что такое доверительный интервал простыми словами

Доверительные интервалы

Определение

Доверительные интервалы (англ. Confidence Intervals) одним из типов интервальных оценок используемых в статистике, которые рассчитываются для заданного уровня значимости. Они позволяют сделать утверждение, что истинное значение неизвестного статистического параметра генеральной совокупности находится в полученном диапазоне значений с вероятностью, которая задана выбранным уровнем статистической значимости.

Нормальное распределение

Когда известна вариация (σ 2 ) генеральной совокупности данных, для расчета доверительных пределов (граничных точек доверительного интервала) может быть использована z-оценка. По сравнению с применением t-распределения, использование z-оценки позволит построить не только более узкий доверительный интервал, но и получить более надежные оценки математического ожидания и среднеквадратического (стандартного) отклонения (σ), поскольку Z-оценка основывается на нормальном распределении.

Формула

Для определения граничных точек доверительного интервала, при условии что известно среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности данных, используется следующая формула

где X – математическое ожидание выборки, α – уровень статистической значимости, Z_α/2 – Z-оценка для уровня статистической значимости α/2, σ – среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности, n – количество наблюдений в выборке. При этом, σ/√ n является стандартной ошибкой.

Таким образом, доверительный интервал для уровня статистической значимости α можно записать в виде

Пример

Предположим, что размер выборки насчитывает 25 наблюдений, математическое ожидание выборки равняется 15, а среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности составляет 8. Для уровня значимости α=5% Z-оценка равна Z_α/2=1,96. В этом случае нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят

А сам доверительный интервал может быть записан в виде

Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности попадет в диапазон от 11,864 до 18,136.

Методы сужения доверительного интервала

Допустим, что диапазон [11,864; 18,136] является слишком широким для целей нашего исследования. Уменьшить диапазон доверительного интервала можно двумя способами.

Снизив уровень статистической значимости до α=10%, мы получим Z-оценку равную Z_α/2=1,64. В этом случае нижняя и верхняя граница интервала составят

А сам доверительный интервал может быть записан в виде

В этом случае, мы можем сделать предположение, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности попадет в диапазон [12,376; 17,624].

Если мы хотим не снижать уровень статистической значимости α, то единственной альтернативой остается увеличение объема выборки. Увеличив ее до 144 наблюдений, получим следующие значения доверительных пределов

Сам доверительный интервал станет иметь следующий вид

Таким образом, сужение доверительного интервала без снижения уровня статистической значимости возможно только лишь за счет увеличения объема выборки. Если увеличение объема выборки не представляется возможным, то сужение доверительного интервала может достигаться исключительно за счет снижения уровня статистической значимости.

Построение доверительного интервала при распределении отличном от нормального

В случае если среднеквадратичное отклонение генеральной совокупности не известно или распределение отлично от нормального, для построения доверительного интервала используется t-распределение. Это методика является более консервативной, что выражается в более широких доверительных интервалах, по сравнению с методикой, базирующейся на Z-оценке.

Формула

Для расчета нижнего и верхнего предела доверительного интервала на основании t-распределения применяются следующие формулы

где X – математическое ожидание выборки, α – уровень статистической значимости, t_α – t-критерий Стьюдента для уровня статистической значимости α и количества степеней свободы (n-1), σ – среднеквадратическое отклонение выборки, n – количество наблюдений в выборке.

Сам доверительный интервал может быть записан в следующем виде

Распределение Стьюдента или t-распределение зависит только от одного параметра – количества степеней свободы, которое равно количеству индивидуальных значений признака (количество наблюдений в выборке). Значение t-критерия Стьюдента для заданного количества степеней свободы (n) и уровня статистической значимости α можно узнать из справочных таблиц.

Пример

Предположим, что размер выборки составляет 25 индивидуальных значений, математическое ожидание выборки равно 50, а среднеквадратическое отклонение выборки равно 28. Необходимо построить доверительный интервал для уровня статистической значимости α=5%.

В нашем случае количество степеней свободы равно 24 (25-1), следовательно соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня статистической значимости α=5% составляет 2,064. Следовательно, нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят

А сам интервал может быть записан в виде

Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне [38,442; 61,558].

Использование t-распределения позволяет сузить доверительный интервал либо за счет снижения статистической значимости, либо за счет увеличения размера выборки.

Снизив статистическую значимость с 95% до 90% в условиях нашего примера мы получим соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента 1,711.

В этом случае мы можем утверждать, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне [40,418; 59,582].

Если мы не хотим снижать статистическую значимость, то единственной альтернативой будет увеличение объема выборки. Допустим, что он составляет 64 индивидуальных наблюдения, а не 25 как в первоначальном условии примера. Табличное значение t-критерия Стьюдента для 63 степеней свободы (64-1) и уровня статистической значимости α=5% составляет 1,998.

Это дает нам возможность утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне [43,007; 56,993].

Выборки большого объема

К выборкам большого объема относятся выборки из генеральной совокупности данных, количество индивидуальных наблюдений в которых превышает 100. Статистические исследования показали, что выборки большего объема имеют тенденцию быть нормально распределенными, даже если распределение генеральной совокупности отличается от нормального. Кроме того, для таких выборок применение z-оценки и t-распределения дают примерно одинаковые результаты при построении доверительных интервалов. Таким образом, для выборок большого объема допускается применение z-оценки для нормального распределения вместо t-распределения.

Подведем итоги

В таблице собраны рекомендации по выбору методики построения доверительных интервалов для различных ситуаций.

Источник

Доверительный интервал. Азбука медицинской статистики. Глава III

Константин Кравчик доходчиво объясняет, что такое доверительный интервал в медицинских исследованиях и как его использовать

«Катрен-Стиль» продолжает публикацию цикла Константина Кравчика о медицинской статистике. В двух предыдущих статьях автор касался объяснения таких понятий, как размер выборки, генеральная совокупность, статистическая гипотеза и классификацию шкал.

Математик-аналитик. Специалист в области статистических исследований в медицине и гуманитарных науках

Очень часто в статьях по клиническим исследованиям можно встретить загадочное словосочетание: «доверительный интервал» (95 % ДИ или 95 % CI — confidence interval). Например, в статье может быть написано: «Для оценки значимости различий использовали t-критерий Стьюдента с расчетом 95 % доверительного интервала».

Какого же значение «95 % доверительного интервала» и зачем его рассчитывать?

Что такое доверительный интервал? — Это диапазон, в котором находятся истинные средние значения в генеральной совокупности. А что, бывают «неистинные» средние значения? В каком‑то смысле да, бывают. В прошлой статье мы объясняли, что невозможно измерить интересующий параметр во всей генеральной совокупности, поэтому исследователи довольствуются ограниченной выборкой. В этой выборке (например, по массе тела) есть одно среднее значение (определенный вес), по которому мы и судим о среднем значении во всей генеральной совокупности. Однако едва ли средний вес в выборке (особенно небольшой) совпадет со средним весом в генеральной совокупности. Поэтому более правильно рассчитывать и пользоваться диапазоном средних значений генеральной совокупности.

Например, представим, что 95 % доверительный интервал (95 % ДИ) по гемоглобину составляет от 110 до 122 г/л. Это означает, что с вероятностью 95 % истинное среднее значение по гемоглобину в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 110 до 122 г/л. Иными словами, мы не знаем средний показатель гемоглобина в генеральной совокупности, но можем с 95 %-й вероятностью указать диапазон значений для этого признака.

Доверительный интервал особенно уместен для разницы в средних значениях между группами или, как это называют, в размере эффекта.

Допустим, мы сравнивали эффективность двух препаратов железа: давно присутствующего на рынке и только что зарегистрированного. После курса терапии оценили концентрацию гемоглобина в исследуемых группах пациентов, и статистическая программа нам посчитала, что разность между средними значениями двух групп с вероятностью 95 % находится в диапазоне от 1,72 до 14,36 г/л (табл. 1).

Табл. 1. Критерий для независимых выборок
(сравниваются группы по уровню гемоглобина)

Трактовать это следует так: у части пациентов генеральной совокупности, которая принимает новый препарат, гемоглобин будет выше в среднем на 1,72–14,36 г/л, чем у тех, кто принимал уже известный препарат.

Иными словами, в генеральной совокупности разность в средних значениях по гемоглобину у групп с 95 %-й вероятностью находится в этих пределах. Судить, много это или мало, будет уже исследователь. Смысл всего этого в том, что мы работаем не с одним средним значением, а с диапазоном значений, следовательно, мы более достоверно оцениваем разницу по параметру между группами.

В статистических пакетах, на усмотрение исследователя, можно самостоятельно сужать или расширять границы доверительного интервала. Снижая вероятности доверительного интервала, мы сужаем диапазон средних. Например, при 90 % ДИ диапазон средних (или разницы средних) будет уже, чем при 95 %.

И наоборот, увеличение вероятности до 99 % расширяет диапазон значений. При сравнении групп нижняя граница ДИ может пересечь нулевую отметку. Например, если мы расширили границы доверительного интервала до 99 %, то границы интервала расположились от –1 до 16 г/л. Это означает, что в генеральной совокупности есть группы, различие средних между которыми по изучаемому признаку равняется 0 (М=0).

Почему рекомендуется смотреть на доверительный интервал? Для большей наглядности обратимся к рисунку.

95% доверительный интервал разницы по гемоглобину, (г/л)

На рисунке в виде линии изображен 95 % доверительный интервал разницы средних значений по гемоглобину между двумя группами. Линия проходит нулевую отметку, следовательно, имеет место разница между средними значениями, равная нулю, что подтверждает нулевую гипотезу о том, что группы не различаются. Диапазон разницы между группами лежит от –2 до 5 г/л, Это означает, что гемоглобин может как снизиться на 2 г/л, так и повыситься на 5 г/л.

Доверительный интервал — очень важный показатель. Благодаря ему можно посмотреть, были ли различия в группах действительно за счет разности средних или за счет большой выборки, т. к. при большой выборке шансы найти различия больше, чем при малой.

На практике это может выглядеть так. Мы взяли выборку в 1000 человек, измерили уровень гемоглобина и обнаружили, что доверительный интервал разницы средних лежит от 1,2 до 1,5 г/л. Уровень статистической значимости при этом p 22310 просмотров

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl+Enter.

Источник

Доверительный интервал за 15 минут

Добрый день, уважаемые читатели!

Меня зовут Кирилл Мильчаков. Сегодня мы продолжаем наш разговор о биостатистике. Тема сегодняшней нашей беседы будет «Доверительный интервал». Что такое доверительный интервал? Вы наверняка встречались с ним в научной литературе. Доверительный интервал 95 %, либо сочетание символов ДИ и CI (confidence interval) 95 %. Что же означают эти 95 %? Какие он еще может принимать значения? И как его рассчитывать самостоятельно? Об этом обо всем сегодня мы и поговорим в этой статье.

Видео-версия статьи о доверительном интервале

Генеральная совокупность и выборочная совокупность

Прежде чем углубляться в тайны доверительного интервала, хотел бы вспомнить с вами 2 основных понятия статистической совокупности, с которыми чаще всего работают – это генеральная совокупность или выборочная совокупность или выборка.

Генеральная совокупность – это тот массив данных, о которых вы хотите сделать выводы.

Выборка является частью генеральной совокупности, которая участвует непосредственно в вашем эксперименте. Есть такое понятие как репрезентативность, сегодня мы не будем его касаться, главное запомнить, что выборка должна быть репрезентативной.

Если привести небольшой пример относительно генеральной совокупности и выборки, то можно вспомнить о простом случае из вашей жизни. Когда вы хотите узнать, достаточно ли посолен суп, вы берете ложку супа и пробуете его. Вам необязательно есть весь суп, чтобы понять, насколько он посолен. Ложка в данном случае является выборкой, по которой вы делаете вывод обо всей кастрюле супа. В данном случае кастрюля супа является генеральной совокупностью, а ложка супа является выборкой.

Итак, мы вспомнили с вами о 2 ключевых статистических совокупностях – о генеральной совокупности и выборочной совокупности. Теперь нужно вспомнить, что типы исследования, которые проводятся над генеральной совокупностью и выборочной совокупностью, называют по-разному. Над генеральной совокупностью проводятся так называемые сплошные исследования, над выборочной совокупностью – выборочные.

Теперь вспомним небольшие отличия между параметрами этих 2 совокупностей. Сегодня для того, чтобы понять, что такое доверительный интервал, нам понадобятся следующие вещи: во-первых, отличие средней арифметической в генеральной совокупности и в выборочной совокупности. В генеральной совокупности она имеет значок µ (мю), в выборочной – это x̅ (х с чертой) — это средние арифметические по каждому виду совокупности.

Далее нужно знать, что стандартное отклонение имеет значок выборочной – либо S, либо SD (standard deviation), а в случае генеральной совокупности оно носит название среднеквадратичного отклонения и обозначается буквой σ (сигма).

Приведем пример расчета доврительного интервала

Представьте чисто гипотетическую ситуацию, когда перед нами стоит задача исследований среднего роста марсианина. Для того, чтобы его узнать, было отправлено 3 экспедиции. Первой из них повезло больше всего: они смогли поймать каждого из 200 марсианин и померить его рост.

Как мы помним, по закону нормального распределения по оси Х находится величина изучаемого признака, либо варианта (в данном случае это рост в сантиметрах), а по оси Y – частота встречаемости какого-то признака (мы его обозначаем буквой П.

Итак, оказалось, что у всех 200 марсиан средний рост составил 40 сантиметров. Таким образом, первая экспедиция смогла провести так называемое сплошное исследование, так как поработала со всеми единицами наблюдения генеральной совокупности. Поэтому мы имеем право назвать этот параметр µ.

Однако, второй и третьей экспедиции повезло гораздо меньше. Они попали в самые плохо населенные участки Марса и смогли отобрать только 10 марсиан. В данном случае оказалось, что средний рост по их выборке составил всего 38 сантиметров в первом случае и 41 сантиметр во втором случае.

Что же делать? Да, у нас есть данные из самого полного исследования, которое относится к первой экспедиции. Но представьте, что ни одна бы из них не смогла бы поработать со всей совокупностью полностью, и у нас были бы данные только от второй и третьей экспедиции. Что же в этой ситуации делать? Видно, что никто 40 сантиметров в действительности не достиг: во второй экспедиции Б она равна 38 сантиметрам, а в экспедиции В – 41 сантиметр. То есть в реальности никто не достиг 40 сантиметров. Что же делать в данном случае?

И вот здесь на помощь к нам приходит доверительный интервал, точнее оценка параметра. Доверительный интервал является вторым этапом оценки параметра. Прежде чем строить доверительный интервал, нам нужно понять, насколько в принципе этот параметр наша средняя (x̅_б, x̅_в) может отличаться, ошибаться от реального параметра в генеральной совокупности. Насколько?

Итак, предположим, мы нашли нашу ошибку репрезентативности m_r. В данном случае она составила 2,7 сантиметра. Но что же это нам дает? А дает нам это уже достаточно много. Теперь мы, зная, насколько в принципе наша выборка может ошибаться относительно генеральной совокупности, можем составить определенное предположение о том, где же находится реальный параметр – реальные 40 сантиметров генеральной совокупности на основании данных лишь нашей выборки.

Для того, чтобы не залезать в критерий Стьюдента сегодня, я скажу лишь, что:

для доверительного интервала 95 % используется t=2,

для доверительного интервала 99 % используется t=3

и для доверительного интервала 68 % используется t=1.

Итак, после того, как мы нашли нашу предельную ошибку, мы можем построить доверительный интервал. Но для этого нам нужно самим задать тот доверительный интервал, который для нас подходит больше всего. Чаще всего в медицине используется вероятность ошибки 5 %, то есть доверительный интервал 95 % или вероятность ошибки 5 % (р=0,05, р=5 %).

Что же значат эти 95 %? А значат они следующее, что с 95%-ной вероятностью в нашем интервале лежит реальное значение, и лишь в 5 % случаев мы ошибаемся. То есть в нашем конкретном случае наша ошибка репрезентативности составила 2,7 сантиметра. Предельная ошибка отсюда будет равна чему? Именно 5,4 сантиметра, то есть доверительный интервал, так как здесь и плюс, и минус, то есть нам нужно ошибку умножить на 2, составил 10,8 сантиметров. А именно наши 38 см±5,4 см. Ширина всего доверительного интервала составляет 10,8 см. Напомню, что он складывается из положительной и отрицательной предельных ошибок вокруг нашей выборочной средней.

Итак, говоря о доверительном интервале, нужно сделать ряд важных выводов.

Если это видео оказалось Вам полезным, оно хотя бы немного раскрыло тайны доверительного интервала, ставьте лайки, подписывайтесь на наши рассылки и в комментариях пишите, какие темы по биостатистике вам бы были интересны для следующих выпусков. На этом я с вами прощаюсь. Меня зовут Кирилл. Пока!

Источник

Доверительный интервал — формула и примеры определения вероятности

В математической статистике при анализе и систематизации различных данных для подведения практических выводов часто используют метод доверительных интервалов. С его помощью выполняют определённую выборку среднего или доли с учётом стандартной ошибки. Благодаря этому достоверность вероятности увеличивается, так как оценка расширяется в обе стороны от исследуемой величины.

Общая схема построения

По сути, метод основан на модели классической математической статистики, подразумевающей бесконечно возможные выборки в генеральной совокупности. Пусть имеется главная выборка эпсилон с функцией распределения известной до некого параметра тау (Fe (x, τ)). Из этой генеральной совокупности получена выборка объёмом эн, включающая диапазон от x1 до xn. Этот параметр можно считать одномерным и принадлежащим диапазону от τ до R. Математически такое положение описывают как τ є T c R.

Если предположить, что для некоторого интервала йод, лежащего от нуля до единицы, существуют статистики S-(X|n|, J) и S+(X|n|, J), при этом им соответствует неравенство P< S-(X|n|, J) Свойство статистики и распределения

Таким образом, определить доверительную вероятность попадания тэта в интервал от S- до S+ можно от значения обратной функции в точках, равняющихся квантили статистики игрек порядка j/2 и 1 — j/2. При этом когда рассматриваемая функция монотонно убывает, знаки в неравенстве меняются на противоположные.

Пользуясь общим подходом расчёта доверительных интервалов, можно посчитать вероятность для нормальной генеральной совокупности, опираясь на ряд утверждений. Пусть известна выборка X|n,| взятая из совокупности E

N (j, ς 2 ), то есть имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием j и дисперсией сигма в квадрате. Для такого состояния справедливо следующее:

Точный интервал

Существует ряд правил, позволяющих построить точные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормально распределённой случайной величины. Есть два случая — при одном дисперсия может быть известной, а при другом нет. Следует обратить внимание, что точная доверительная вероятность строится с помощью общей схемы. Используют следующие правила для предоставления точных прогнозов:

Асимптотическое приближение

Однако не всегда можно рассчитать точный доверительный интервал. В этом случае строится приближённая вероятность — асимптотическая. Пусть для некоторого j Є (0,1) существует набор статистик S-(X|n|, j) и S-(X|n|, j), причём такие, что lim P< S-(X|n|, j) Примеры решения задач

Отсюда получают оценку: p = m / n. Теперь нужно убедиться, что p максимизирует функцию правдоподобия. То есть d2LnL / dp2 = — m / p2 — (n — m) / (1 — p)2 Использование онлайн-калькулятора

На практике довольно часто вычислить доверительную область не так уж и просто. Всё дело в том, что высокая вероятность часто находится в выборке большого объёма, поэтому приходится выполнять громоздкие вычисления. Учитывая, что доверительная вероятность определяет точность полученных результатов, другими словами, показывает, с какой вероятностью неправильное решение попадает в найденный интервал, обычно используют процент выборки от 95 до 99,9%.

Для высокой точности получения диапазона как раз и используют сервисы, которые в последнее время начали называться онлайн-калькуляторами. Это специализированные сайты, умеющие в автоматическом режиме решать различные математические задания. Особенность этих сайтов в том, что они предоставляют услуги бесплатно, при этом от их пользователей не требуется никаких знаний.

Всё что им нужно — это ввести в пролагаемую форму данные и нажать кнопку «Рассчитать». Система автоматически вычислит ответ и выведет его на экран. Из наиболее популярных можно отметить следующие сервисы:

Они доступны на русском языке, их интерфейс интуитивно понятен, поэтому воспользоваться их услугами сможет любой заинтересованный, имеющий доступ к интернету. Автоматический расчёт занимает буквально секунды, что составляет существенную разность по сравнению с затратой времени при самостоятельном вычислении.

Источник