что такое метод площадей

Обучение учащихся 9 классов методу площадей

Выступление на ШМО учителей математики

«Обучение учащихся 9 классов методу площадей при подготовки к ОГЭ по математике»

Составитель: Чугунова Юлия Васильевна

учитель математики и информатики

Решение геометрических задач иногда напоминает трюки иллюзионистов – порой, зная решение задачи, не понимаешь, как можно было до него додуматься. Почти каждая трудная геометрическая задача требует индивидуального подхода. Однако, существуют методы, использование которых ведет к успешному решению многих типов задач. Один из них – метод площадей. Из его названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения, а иногда и системы уравнений.

Зачастую в школьном курсе геометрии авторы учебников не упоминают о данном методе, хотя задачи на применение метода площадей часто используются в ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ. Поэтому и существует необходимость в обучении учащихся применению метода площадей при решении геометрических задач.

Методы решения геометрических задач традиционно делят на: геометрические, алгебраические и комбинированные. Метод площадей относим к геометрическим методам, под которыми будем понимать способ познавательной деятельности учащихся, основанный на системе геометрических знаний и на геометрических (наглядных) представлениях.

В настоящее время имеется достаточное число исследований, посвященных обучению учащихся методам решения задач. Так, методика обучения решению задач геометрическими методами раскрывается в работах Г. И. Саранцева, Л. С. Капкаевой, Е. Е. Овчинниковой и др. Совокупность задач, в рамках применения отдельных свойств площади, приведены в различных статьях. Так в статье Новикова в журнале Квант рассматриваются различные методы решения задач, среди которых есть и метод площадей. Он подчеркивает, что его главное достоинство – в его идейной «прозрачно c ти», а также говорит об уникальности и плодотворности этого метода. Однако, в представленных работах не выделяются действия адекватные методу площадей, недостаточно разработаны задачи по обучению каждому действию метода и их совокупности.

Опираясь на имеющиеся исследования, мною было выяснено, что метод площадей составляют следующие действия

1) анализ заданной в задаче конфигурации, включающей в себя анализ ее элементов и их свойств

2) нахождение площади фигуры, используя данные и искомые элементы

3) составление уравнения, используя различные выражения для площади фигуры

4)разбиение фигуры на части

5) нахождение отношения площадей и соответствующих отрезков

Так, для решения следующей задачи необходимо выполнить действия (1-4):

Подсчитаем площадь треугольника ABC (рисунок 1):

Тогда, подставляя полученные выражения в (1), имеем уравнение:

Откуда после преобразований получаем:

Решая задачу 2 учащиеся : анализируют заданную в задаче конфигурации, включающую в себя анализ ее элементов и их свойств, находят отношение площадей и соответствующих отрезков.

Задача 2. Каждая диагональ четырехугольника делит его на треугольники одинаковой площади. Докажите, что это параллелограмм.

Конечно же, обучать действиям и их совокупностям нужно поэтапно. Мною выделены следующие этапы обучения учащихся методу площадей.

На 2 этапе формируются отдельные компоненты метода (умение находить площадь одной и той же фигуры двумя разными способами, умение разбивать фигуру на части, умение анализировать задачную ситуации и т.д.)

Приведем цепочку задач для обучения умению решать задачи, составляя уравнение, используя формулы площади треугольника.

В задачах 3-5 используется дважды формула

Задача 3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Задача 4. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти высоту, проведенную к гипотенузе данного треугольника.

Задача 5. Сторона основания равнобедренного треугольника равна 8, а боковые стороны равны 10. Найти высоту, приведенную к боковой стороне.

В задачах 6-7 – формулы и СЛ

Задача 6. Дан равнобедренный треугольник АВС, сторона АВ=ВС=10, высота, проведенная к основанию АС равна 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Задача 7. В треугольнике АВС, сторона АВ=2, ВС=1,5, С=90. Найдите радиус вписанной окружности.

Задача 8. Найти радиус описанной около треугольника окружности, если его стороны равны 3, 7 и 9.

Заметим, что в полной мере реализовать обучение по предложенной методике целесообразно на элективном курсе.

Мною разработан курс, который рекомендуется проводить в 9 классе, поскольку все основные сведения о площадях фигур получены к концу 8 класса. Вариант тематического плана курса представлен в таблице 1

Понятие площади. Вычисление площадей различных фигур.

Понятие метода площадей. Решение простейших (элементарных) задач метом площадей.

Свойства площадей и применение их при решении планиметрических задач

Далее приведем некоторые задачи, которые можно применять при обучении учащихся методу площадей.

Полезно рассматривать обратные задачи. Например:

Приведем одну из цепочек задач, предлагаемых учащимся.

Задача 3. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника (рисунок 11).

Задача 4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника (рисунок 12).

Задача 5. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30 ° (рисунок 13).

Задача 6. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника (рисунок 14).

На втором этапе у учащихся формируется умение находить площадь одной и той же фигуры двумя разными способами, составлять уравнение и решать его.

Задача 8. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне (рисунок 16)?

Задача 9. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти высоту и гипотенузу данного треугольника (рисунок 17).

Задача 10. Сторона основания равнобедренного треугольника равна 8, а боковые стороны равны 10. Найти высоту, приведенную к боковой стороне (рисунок 18).

Следующие задачи связаны с нахождением площади треугольника двумя способами:

Задача 13. Стороны треугольника равны 5 и 7, угол между ними 60. Найти высоту треугольника, проведенную к третьей стороне.

Задача 14. Найти радиус описанной окружности около треугольника со сторонами 3, 7 и 9.

Задача 15. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 3, 7, 2.

Также на втором этапе у учащихся формируются умения использовать аддитивность площадей при решении задач ( анализировать заданную в задаче конфигурацию, включающей в себя анализ ее элементов и их свойств, разбивать фигуру на части, вычислять ее площадь).

Так, можно предложить учащимся задачу, в которой используется свойство аддитивности площади.

Задача 16. Доказать, что в равнобедренном треугольнике АВС ( АВ=ВС ) сумма расстояний от любой точки К отрезка АС до сторон АВ и ВС есть величина постоянная (рисунок 19).

Приведем фрагмент занятия, как учитель после построения чертежа может направить работу учащихся на усвоение способа решения задачи.

Учитель: Что дано в условии задачи?

Ученик: Равнобедренный треугольник и точка на его основании.

Ученик: Треугольник разделен отрезком ВК на два треугольника.

Учитель: Какие данные относятся к треугольникам разбиения?

Ученик: В каждом из них из точки К проведена высота.

Учитель: К каким сторонам равнобедренного треугольника проведены

Ученик: Высоты проведены к боковым сторонам треугольника.

Ученик: Проведем высоту к боковой стороне.

Учитель: Какие свойства площади можно использовать для решения

Ученик: Площадь всего треугольника равна сумме площадей его частей – треугольников АВК и ВКС

Учитель: Запишите данное условие в математической форме.

Учитель: Как именно формулы площади подойдут в этой ситуации?

Ученик: Формула, выражающая площадь треугольника через его высоту и основание.

Учитель: Подставим найденные значения в записанное нами условие.

На доске и в тетрадях появляется запись:

Учитель записывает на доске, а ученики в тетради:

Учитель: Мы выяснили, что сумма расстояний от любой точки К на основании равнобедренного треугольника равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне, т.е. одна и та же.

Особое внимание при этом следует уделять всестороннему изучению заданной в задаче конфигурации, включающему в себя анализ ее элементов и их свойств, так как именно разбиение фигуры на части и работа с этими частями вызывает трудности у школьников.

Задачи 17-18 решается аналогично. При решении каждой из задач учитель должен обсуждать с учащимися целесообразность выбора метода площадей для решения задачи.

Задача 18. В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 10 и 15, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите сторону квадрата

Задача 19. Из точки, взятой на гипотенузе прямоугольного треугольника, проведены перпендикуляры на оба катета. Определите площадь прямоугольника, отсеченного этими перпендикулярами, если отрезки катетов при вершинах острых углов треугольника равны т и п.

На третьем этапе учащиеся применяют полученные знания о методе площадей, решая наиболее сложные задачи.

Работа с задачами 17-20 начинается с анализа чертежа. Замечаем, что две стороны вписанного квадрата или прямоугольника перпендикулярны сторонам данного треугольника, то есть можно разбить данный треугольник на два треугольника, в которых эти стороны будут высотами. Тогда, исходя из анализа условия задачи, можно сделать вывод, что легко вычислить площадь данного треугольника двумя способами: по данным задачи и через эти неизвестные высоты и соответствующие им основания в треугольниках.

В задаче 21 необходимо заметить, что расстояние от точки, взятой на прямой, параллельной основанию треугольника, до основания треугольника постоянно, в этой задаче оно равно трети высоты треугольника.

На третьем этапе учащиеся применяют полученные знания о методе площадей, решая наиболее сложные задачи, используют свойства отношения площадей.

В следующей задаче поможет вычисление катетов треугольника. Покажем ее полное решение.

Источник

Что такое метод площадей

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.

При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.

Для примера, рассмотрим два треугольника:

`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;

`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;

Надо найти площадь и радиус описанной окружности.

Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:

`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона

`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)

тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):

тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).

Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:

$$ 2.<1>^<○>$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то

$$ 2.<2>^<○>$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):

$$ 2.<3>^<○>$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их

сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC

DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.

Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).

Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.

Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.

Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.

Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.

2. Через точку `D` проведём прямую `DL«|\|«AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL«|\|«AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.

По той же теореме (`/_DCB`, `OK«|\|«DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.

3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.

(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`

`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).

Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).

Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).

В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.

Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.

Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.

В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.

Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.

По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.

Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:

`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.

Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.

В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.

Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.

Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.

Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.

Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:

Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.

Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.

В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.

Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:

называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.

Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.

Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:

`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда

Источник

Решении задач по геометрии при подготовке к ГИА

Научно-практическая конференция учащихся и педагогов Татищевского муниципального района 2013г.

МОУ « Средняя общеобразовательная школа №1 р. п. Татищево»

Решении задач по геометрии при подготовке к ГИА.

,
учитель математики
МОУ « СОШ №1 р. п. Татищево»
первой квалификационной категории

ТАТИЩЕВО 2013
Оглавление

Подготовка к государственной итоговой аттестации (ГИА) – неотъемлемая часть современного курса математики. Задачи по геометрии занимают примерно третью часть всех заданий КИМов. Геометрия является очень мощным средством развития личности в самом широком диапазоне. Среди дисциплин математического цикла геометрия выделяется своим вольнодумством, неким особым свободолюбивым характером, нежелающим подчиняться стандартам, нормам, алгоритмам.

Целью изучения геометрии, конечно, является знание. Но нужно всегда помнить, что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Человек не может развиваться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию. Геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека.

Научной и нравственной основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений.

Геометрия, впрочем, как и алгебра, является носителем собственного познания мира. Овладение этим методом – важнейшая цель образования. Процесс изучения геометрии должен включать самые разнообразные виды деятельности. В том числе и даже в первую очередь – решение задач. Задача – это не только умения, это и элемент знания. Ученик должен ознакомиться с определенным набором достаточно трудных геометрических задач, научиться решать задачи, следуя известным образцам. В геометрии в отличие от алгебры алгоритмов очень мало, почти нет. Поэтому при обучении возрастает значение опорных задач, обобщающих полезный факт, либо иллюстрирующий метод или прием.

Метод площадей

Основные свойства площадей

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т. е. решение задач с использованием свойств площадей

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади, которых равны одной четвертой части площади ▲ABC

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Система математических задач, решаемых методом площадей

В современных учебниках, пособиях и различного рода задачниках, к сожалению, уделяется мало внимания психологическим факторам, влияющим на успешность обучения математике. А именно, воспитание у учащихся уверенности в своих силах, развитие умения пользоваться прошлым опытом.

Берутся два общеизвестных утверждения, которые являются базовыми. На основе этих утверждений выстраиваются две «цепочки» задач по нарастающему уровню сложности. Решения задач в этих «цепочках» основаны на базовых утверждениях и на решении предыдущих задач.

Утверждение 1. Два треугольника являются равновеликими, если равны их высоты и основания.

Задача 1. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.

Решение. Высоты треугольников ABD и BCD равны. AD = BC (по свойству параллелограмма). Тогда в силу утверждения 1 S▲ABD = S▲BCD

Решение. Проведем отрезок КЕ. Тогда в силу задачи 2 S▲KME = S▲KMB + S▲MEC, а S▲KNE = S▲AKN + S▲EDN

Отсюда S▲KMEN = S▲KMB + S▲MEC + S▲KNE + S▲EDN

Введем следующие обозначения:

Задача 5. Каждая диагональ четырехугольника делит его на треугольники одинаковой площади. Докажите, что это параллелограмм.

Утверждение 2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

Решение. Проведем диагональ ВD. Тогда, исходя из утверждения 2, получим, что SABCD = 2 S .

Решение. Проведя диагональ ВD и рассуждая аналогично задаче 6, получим, что SABCD = 2SEBFD

Задача 9. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Решение. В силу задачи 1 и утверждения 2 будем иметь

S▲AOB = S▲BOC = S▲COD =S▲DOA

Задача 10. Середины двух параллельных сторон параллелограмма соединены с противолежащими вершинами. Какая часть площади параллелограмма ограничена проведенными отрезками?

Решение. Проведем отрезок МК. Тогда в силу задачи 9 SMFKE = 1/4SABCD.

Задача 11. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Середины сторон АВ и CD обозначены соответственно через К и М, точку пересечения отрезков ВМ и СК – через Р, точку пересечения отрезков АМ и DК – через О. Докажите, SMOKP = S▲BPC + S▲AOD

Решение. Проведем диагональ ВD. Так как DК и ВМ медианы вновь полученных треугольников, то SAKD=1/2SABD, SBMC=1/2SBCD. Отсюда S▲AKD + S▲BMC = 1/2 S АВС D (1) Проведя диагональ АС и учитывая, что АМ и СК медианы уже вновь полученных треугольников, получим SKBC=1/2SABC, SAMD=1/2SACD.

Тогда S▲KBC + S▲AMD = 1/2 SABCD (2).

В этой сумме дважды учтены площади треугольников ВРС и АОD, но не учтена площадь четырехугольника МОКР. Поэтому SMOKP = S▲BPC + S▲AOD.

Решение. Медиана делит площадь треугольника пополам, поэтому площади треугольников ABC, BB1C и CC1B1 равны между собой. Площадь треугольника ACD равна площади треугольника ADD1, площадь треугольника ADD1 равна площади треугольника AA1D1 и т. д. Тогда S▲BB1C1 = 2S▲ABC, S▲CC1D1 = 2S▲BCD, S▲AA1B1 = 2S▲DBA, S▲DD1A1 = 2S▲CAD. Суммируя эти равенства, получим S▲BB1C1 + S▲CC1D1 + S▲AA1B1 + S▲DD1A1.Обозначим площадь четырехугольника АВСD через S, тогда площадь четырех построенных треугольников равна 4S, а площадь четырехугольника А1В1С1D1 равна 5S.

Задача 13. Вершина А квадрата АВСD соединена с точкой О – серединой ВС, вершина В – с точкой Е – серединой СD, вершина С – с точкой N – серединой АD, а вершина D – с точкой К – серединой АВ. Точки пересечения проведенных прямых L, M, R, и Р служат вершинами четырехугольника LMRP.

Докажите, что SLMRP=51SABCD.

Продолжим «цепочку» задач, исходной фигурой в которых будет выступать уже треугольник.

Задача 14. На продолжении стороны АВ треугольника АВС взята точка К так, что АВ = ВК. Точка L – середина ВС. Зная, что S▲BKL = S, найдите S▲ABC.

Решение. Произведя дополнительные построения, приняв во внимание обозначения на чертеже и опираясь на утверждение 2, видим, что решение следует непосредственно из чертежа.

Задача 16. На продолжении стороны треугольника АВС взята точка D так, что АС = СD. Пусть М – середина стороны АВ, а К – точка пересечения отрезков ВС и МD. Докажите, что площадь треугольника ВКD равна площади четырехугольника АМКС.

Опорные задачи, решаемые методом площадей

Метод площадей имеет много разновидностей. Его применяют, например, при замене отношения отрезков, расположенных на одной прямой, отношением площадей треугольников с общей вершиной, основаниями которых являются рассматриваемые отрезки.

При решении задач методом площадей часто применяют основные формулы, выражающие площадь треугольника.

Обозначим, через А, В и С величины соответствующих углов треугольника АВС, а через а, b и с, как обычно, длины противолежащих им сторон, 2р – периметр треугольника, r и R – соответственно радиус вписанной и описанной окружности.

В этих обозначениях для площади треугольника справедливы следующие формулы:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(3.4)

(2.5)

Формулы (1), (4) и (5) хорошо известны, формулы (2), (3) получаются из формулы (1), используя теорему синусов. Формула (4) справедлива для любого описанного многоугольника.

Используя формулу (1) для площади треугольника, можно доказать теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

Теорема. Если – биссектриса угла А треугольника АВС, то .

Доказательство. Пусть угол при вершине А в треугольнике АВС равен . Рассмотрим треугольники и (рис. 10). Их площади относятся как отрезки и .

Используя формулу (2.1) имеем

.

Рассмотрим опорные задачи, решаемые методом площадей.

Пример 1. Пусть две прямые пересекаются в точке А. В и В1 – любые две точки на одной прямой, а С и С1 – на другой. Докажите, что .

Решение. Углы при вершине А треугольников АВС и АВ1С1 либо равны, либо дополняют друг друга до 1800 (рис. 11), то есть в любом случае синусы этих углов равны. Используя формулу (2.1) для площади треугольника имеем .

Пример 2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты точки В1 и С1 так, что , . Докажите, что .

Решение следует непосредственно из предыдущего примера.

Пример 3. Докажите, что длину биссектрисы треугольника АВС можно вычислить по формуле , где , , , А – угол ВАС.

Решение. Учитывая свойство 3 площади, имеем или . Заменив в левой части равенства и сократив обе его части на , получим , откуда .

Рассмотрим еще одну полезную задачу.

Используя результаты предыдущих задач, рассмотрим еще один важный пример, который в учебнике «Геометрия. 7-9 классы» назван типичной задачей.

Пример 5. В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и СА взяты соответственно точки К, М и Р так, что АК:КВ=2:3, ВМ:МС=3:4, СР:АР=4:5. В каком отношении отрезок ВР делится отрезком КМ?

Решение. Пусть ВР и КМ пересекаются в точке О (рис. 14) и . Так как , , то . Так как , , то . Так как , , то . Следовательно, и .

При решении задач методом площадей следует помнить, что

1) Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

2) Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника. Произведение площадей треугольников прилегающих к противоположным сторонам равны.

Заключение

Решение задач методом площадей необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ГИА. Владение приемами решения задач методом площадей можно считать критерием знаний основных разделов школьной геометрии.

В данной работе показано, что тема «Метод площадей» обладает множеством разнообразных задач, направленных на повышение интереса к изучению геометрии, на развитие мышления школьников, на развитие нравственных качеств. Метод площадей это использование формул и свойств площадей при решении задач, в которых может не упоминаться о площадях.

Подобранные задачи и методические рекомендации могут быть использованы учителями математики в их практической деятельности, при организации внеклассной работы, при подготовке к ГИА, что позволяет повысить эффективность обучения геометрии.

Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие данным методом решения задач, успешно справляются с другими задачами.

Литература

6) Барчунова познавательного интереса к геометрии у учащихся 6-7 классов// «Математика в школе», 1974. №6.

Источник