Логарифм произведения

Вы будете перенаправлены на Автор24

Докажем данную теорему:

$x \cdot y=a^k \cdot a^l=a^$.

Формула логарифма произведения применяется для упрощения вычисления логарифмов.

Формула логарифма произведения

Формула логарифма произведения распространяется не только на произведение двух чисел, но и на произведение конечного количества чисел:

Логарифм произведения применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.

Применим свойство логарифма произведения:

$\log_<13>⁡2197=\log_<13>⁡(13 \cdot 13 \cdot 13)=\log_<13>⁡13+\log_<13>⁡13+\log_<13>⁡13=3 \log_<13>13=3 \cdot 1=3$.

Готовые работы на аналогичную тему

Данный пример демонстрирует применение формулы логарифма числа, которое раскладывается на три множителя.

Применим теорему о логарифме произведения:

подлогарифмические выражения обоих логарифмов запишем как основание логарифма в степени, а затем применим формулу логарифма степени:

показатели степени вынесем из-под знака логарифма и запишем перед ним:

Сумма логарифмов

Верным будет и обратное определение:

Сумму логарифмов с одинаковыми основаниями можно представить в виде логарифма произведения подлогарифмических выражений:

Применим формулу суммы логарифмов:

По формуле суммы логарифмов:

теперь можем применить свойство логарифма степени:

Согласно сумме логарифмов:

$\log_<4>⁡32+\log_<4>⁡128=\log_<4>⁡(32 \cdot 128)=\log_<4>⁡4096=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

Используем формулу суммы логарифмов:

теперь можем применить свойство логарифма степени:

Применим к числителю и знаменателю формулу суммы логарифмов:

теперь можем применить свойство логарифма степени:

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 24. Логарифм. Свойства логарифмов.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. Определение логарифма.

2. Основное логарифмическое тождество.

3. Свойства логарифмов.

Логарифмом положительного числа по основанию , называется показатель степени, в которую надо возвести чтобы получить .

Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов. При , справедливы равенства:

— логарифм произведения: ;

— логарифм частного: ;

— логарифм степени: .

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При решении простейших показательных уравнений не всегда можно найти точный ответ. Например, уравнение имеет корень 5, т. к. значит , В уравнении число 5 не является степенью 2, значит предыдущий способ решения не подходит. Нам известно, что уравнение имеет единственный корень. Посмотрим это на графике.

Абсцисса точки пересечения – единственное решение данного уравнения. Это число и называют логарифмом 5 по основанию 2.

Дадим определение логарифма.

Логарифмом положительного числа по основанию , называется показатель степени, в которую надо возвести чтобы получить .

Т. е. логарифм числа по основанию , есть некоторое число такое, что .

, т. к. выполнены все условия определения:

1) 216 > 0; 2) 6 > 0, 6 ≠ 1; 3) .

, т. к. выполнены все условия определения:

1) ; 2) 2 > 0, 2 ≠ 1; 3) .

Это действие называется логарифмированием.

Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

Существует краткая запись определения логарифма:

так называемое основное логарифмическое тождество. Его используют при вычислениях.

(Читают: 4 в степени логарифм 5 по основанию 4 равен 5)

(Читают: одна треть в степени логарифм 6 по основанию одна треть равен 6)

Решим несколько задач с использованием определения логарифма.

Задача 1. Вычислить .

Задача 2. Вычислить .

Решение. Для вычисления воспользуемся свойствами степеней: 1) , 2) и основным логарифмическим тождеством: .

.

Для решения более сложных задач потребуется знание свойств логарифмов. Рассмотрим их.

1. Логарифм произведения.

Логарифм произведения чисел по основанию равен сумме логарифма по основанию и логарифма по основанию .

2. Логарифм частного.

Логарифм частного чисел по основанию равен разности логарифма по основанию и логарифма по основанию .

3. Логарифм степени.

Логарифм числа по основанию равен произведению показателя и логарифма по основанию .

Важно! Свойства выполняются при ,

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Вычислите: .

Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:

Представим в виде степени с рациональным показателем: . Далее воспользуемся свойством нахождения логарифма степени: . Вспоминаем таблицу квадратов: , значит , . Ответ: .

Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:

.

Источник

Свойства логарифмов

Определение логарифма

Основное логарифмическое тождество

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a &#x2260 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

Логарифм произведения и логарифм частного

log a ( b c ) = log a b + log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) (5)

log a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) (6)

Действительно, выражение log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

Формула перехода к новому основанию

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) (9)

Десятичные и натуральные логарифмы

Источник

Логарифм произведения

Что такое логарифм произведения

Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число.

Число а обычно называют основанием, а число b — аргументом логарифма.

Логарифм имеет следующий вид \(\log_a\left(b\right)\) и читается как «логарифм b по основанию a».

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Существуют логарифмы со специальными обозначениями. К ним относятся:

Логарифм также имеет основные свойства, которые необходимо помнить для решения примеров:

Приведем доказательство данной теоремы.

Возьмем два положительных числа x и y. Пусть \(\log_a(x)=k, \log_a(y)=l.\)

Найдем их произведение:

Из выражения \(x\times y=a^\) следует, что \(k+l=\log_a\left(x\times y\right).\)

Логарифм произведения трех положительных чисел

Формула логарифма произведения применяется также и для нескольких положительных множителей. Возьмем для примера три числа и запишем формулу логарифма произведения в преобразованном виде.

\(\log_a\left(x_1\times x_2\times x_3\right)=\log_a\left(x_1\right)+\log_a\left(x_2\right)+\log_a\left(x_3\right)\)

где \(a\) — логарифмическое основание и \(a, x_1,\;x_2,\;x_3 > 0, a\neq0.\)

Логарифм произведения степени, частного

Помимо логарифма произведения, рассмотрим такие понятия как логарифм степени и частного. Они являются не менее важными для решения задач.

Логарифм степени с положительным основанием — это показатель степени, умноженный на логарифм ее основания.

Логарифм частного двух положительных чисел — это разность между логарифмом делимого и логарифмом делителя.

Примеры решения задач на логарифмы

Задача 1

Решение

Разложим аргумент логарифма на более простые числа и применим формулу логарифма произведения. Получим:

Задача 2

Решение

Применим формулу логарифма произведения для нескольких множителей. Получим:

Задача 3

Применим формулу логарифма частного. Получим:

Задача 4

Применим формулу логарифма степени. Получим:

Источник