ <1 \leq k m>|z_ — a|,\nonumber
$$
где \(z_ (k = \overline<1, m>)\) — корни многочлена \(Q_(z)\) (предполагается, что \(a \neq z_\), \(k = \overline<1, m>\)).

Функция \(f(z)\), регулярная в точке \(a\), единственным образом представляется рядом \eqref.

\(\circ\) Пусть функция \(f(z)\) имеет два представления в виде степенного ряда \eqref в круге \(K = \ $$
f(z) = \sum_^<\infty>c_(z — a)^ = \sum_^<\infty>\tilde_(z — a)^.\label
$$
Докажем, что \(c_ = \tilde_\) для \(n = 0, 1, 2, …\)

По условию ряды \(\displaystyle\sum_^<\infty>c_(z — a)^\) и \(\displaystyle\sum_^<\infty>\tilde_(z — a)^\) сходятся в круге \(K\), и поэтому (см. следствие 1 из теоремы 1) эти ряды сходятся равномерно в круге \(K_ <1>= \

Свойства степенных рядов.

\(\circ\) Пусть \(R\), \(R_<1>\) и \(R_<2>\) — радиусы сходимости рядов \eqref, \eqref и \eqref соответственно, \(K\), \(K_<1>\) и \(K_<2>\) — круги сходимости этих рядов. Докажем, что
$$
R_ <1>= R = R_<2>.\label
$$

Так как \(\displaystyle\frac<1> \leq 1 \leq n\) для любого \(n \in \mathbb\), то
$$
\left|\frac>z^\right| \leq |z| \cdot |c_z^| \leq |z|^ <2>\cdot |nc_z^|.\label
$$
Неравенства \eqref справедливы при любом \(n \in \mathbb\) и при любом \(z\).

\(\circ\) Рассмотрим ряд
$$
\sum_^ <\infty>k a_ (x — x_<0>)^.\label
$$
составленный из производных членов ряда \eqref. По теореме 6 ряд \eqref имеет тот же радиус сходимости, что и ряд \eqref, а по следствию 1 из теоремы 1 ряд \eqref сходится равномерно на отрезке \(\Delta_ <\rho>= [x_ <0>— \rho, x_ <0>+ \rho]\), где \(\rho\) — произвольное число такое, что \(0 Следствие.

Коэффициенты ряда \eqref, имеющего радиус сходимости \(R > 0\), выражаются формулами
$$
a_ <0>= f(x_<0>),\quad a_ = \frac(x_<0>)>,\quad n \in \mathbb.\label
$$

\(\circ\) Формулы \eqref получаются из равенств \eqref и \eqref при \(x = x_<0>\). \(\bullet\)

Из формул \eqref следует единственность разложения функции \(f(x)\) в степенной ряд вида \eqref.

Источник

Степенные ряды

Содержание

Определение [ править ]

Лемма Абеля [ править ]

Вся теория степенных рядов основана на лемме Абеля.

[math]|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac<|x_1|><|x_0|>\right)^n[/math]

[math]\sum\limits_^\infty q^n[/math] — сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, значит, он тоже сходится.[math]\triangleleft[/math]

Радиус сходимости [ править ]

Можно определить важнейшую для теории величину — радиус сходимости ряда.

1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд абсолютно сходится.

2) [math]\forall [a; b] \in (-R; R)[/math] ряд сходится абсолютно и равномерно.

3) [math]|x| \gt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд расходится.

4) [math]|x| = R[/math] — неопределённость.

2) [math]\exists \delta \gt 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)[/math]

3) Следствие определения радиуса сходимости.

4) Ну неопределённость [math]:)[/math][math]\triangleleft[/math]

Докажем первый пункт. Второй доказывается аналогично.

Рассмотрим [math]\sum\limits_^\infty |a_n x^n|[/math] и применим к нему признак Даламбера.

Итого: [math]|x| \lt q[/math] — ряд сходится, [math]|x| \gt q[/math] — ряд расходится.

Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.

Примеры [ править ]

Произведение степенных рядов [ править ]

По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если взять два степенных ряда, то на общей части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:

[math]f(x) g(x) = \sum\limits_^\infty c_n x^n[/math]

Вывод: произведение двух степенных рядов по правилу Коши — степенной ряд с суммой, равной произведению сумм исходных рядов.

По теореме о радиусе сходимости, на любом отрезке из [math](-R; R)[/math] степенной ряд сходится равномерно.

Значит, по теоремам о почленном дифференцировании и интегрировании рядов, их можно дифференцировать и интегрировать, и опять будет получаться сходящийся степенной ряд.

Вопрос: «Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?»

Ответ: «Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда».

Выясним, что для [math]f(x)[/math] и [math]f'(x)[/math] одинаковые радиусы сходимости.

Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда [math]\subset[/math] промежутку сходимости исходного ряда.

Источник

Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда

Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда

Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Определение 1.Характеристика форма серии Здесь a и r0 задаются комплексным числом, где r-комплексная переменная и называется степенным рядом. Числа Он называется коэффициентом степенного ряда (37.1). Мы изучаем поведение ряда (20) для различных r, предполагая, что коэффициенты и число рядов фиксированы. В серии(37.1) установите и замените переменную? = 2-20, затем получаем серию Очевидно, что исследование сходимости ряда (37.1) эквивалентно исследованию сходимости ряда (37.2).Итак, в дальнейшем мы будем рассматривать ряд форм (37.2), чтобы обозначить не теорему 1 (Абель), а букву r как переменную.

Все степенные ряды имеют радиус сходимости пределах сходящегося круга, то есть ряд полностью сходится на R в любом круге. Людмила Фирмаль

Если | g/#, выберите фактический x0, затем # x0 C / r |; x0 e B, следовательно, ряд (37.5) diverge. As в результате из теоремы Абеля мы видим, что в этом случае ряд (37.3) расходится. В случае 0 r#здесь, по доказанному, ряд (37.3) сходится абсолютно против r = R. То есть ряд чисел сходится И для любой точки r в окружности| g / dCg(рис. 143） Затем, согласно критериям Вейерштрасса (см.§ 36.3), ряд (37.3) сходится равномерно на этой окружности. Тс points. At граничная точка круга сходимости, ряд может делать как сходимость, так и дивергенцию(см. Следующий пример).

Таким образом, сходящаяся область степенного ряда всегда должна быть «кругом», за исключением, возможно, некоторого множества его границ. Людмила Фирмаль

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Интервал и радиус сходимости степенных рядов

Функциональный ряд вида

,

Теорема 10.9.1(теорема Абеля).

1. Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при всяком значении х, удовлетворяющему неравенству ;

2. если ряд расходится при некотором значении х₁, то он расходится при всяком х, для которого .

Доказательство. Так как по условию числовой ряд

Перепишем ряд в виде

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

Последний ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем и, следовательно, сходится, когда q R) – точки расходимости.

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 10.9.2.Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Определение 10.9.1.Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал (-R, R), что для всех точек х, лежащих внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Укажем способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

(10.9.1)

Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов

Для определения сходимости этого ряда (с положительными членами!) применим признак Даламбера.

,

где . Тогда ряд сходится, если р 1, т.е. Þ . Следовательно, ряд (10.9.1) сходится абсолютно при . Если же , то , и ряд расходится, причем его общий член не стремится к нулю. Но тогда и общий член ряда (10.9.1) не стремится к нулю, а это означает, что этот степенной ряд расходится (при ).

Из предыдущего следует, что интервал есть интервал сходимости степенного ряда (10.9.1), т.е.

.

Аналогичным образом, используя радикальный признак Коши, можно получить еще одну формулу для определения радиуса сходимости.

.

Пример 10.9.1. Определить область сходимости ряда

.

Решение: Рассмотрим ряд из абсолютных величин:

, . Тогда . Таким образом, интервал сходимости . Исследуем сходимость на концах интервала. При получается ряд:

Þ или

, который расходится, как гармонический ряд.

Пусть, далее , тогда из данного степенного ряда получаем знакочередующийся ряд Þ , который сходится по теореме Лейбница. Ряд абсолютных величин , как известно, расходится.

Ответ: – при ряд условно сходится.

Пример 10.9.2. Определить область сходимости ряда

Решение: , .

. Таким образом, (-¥, +¥) – область сходимости.

Пример 10.9.3. Определить область сходимости ряда

Решение: Þ . Применим формулу . Значит, ряд расходится при всех значениях х, кроме х = 0.

Замечание 10.9.2. Если имеется ряд не по степеням , а, например, по степеням , и т.д., то формулы для нахождения радиуса сходимости R применять нельзя, а нужно рассмотреть ряд из абсолютных величин соответствующих членов и применить сам признак Даламбера или признак Коши.

Пример 10.9.4. Найти область сходимости ряда

.

Решение: Рассмотрим ряд из абсолютных величин и применим признак Даламбера:

.

Ряд сходится, причем абсолютно, если р

Источник