что такое обратное равенство в математике примеры
Что такое обратные равенства. Числовые равенства, свойства числовых равенств
После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.
Что такое числовое равенство
Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.
Свойства числовых равенств
Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.
Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу b только в тех случаях, когда разность a − b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.
Основные свойства числовых равенств
Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:
Прочие важные свойства числовых равенств
Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:
Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:
Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;
Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
РАВЕНСТВА С КОЛИЧЕСТВАМИ.
Что такое равенство? Это арифметическое действие и его результат.
Вы начинаете этот этап обучения с темы «Сложение».
К показу двух наборов карточек-количеств Вы добавляете равенства на сложение.
Научить этой операции очень легко. Фактически Ваш ребёнок уже несколько недель готов к этому. Ведь каждый раз, когда Вы показываете ему новую карточку, он видит, что на ней появилась одна дополнительная точка.
Малыш ещё не знает, как это называется, но уже имеет представление о том, что это такое и как оно действует.
Материал для примеров на сложение у Вас уже есть на обратной стороне каждой карточки.
Технология показа равенств выглядит примерно так: Вы хотите дать ребенку равенство: 1 +2 = 3. Как его можно показать?
Перед началом урока положите себе на колени лицевой стороной вниз, одна на другую, три карточки. Поднимая верхнюю карточку с одной спицей-костяшкой, говорите «один», затем откладываете её, говорите «плюс», показываете карточку с двумя костяшками, произносите «два», откладываете её и после слова «будет», показываете карточку с тремя костяшками, произнося «три».
В день Вы проводите три занятия с равенствами и на каждом занятии показываете по три разных равенства. Итого, в день малыш видит девять разных равенств.
Ребёнок без всяких объяснений понимает, что означает слово «плюс», его значение он сам выводит из контекста. Производя действия, Вы тем самым быстрее всяких объяснений демонстрируете подлинный смысл сложения. Рассказывая о равенствах, всегда придерживайтесь одной и той же манеры изложения, употребляя одни и те же термины. Сказав «Один плюс два будет три», не говорите потом «К одному прибавить два будет три». Когда Вы учите ребёнка фактам, он сам делает выводы и постигает правила. Если Вы меняете термины, то ребёнок имеет все основания думать, что и правила тоже изменились.
Заранее готовьте все карточки, необходимые для того или иного равенства. Не думайте, что Ваш ребёнок будет спокойно сидеть и смотреть, как Вы будете рыться в стопке карточек, подбирая нужные. Он просто удерёт и будет прав, поскольку его время стоит не меньше Вашего.
Старайтесь не составлять равенства, которые бы имели нечто общее и позволяли бы ребёнку предугадывать их заранее (такие равенства можно будет использовать позже). Вот пример таких равенств:
Гораздо лучше использовать такие:
1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12
Ребенок должен увидеть математическую суть, у него вырабатываются математические навыки и представления. Примерно через две недели малыш делает открытие, что такое сложение: ведь за это время Вы показали ему 126 разных равенств на сложение.
Проверка на данном этапе представляет собой решение примеров.
Пример Вы можете выложить после обычного занятия с тремя равенствами на сложение. Пример Вы показываете так же, как до этого демонстрировали равенство. То есть перекладываете карточки в руках, проговаривая каждую вслух. Например, «двадцать плюс десять будет тридцать или сорок пять?» и показываете малышу две карточки, одна из которых с правильным ответом.
Карточки с ответами нужно держать на одинаковом расстоянии от глаз малыша и не допускать никаких подсказывающих действий.
При правильном выборе ребёнка Вы бурно выражаете свой восторг, целуете и хвалите его.
При ошибочном выборе ответа, не высказывая огорчения, Вы пододвигаете к малышу карточку с правильным ответом и задаёте вопрос: «Будет тридцать, не правда ли?». На подобный вопрос ребёнок обычно отвечает утвердительно. Обязательно похвалите ребёнка за этот правильный ответ.
Ну а если из десяти примеров Ваш малыш верно решает хотя бы шесть, значит, Вам точно пора переходить к равенствам на вычитание!
Если Вы не считаете нужным проверять ребёнка (и правильно!), то через 10-14 дней всё равно переходите к равенствам на вычитание!
Вы перестаёте заниматься сложением и полностью переключаетесь на вычитание. Проводите по три ежедневных урока с тремя различными равенствами в каждом.
Озвучиваете равенства на вычитание так: «Двенадцать минус семь будет пять».
При этом Вы одновременно продолжаете показывать карточки-количества (два набора, по пять карточек в каждом) тоже три раза в день. Итого, у Вас будет девять ежедневных очень коротких уроков. Так Вы работаете не более двух недель.
Проверка так же, как и в случае со сложением, может представлять собой решение примеров с выбором одного ответа из двух.
Озвучиваете равенства на умножение так: «Два умножить на три будет шесть».
Ребёнок поймет слово «умножить» так же быстро, как он понял до этого слова «плюс» и «минус».
Продолжайте избегать предсказуемых равенств. Например таких, как:
Необходимо постоянно держать своего ребёнка в состоянии удивления и ожидания чего-то нового. Главным для него должен стать вопрос: «Что дальше?»- и на каждом занятии он должен получать на него новый ответ.
Решение примеров Вы проводите так же, как в теме «Сложение» и «Вычитание». Если малышу понравились игры-проверя-лочки с карточками-количествами, Вы можете продолжать играть в них, повторяя таким образом новые, большие количества.
Говорят, что математики уже пятьсот лет изучают идею нуля. Правда это или нет, но дети, едва познав идею количества, тут же понимают и смысл его полного отсутствия. Они просто обожают ноль, и Ваше путешествие в мир чисел будет неполным, если Вы не покажете малышу карточку, на которой вообще не будет никаких точек (т.е. это будет абсолютно пустая карточка).
Чтобы знакомство малыша с нулём прошло весело и интересно, можно сопроводить показ карточки загадкой:
Произнося последнюю фразу, показываем карточку «ноль».
Вы будете использовать её практически каждый день. Она пригодится Вам для операций сложения, вычитания и умножения.
Работать с карточкой «нуль» Вы можете одну неделю. Эту тему ребёнок осваивает быстро. Как и прежде, в течение дня, Вы проводите три занятия. На каждом занятии Вы показываете малышу по три различных равенства на сложение, вычитание и умножение с нулём. Итого у Вас получится девять равенств в день.
Решение примеров с нулём проходит по знакомой Вам схеме.
Когда Вы прошли все карточки-количества от 0 до 100, у Вас есть весь необходимый материал для примеров на деление с количествами.
Технология показа равенств данной темы прежняя. Каждый день Вы проводите три занятия. На каждом занятии Вы показываете малышу по три разных равенства. Хорошо, если прохождение этого материала не будет превышать двух недель.
Проверка представляет собой решение примеров с выбором одного ответа из двух.
Когда Вы прошли все количества и знакомы с четырьмя правилами арифметики, то можете всячески разнообразить и усложнить свои занятия. Для начала покажите равенства, где ис- пользуется одно арифметическое действие: только сложение, вычитание, умножение или деление.
20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8
В этой теме можно использовать равенства, между которыми есть какая-либо закономерность.
2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32
При сочетании в равенстве четырёх арифметических действий, помните, что умножение и деление должны быть вынесены в начало равенства:
Не бойтесь демонстрировать равенства, которых больше ста, например,
промежуточный результат в
где промежуточный результат равен 126 (42 * 3 = 126)
Ваш малыш отлично с ними справится!
Проверка представляет собой решение примеров с выбором одного ответа из двух. Вы можете продемонстрировать пример, показав все карточки равенства и две карточки для выбора ответа или просто проговорить всё равенство, показав малышу лишь две карточки для ответа.
Последовательности
Чем разнообразнее будут последовательности, тем они интереснее малышу.
Приведём несколько примеров последовательностей:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)
72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)
Технология показа последовательностей может быть такой. Вы подготовили три последовательности на плюс.
Объявляете малышу тему урока, на полу выкладываете одну за другой карточки первой последовательности, озвучивая их.
Перемещаетесь с ребёнком в другой угол комнаты и точно так же выкладываете вторую последовательность.
В третьем углу комнаты Вы выкладываете третью последовательность, при этом озвучивая её.
Выкладывать последовательности можно и друг под другом, оставляя между ними промежутки.
Старайтесь всегда идти вперёд, двигаясь от простого к сложному. Варьируйте занятия: иногда произнося вслух то, что Вы показываете, а иногда показывайте карточки молча. В любом случае ребёнок видит развёрнутую перед ним последовательность.
Для каждой последовательности нужно использовать не менее шести карточек, иногда больше, для того чтобы ребёнку легче было определить сам принцип последовательности.
Как только Вы увидели блеск в глазах ребёнка, попробуйте добавить к трём последовательностям пример (т.е. проверьте его знания).
На первых порах карточки в последовательностях выкладывайте друг за другом, затем формы выкладывания можно менять: кладите карточки по кругу, по периметру комнаты и т.д.
Когда будет получаться всё лучше и лучше, не бойтесь использовать в последовательностях умножение и деление.
Знаки «больше», «меньше»
Эти карточки находятся в составе 110 карточек цифр и знаков (вторая составляющая часть методики АНАСТА).
Садитесь на пол и выкладываете каждую карточку перед ребёнком так, чтобы он мог видеть сразу все три карточки. Каждую карточку называете.
Озвучить можно так: «шесть больше трёх» или «шесть больше, чем три».
На каждом занятии Вы показываете ребёнку по три разных варианта неравенств с
Таким образом, Вы демонстрируете девять разных
Как и прежде, Вы показываете каждое неравенство только один раз.
Через несколько дней к трём показам можно добавить пример. Это уже проверка, и проводится она так:
Положите на пол приготовленные заранее карточки, например, карточку с количеством «68» и карточку со знаком «больше». Спросите малыша: «Шестьдесят восемь больше какого числа?» или «Шестьдесят восемь больше пятидесяти или девяносто пяти?». Предложите ребёнку выбрать из двух карточек нужную. Верно указанную малышом карточку, Вы (или он сам) кладёте после знака «больше».
Можно положить перед ребёнком две карточки с количествами и дать ему возможность выбрать знак, который подходит, то есть > или или (В ) ∙ (С ));
Понятие равенства
Кроме понятия равенства, в школе изучают также тему «Числовое равенство». Под этим высказыванием понимают два числовых выражения, которые стоят по обе стороны от знака =. К примеру, 2*5+7=17. Обе части записи равны между собой.
В числовых выражениях подобного типа могут использоваться скобки, влияющие на порядок действий. Итак, существует 4 правила, которые следует учесть при вычислении результатов числовых выражений.
Итак, теперь понятно, что такое равенство. В дальнейшем будут рассмотрены понятия уравнения, тождества и способы их вычисления.
Свойства числовых равенств
Что такое равенство? Изучение этого понятия требует знания свойств числовых тождеств. Приведенные ниже текстовые формулы позволяют лучше изучить данную тему. Конечно, эти свойства больше подходят для изучения математики в старших классах.
1. Числовое равенство не будет нарушено, если в обеих его частях прибавить одно и то же число к существующему выражению.
2. Не будет нарушено уравнение, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число или выражение, которые отличны от нуля.
3. Прибавив к обеим частям тождества одинаковую функцию, которая имеет смысл при любых допустимых значениях переменной, мы получим новое равенство, равносильное первоначальному.
4. Любое слагаемое или выражение можно перенести по другую сторону знака равенства, при этом нужно поменять знаки на противоположные.
5. Умножив или разделив обе части уравнения на одну и ту же функцию, отличную от нуля и имеющую смысл для каждого значения Х из ОДЗ, мы получим новое уравнение, равносильное первоначальному.
Приведенные правила в явной степени указывают на принцип равенства, который существует при определенных условиях.
Понятие пропорции
В математике существует такое понятие, как равенство отношений. В этом случае подразумевается определение пропорции. Если разделить А на В, то результатом будет отношение числа А к числу В. Пропорцией называют равенство двух отношений:
Тождества
Тождеством называют равенство, которое будет верно при всех допустимых значениях тех переменных, которые входят в задание. Тождества могут быть представлены как буквенные или числовые равенства.
Тождественно равными называются выражения, содержащие в обеих частях равенства неизвестную переменную, которая способна приравнять две части одного целого.
Если проводить замены одного выражения другим, которое будет равно ему, тогда речь идет о тождественном преобразовании. В этом случае можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, законами арифметики и прочими тождествами.
Чтобы сократить дробь, нужно провести тождественные преобразования. К примеру, дана дробь. Чтобы получить результат, следует воспользоваться формулами сокращенного умножения, разложением на множители, упрощением выражений и сокращением дробей.
При этом стоит учесть, что данное выражение будет тождественным тогда, когда знаменатель не будет равен 3.
5 способов доказать тождество
Чтобы доказать равенство тождественное, нужно провести преобразование выражений.
Необходимо провести равносильные преобразования в левой части. В результате получается правая часть, и можно говорить о том, что тождество доказано.
Все действия по преобразованию выражения происходят в правой части. Итогом проделанных манипуляций является левая часть. Если обе части идентичны, то тождество доказано.
«Трансформации» происходят в обеих частях выражения. Если в результате получатся две идентичные части, тождество доказано.
Из левой части вычитается правая. В результате равносильных преобразований должен получиться нуль. Тогда можно говорить о тождественности выражения.
Из правой части вычитается левая. Все равносильные преобразования сводятся к тому, чтобы в ответе стоял нуль. Только в таком случае можно говорить о тождественности равенства.
Основные свойства тождеств
В математике зачастую используют свойства равенств, чтобы ускорить процесс вычисления. Благодаря основным алгебраическим тождествам процесс вычисления некоторых выражений займет считанные минуты вместо долгих часов.
Формулы сокращенного умножения
По своей сути формулы сокращенного умножения являются равенствами. Они помогают решить множество задач в математике благодаря своей простоте и легкости в обращении.
Формулы сокращенного умножения зачастую применяются, если необходимо привести многочлен к привычному виду, упростив его всеми возможными способами. Представленные формулы доказываются просто: достаточно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Уравнения
После изучения вопроса, что такое равенство, можно приступать к следующему пункту: Под уравнением понимается равенство, в котором присутствуют неизвестные величины. Решением уравнения называют нахождение всех значений переменной, при которых обе части всего выражения будут равны. Также встречаются задания, в которых нахождение решений уравнения невозможно. В таком случае говорят, что корней нет.
Как правило, равенства с неизвестными в качестве решения выдают целые числа. Однако возможны случаи, когда корнем являются вектор, функция и другие объекты.
Уравнение является одним из важнейших понятий в математике. Большинство научных и практических задач не позволяют измерить или вычислить какую-либо величину. Поэтому необходимо составлять соотношение, которое удовлетворит все условия поставленной задачи. В процессе составления такого соотношения появляется уравнение или система уравнений.
Обычно решение равенства с неизвестным сводится к преобразованию сложного уравнения и сведению его к простым формам. Необходимо помнить, что преобразования нужно проводить относительно обеих частей, в противном случае на выходе получится неверный результат.
4 способа решить уравнение
Под решением уравнения понимают замену заданного равенства другим, которое равносильно первому. Подобная подмена известна как тождественное преобразование. Чтобы решить уравнение, необходимо воспользоваться одним из способов.
1. Одно выражение заменяется другим, которое в обязательном порядке будет тождественно первому. Пример: (3∙х+3) 2 =15∙х+10. Это выражение можно преобразовать в 9∙х 2 +18∙х+9=15∙х+10.
2. Перенесение членов равенства с неизвестным из одной стороны в другую. В таком случае необходимо правильно менять знаки. Малейшая ошибка сгубит всю проделанную работу. В качестве примера возьмем предыдущий «образец».
9∙х 2 + 12∙х + 4 = 15∙х + 10
3. Перемножение обеих частей равенства на равное число или выражение, которые не равняются 0. Однако стоит напомнить, что если новое уравнение не будет равносильным равенству до преобразований, тогда количество корней может существенно измениться.
Итак, в этой статье упоминаются такие термины, как то уравнения и тождества. Все они происходят от понятия «равенство». Благодаря различного рода равносильным выражениям решение некоторых задач в значительной мере облегчено.
На данном уроке вы вместе с лягушкой познакомитесь с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», а также со знаками сравнения. На веселых и интересных примерах научитесь сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча.
Тема: Знакомство с основными понятиями в математике
Урок: Равенство и неравенство
Попробуйте ответить на вопрос:
У стены стоят кадушки,
В каждой ровно по лягушке.
Если б было пять кадушек,
Сколько б было в них лягушек? (рис. 1)
В стихотворении говорится, что кадушек было 5, в каждой кадушке по 1 лягушке, никто не остался без пары, значит число лягушек равно числу кадушек.
Запишем равенство: К = Л. (рис. 2)
Сравните по количеству две группы фигур. Фигур много, они разного размера, расположены без порядка. (рис. 3)
Составим из этих фигур пары. Каждый квадрат соединим с треугольником. (рис. 4)
Запишем неравенство: К ≠ Т. (рис. 5)
Оставшиеся без пары элементы показывают, какое из двух чисел больше и на сколько. (рис. 8)
Способ сравнения групп фигур с помощью составления пар не всегда удобен и занимает много времени. Можно сравнивать числа с помощью числового луча. (рис. 9)
Сравните данные числа с помощью числового луча и поставьте знак сравнения.
Нужно сравнить числа 2 и 5. Посмотрим на числовой луч. Число 2 находится ближе к 0, чем число 5, или говорят, число 2 на числовом луче левее, чем число 5. Значит, 2 не равно 5. Это неравенство.
Можно данное неравенство записать по-другому, используя знак меньше « » :
На числовом луче число 7 находится правее, чем число 4, следовательно:
Числа 9 и 9 равны, поэтому ставим знак =, это равенство:
Сравните количество точек и число и поставьте соответствующий знак. (рис. 11)
Сравниваем две точки и число 2, ставим между ними знак =. Это равенство.
Сравниваем одну точку и число 3, на числовом луче число 1 находится левее, чем число 3, ставим знак ≠.
Сравниваем четыре точки и 4. Между ними ставим знак =. Это равенство.
Сравним пять точек и число 5. Между ними ставим знак =. Это равенство.
Сравним три точки и число 3. Здесь тоже можно поставить знак =.
Вставьте в окошко число, чтобы полученное равенство и неравенство стали верными.
Это неравенство. Посмотрим на числовой луч. Раз мы ищем число меньше, чем число 7, значит оно должно быть левее числа 7 на числовом луче. (рис. 14)
В окошко можно вставить несколько чисел. Сюда подходят числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Любое из них можно подставить в окошко и получить несколько верных неравенства. Например, 5 4, 5 >3
В можно подставить только одно число 8.
На данном уроке мы познакомились с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», научились правильно расставлять знаки сравнения, потренировались сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча, что поможет в дальнейшем изучении математики.
1. Какие знаки сравнения вы знаете, в каких случаях они используются? Запишите знаки сравнения чисел.
2. Сравните количество предметов на рисунке и поставьте знак « » или «=».
3. Сравни числа, поставив знак « » или «=».