лфи математика и физика что это

Почему математика хорошо описывает реальность?

Поводом к переводу статьи стало то, что я искал книгу автора «The Outer Limits of Reason». Спиратить книгу я так и не смог, зато наткнулся на статью, которая в довольно сжатом виде показывает взгляд автора на проблему.

Вступление

Одна из самых интересных проблем философии науки — это связь математики и физической реальности. Почему математика так хорошо описывает происходящее во вселенной? Ведь многие области математики были сформированы без какого-либо участия физики, однако, как в итоге оказалось, они стали основой в описании некоторых физических законов. Как это можно объяснить?

Наиболее явно этот парадокс можно наблюдать в ситуациях, когда какие-то физические объекты были сначала открыты математически, а уже потом были найдены доказательства их физического существования. Наиболее известный пример — открытие Нептуна. Урбен Леверье сделал это открытие просто вычисляя орбиту Урана и исследуя расхождения предсказаний с реальной картиной. Другие примеры — предсказание Дираком о существовании позитронов и предположение Максвелла о том, что колебания в электрическом или магнитном поле должно порождать волны.

Ещё более удивительно, что некоторые области математики существовали задолго до того, как физики поняли, что они подходят для объяснения некоторых аспектов вселенной. Конические сечения, изучаемые ещё Аполлонием в древней Греции, были использованы Кеплером в начале 17 века для описания орбит планет. Комплексные числа были предложены за несколько веков до того, как физики стали использовать их для описания квантовой механики. Неевклидова геометрия было создана за десятилетия до теории относительности.

Почему математика так хорошо описывает природные явления? Почему из всех способов выражения мыслей, математика работает лучше всего? Почему, например, нельзя предсказать точную траекторию движения небесных тел на языке поэзии? Почему мы не можем выразить всю сложность периодической таблицы Менделеева музыкальным произведением? Почему медитация не сильно помогает в предсказании результата экспериментов квантовой механики?

Лауреат нобелевской премии Юджин Вигнер, в своей статье «The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences», также задается этими вопросами. Вигнер не дал нам каких-то определенных ответов, он писал, что «невероятная эффективность математики в естественных науках — это что-то мистическое и этому нет рационального объяснения».

Альберт Эйнштейн по этому поводу писал:

Как может математика, порождение человеческого разума, независимое от индивидуального опыта, быть таким подходящим способом описывать объекты в реальности? Может ли тогда человеческий разум силой мысли, не прибегая к опыту, постичь свойства вселенной? [Einstein]

Давайте внесем ясность. Проблема действительно встает, когда мы воспринимаем математику и физику как 2 разные, превосходно сформированные и объективные области. Если смотреть на ситуацию с этой стороны, то действительно непонятно почему эти две дисциплины так хорошо работают вместе. Почему открытые законы физики так хорошо описываются (уже открытой) математикой?

Этот вопрос обдумывался многими людьми, и они дали множество решений этой проблемы. Теологи, например, предложили Существо, которое строит законы природы, и при этом использует язык математики. Однако введение такого Существа только все усложняет. Платонисты (и их кузены натуралисты) верят в существование «мира идей», который содержит все математические объекты, формы, а так же Истину. Там же находятся и физические законы. Проблема с Платонистами в том, что они вводят ещё одну концепцию Платонического мира, и теперь мы должны объяснить отношение между тремя мирами (прим. переводчика. Я так и не понял зачем третий мир, но оставил как есть). Так же встает вопрос являются ли неидеальные теоремы идеальными формами (объектами мира идей). Как насчет опровергнутых физических законов?

Наиболее популярная версия решения поставленной проблемы эффективности математики заключается в том, что мы изучаем математику, наблюдая за физическим миром. Мы поняли некоторые свойства сложения и умножения считая овец и камни. Мы изучили геометрию, наблюдая за физическими формами. С этой точки зрения, неудивительно, что физика идет за математикой, ведь математика формируется при тщательном изучении физического мира. Главная проблема с этим решением заключается в том, что математика неплохо используется в областях, далеких от человеческого восприятия. Почему же спрятанный мир субатомных частиц так хорошо описывается математикой, изученной благодаря подсчетам овец и камней? почему специальная теория относительности, которая работает с объектами, двигающимися со скоростями близкими к скорости света, хорошо описывается математикой, которая сформирована наблюдением за объектами, двигающимися с нормальной скоростью?

В двух статьях (раз, два) Макр Зельцер и Я (Носон Яновски) сформулировали новый взгляд на природу математики (прим. переводчика. В целом в тех статьях написано то же, что и здесь, но куда более развернуто). Мы показали, что также, как и в физике, в математике огромную роль играет симметрия. Такой взгляд дает довольно оригинальное решение поставленной проблемы.

Что есть физика

Прежде чем рассматривать причину эффективности математики в физике, мы должны поговорить о том, что такое физические законы. Говорить, что физические законы описывают физические феномены, несколько несерьезно. Для начала можно сказать, что каждый закон описывает много явлений. Например закон гравитации говорит нам что будет, если я уроню свою ложку, также он описывает падение моей ложки завтра, или что будет если я уроню ложку через месяц на Сатурне. Законы описывают целый комплекс разных явлений. Можно зайти и с другой стороны. Одно физическое явление может наблюдаться совершенно по-разному. Кто-то скажет, что объект неподвижен, кто-то, что объект движется с постоянной скоростью. Физический закон должен описывать оба случая одинаково. Также, например, теория тяготения должна описывать мое наблюдение падающей ложки в двигающимся автомобиле, с моей точки зрения, с точки зрения моего друга, стоящего на дороге, с точки зрения парня, стоящего у него на голове, рядом с черной дырой и т.п.

Встает следующий вопрос: как классифицировать физические явления? Какие стоит группировать вместе и приписывать одному закону? Физики используют для этого понятие симметрии. В разговорной речи слово симметрия используют для физических объектов. Мы говорим, что комната симметрична, если левая её часть похожа на правую. Иными словами, если мы поменяем местами стороны, то комната будет выглядеть точно также. Физики немного расширили это определение и применяют его к физическим законам. Физический закон симметричен по отношению к преобразованию, если закон описывает преобразованный феномен таким же образом. Например, физические законы симметричны по пространству. То есть явление, наблюдаемое в Пизе, так же может наблюдаться в Принстоне. Физические законы также симметричны по времени, т.е. эксперимент, проведенный сегодня должен дать такие же результаты, как если бы его провели завтра. Ещё одна очевидная симметрия — ориентация в пространстве.

Существует множество других типов симметрий, которым должны соответствовать физические законы. Относительность по Галиею требует, чтобы физические законы движения оставались неизменными, независимо от того неподвижен объект, или двигается с постоянной скоростью. Специальная теория относительности утверждает, что законы движения должны оставаться прежними, даже если объект движется со скоростью, близкой к скорости света. Общая теория относительности говорит, что законы остаются прежними, даже если объект движется с ускорением.

Физики обобщали понятие симметрии по-разному: локальная симметрия, глобальная симметрия, непрерывная симметрия, дискретная симметрия и т.д. Виктор Стенджер объединил множество видов симметрии по тем, что мы называем инвариантность по отношению к наблюдателю (point of view invariance). Это означает, что законы физики должны оставаться неизменными, независимо от того, кто и как их наблюдает. Он показал как много областей современной физики (но не все) могут быть сведены к законам, удовлетворяющими инвариантности по отношению к наблюдателю. Это означает, что явления, относящиеся к одному феномену, связанны, несмотря на то, что они могут рассматриваться по-разному.

Понимание настоящей важности симметрии прошло с теорией относительности Эйнштейна. До него люди сначала открывали какой-то физический закон, а потом находили в нем свойство симметрии. Эйнштейн же использовал симметрию, чтобы найти закон. Он постулировал, что закон должен быть одинаков для неподвижного наблюдателя и для наблюдателя, двигающегося со скоростью, близкой к световой. С этим предположением, он описал уравнения специальной теории относительности. Это была революция в физике. Эйнштейн понял, что симметрия — определяющая характеристика законы природы. Не закон удовлетворяет симметрии, а симметрия порождает закон.

В 1918 году Эмми Нётер показала, что симметрия ещё более важное понятие в физике, чем думали до этого. Она доказала теорему, связывающую симметрии с законами сохранения. Теорема показала, что каждая симметрия порождает свой закон сохранения, и наоборот. Например инвариантность по смещению в пространстве порождает закон сохранения линейного импульса. Инвариантность по времени порождает закон сохранения энергии. Инвариантность по ориентации порождает закон сохранения углового момента. После этого физики стали искать новые виды симметрий, чтобы найти новые законы физики.

Таким образом мы определили что называть физическим законом. С этой точки зрения неудивительно, что эти законы кажутся нам объективными, вневременными, независимыми от человека. Так как они инвариантны по отношению к месту, времени, и взгляду на них человека, создается впечатление, что они существуют «где-то там». Однако на это можно посмотреть и по-другому. Вместо того, чтобы говорить, что мы смотрим на множество различных следствий из внешних законов, мы можем сказать, что человек выделил какие-то наблюдаемые физические явления, нашел в них что-то похожее и объединил их в закон. Мы замечаем только то, что воспринимаем, называем это законом и пропускаем все остальное. Мы не можем отказаться от человеческого фактора в понимании законов природы.

Прежде чем мы двинемся дальше, нужно упомянуть о одной симметрии, которая настолько очевидная, что о ней редко когда упоминают. Закон физики должен обладать симметрией по приложению (symmetry of applicability). То есть если закон работает с объектом одного типа, то он будет работать и с другим объектом такого же типа. Если закон верен для одной положительно заряженной частицы, двигающейся со скоростью, близкой к скорости света, то он будет работать и для другой положительно заряженной частицы, двигающейся со скоростью такого же порядка. С другой стороны, закон может не работать для макрообъектов с малой скоростью. Все похожие объекты связанны с одним законом. Нам понадобится этот вид симметрии, когда мы будем обсуждать связь математики с физикой.

Что есть математика

Давайте потратим немного времени на то, чтобы понять самую суть математики. Мы рассмотрим 3 примера.

Давным давно какой-то фермер обнаружил, что если ты возьмешь девять яблок и соединишь их с четырьмя яблоками, то в итоге ты получишь тринадцать яблок. Некоторое время спустя он обнаружил, что если девять апельсинов соединить с четырьмя апельсинами, то получится тринадцать апельсинов. Это означает, что если он обменяет каждое яблоко на апельсин, то количество фруктов останется неизменным. В какое-то время математики накопили достаточно опыта в подобных делах и вывели математическое выражение 9 + 4 = 13. Это маленькое выражение обобщает все возможные случаи таких комбинаций. То есть оно истинно для любых дискретных объектов, которые можно обменять на яблоки.

Более сложный пример. Одна из важнейших теорем алгебраической геометрии — теорема Гильберта о нулях (https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гильберта_о_нулях ). Она заключается в том, что для каждого идеала J в полиномиальном кольце существует соответствующее алгебраическое множество V(J), а для каждого алгебраического множества S существует идеал I(S). Связь этих двух операций выражается как , где — радикал идеала. Если мы заменим одно алг. мн-во на другое, мы получим другой идеал. Если мы заменим один идеал на другой, мы получим другое алг. мн-во.

Одним из основных понятий алгебраической топологии является гомоморфизм Гуревича. Для каждого топологического пространства X и положительного k существует группа гомоморфизмов из k-гомотопичой группы в k-гомологичную группу. . Этот гомоморфизм обладает особым свойством. Если пространство X заменить на пространство Y, а заменить на , то гомоморфизм будет другим . Как и в предыдущем примере, какой-то конкретный случай этого утверждения не имеет большого значения для математики. Но если мы собираем все случаи, то мы получаем теорему.

В этих трех примерах мы смотрели на изменение семантики математических выражений. Мы меняли апельсины на яблоки, мы меняли одну идею на другую, мы заменяли одно топологическое пространство на другое. Главное в этом то, что делая правильную замену, математическое утверждение остается верным. Мы утверждаем, что именно это свойство является основным свойством математики. Так что мы будем называть утверждение математическим, если мы можем изменить то, на что оно ссылается, и при этом утверждение останется верным.

Теперь к каждому математическому утверждению нам нужно будет приставить область применения. Когда математик говорит «для каждого целого n», «Возьмем пространство Хаусдорфа», или «пусть C — кокуммутативная, коассоциативная инволютивная коалгебра», он определяет область применения для своего утверждения. Если это утверждение правдиво для одного элемента из области применения, то оно правдиво для каждого (при условии правильного выбора этой самой области применения, прим. пер.).

Эта замена одного элемента на другое, может быть описана как одно из свойств симметрии. Мы называем это симметрия семантики. Мы утверждаем, что эта симметрия фундаментальна, как для математики, так и для физики. Таким же образом, как физики формулируют свои законы, математики формулируют свои математические утверждения, одновременно определяя в какой области применения утверждение сохраняет симметрию семантики (иными словами где это утверждение работает). Зайдем дальше и скажем, что математическое утверждение — утверждение, которое удовлетворяет симметрии семантики.

Если среди вас найдутся логики, то им понятие симметрии семантики будет вполне очевидно, ведь логическое высказывание истинно, если оно истинно для каждой интерпретации логической формулы. Здесь же мы говорим, что мат. утверждение верно, если оно верно для каждого элемента из области применения.

Кто-то может возразить, что такое определение математики слишком широкое и что утверждение, удовлетворяющее симметрии семантики — просто утверждение, не обязательно математическое. Мы ответим, что во-первых, математика в принципе достаточно широка. Математика — это не только разговоры о числах, она о формах, высказываниях, множествах, категориях, микросостояниях, макросостояниях, свойствах и т.п. Чтобы все эти объекты были математическими, определение математики должно быть широким. Во-вторых, существует множество утверждений, не удовлетворяющих симметрии семантики. «В Нью-Йорке в январе холодно», «Цветы бывают только красными и зелеными», «Политики — честные люди». Все эти утверждения не удовлетворяют симметрии семантики и, следоваиельно, не математические. Если есть контрпример из области применения, то утверждение автоматически перестает быть математическим.

Математические утверждения удовлетворяют также и другим симметриям, например симметрии синтаксиса. Это означает, что одни и те же математические объекты могут быть представлены по-разному. Например число 6 может быть представлено как «2 * 3», или «2 + 2 + 2», или «54/9». Также мы можем говорить о «непрерывной самонепересекающийся кривой», о «простой замкнутой кривой», о «жордановой кривой», и мы будем иметь в виду одно и то же. На практике математики пытаются использовать наиболее простой синтаксис (6 вместо 5+2-1).

Некоторые симметрические свойства математики кажутся настолько очевидными, что о них вообще не говорят. Например математическая истина инвариантна по отношению ко времени и пространству. Если утверждение истинно, то оно будет истинно также завтра в другой части земного шара. Причем неважно, кто его произнесет — мать Тереза или Альберт Эйнштейн, и на каком языке.

Так как математика удовлетворяет всем этим типам симметрии, легко понять почему нам кажется, что математика (как и физика) объективна, работает вне времени и независима от наблюдений человека. Когда математические формулы начинают работать для совершенно разных задач, открытых независимо, иногда в разных веках, начинает казаться, что математика существует «где-то там». Однако, симметрия семантики (а это именно то, что происходит) — это фундаментальная часть математики, определяющая её. Вместо того, чтобы сказать, что существует одна математическая истина и мы лишь нашли несколько её случаев, мы скажем, что существует множество случаев математических фактов и человеческий разум объединил их вместе, создав математическое утверждение.

Почему математика хороша в описании физики?

Ну что, теперь мы можем задаться вопросов почему математика так хорошо описывает физику. Давайте взглянем на 3 физических закона.

В каждом из трех приведенных примеров физические законы естественно выражаются только через математические формулы. Все физические явления, которые мы хотим описать, находятся внутри математического выражения (точнее в частных случаях этого выражения). В терминах симметрий мы говорим, что физическая симметрия применимости — частный случай математической симметрии семантики. Более точно, из симметрии применимости следует, что мы можем заменить один объект на другой (того же класса). Значит математическое выражение, которое описывает явление, должно обладать таким же свойством (то есть его область применения должна быть хотя бы не меньше).

Иными словами, мы хотим сказать, что математика так хорошо работает в описании физических явлений, потому-что физика с математикой формировались одинаковым образом. Законы физики не находятся в платоновом мире и не являются центральными идеями в математике. И физики, и математики выбирают свои утверждения таким образом, чтобы они подходили ко многим контекстам. В этом нет ничего странного, что абстрактные законы физики берут свое начало в абстрактном языке математики. Как и в том, что некоторые математические утверждения сформулированы задолго до того, как были открыты соответствующие законы физики, ведь они подчиняются одним симметриям.

Теперь мы полностью решили загадку эффективности математики. Хотя, конечно, есть ещё множество вопросов, на которые нет ответов. Например, мы можем спросить почему у людей вообще есть физика и математика. Почему мы способны замечать симметрии вокруг нас? Частично ответ на этот вопрос в том, что быть живым — значит проявлять свойство гомеостазиса, поэтому живые существа должны защищаться. Чем лучше они понимают своё окружение, тем лучше они выживают. Неживые объекты, например камни и палки, никак не взаимодействуют со своим окружением. Растения же, с другой стороны, поворачиваются к солнцу, а их корни тянутся к воде. Более сложное животное может замечать больше вещей в своем окружении. Люди замечают вокруг себя множество закономерностей. Шимпанзе или, например, дельфины не могут этого. Закономерности наших мыслей мы называем математикой. Некоторые из этих закономерностей являются закономерностями физических явлений вокруг нас, и мы называем эти закономерности физикой.

Можно задаться вопросом почему в физических явлениях вообще есть какие-то закономерности? Почему эксперимент проведенный в Москве даст такие же результаты, если его провести в Санкт-Петербурге? Почему отпущенный мячик будет падать с одинаковой скоростью, несмотря на то, что его отпустили в другое время? Почему химическая реакция будет протекать одинаково, даже если на неё смотрят разные люди? Чтобы ответить на эти вопросы мы можем обратиться к антропному принципу. Если бы во вселенной не было каких-то закономерностей, то нас бы не существовало. Жизнь пользуется тем фактом, что у природы есть какие-то предсказуемые явления. Если бы вселенная была полностью случайна, или похожа на какую-то психоделическую картину, то никакая жизнь, по крайней мере интеллектуальная жизнь, не смогла бы выжить. Антропный принцип, вообще говоря, не решает поставленную проблему. Вопросы типа «Почему существует вселенная», «Почему есть что-то» и «Что тут вообще происходит» пока остаются без ответа.

Несмотря на то, что мы не ответили на все вопросы, мы показали, что наличие структуры в наблюдаемой вселенной вполне естественно описывается на языке математики.

Источник

Единый математический язык для физики и инженерного искусства в 21 веке

Введение

Сегодня, старшеклассников обучающихся по уровням А или их эквивалентам в естественных науках, познакомят с понятием векторов – направленных отрезков прямых, и научат манипулировать ими с помощью классической векторной алгебры. Фактически это алгебра, введенная Гиббсом в конце 19-го века; с тех пор она мало изменилась. Ученики практикуются в искусстве векторной алгебры и видят, насколько успешно она выражает большую часть двумерной и трехмерной геометрии. Манипулирование системой становится почти второй натурой.

Уильям Роуэн Гамильтон 1805-1865. Изобретатель кватернионов и один из ключевых научных деятелей 19 века

Понятное дело, что будет трудно отказаться от этой знакомой и, по-видимому, успешной системы в пользу новой алгебры (геометрической алгебры (ГА)), которая имеет дополнительные правила и нетрадиционные понятия. Однако, за умеренные затраты времени и усилий, вложенные в изучение ГА, наградой будет возможность получить в свое распоряжение инструмент, который позволяет пользователю проникать даже в самые мощные области современных научных исследований. По мере того, как мы переходим в 21-й век, мы достигли стадии, когда исследования в области физических наук часто специализируются в одной, как правило, очень ограниченной области. Тем не менее, всегда было так, что большие преимущества могут быть получены из взаимодействия между различными областями, что становится все более трудным, но все более желательным. Мы предполагаем, что в новом тысячелетии толчок к междисциплинарной деятельности возрастет во много раз. В следующих разделах мы попытаемся дать читателю некоторые доказательства того, что ГА может быть лучшей надеждой на достижение цели унификации математического языка для современной науки.

Немного истории

Многих выдающихся математиков начала 19-го века занимал вопрос заключавшийся в том, как лучше всего математически представить вращения в трех измерениях, то есть в обычном пространстве. Гамильтон провел большую часть своей жизни, работая над этой проблемой, и в конце концов создал кватернионы, которые были обобщением комплексных чисел. Алгебра содержит четыре элемента и правило

Хотя элементы i, j, k часто называют векторами, позже мы увидим, что они не обладают свойствами векторов. Несмотря на очевидную полезность кватернионов, всегда существовала небольшая загадка и путаница в их природе и использовании. Сегодня кватернионы все еще используются для представления трехмерных вращений во многих областях, поскольку признано, что они являются очень эффективным способом выполнения таких операций. Однако путаница все еще сохраняется, и глубокое и детальное понимание кватернионов было потеряно для целого поколения.

Герман Гюнтер Грассман (1809-1877). Немецкий математик и школьный учитель, прославившийся алгеброй, которая теперь носит его имя

В то время как Гамильтон разрабатывал свою кватернионную алгебру, Грассман формулировал свою собственную алгебру, ключом к которой было введение внешнего произведения; мы обозначаем это внешнее произведение как ∧, так что внешнее произведение двух векторов a и b записывается как a ∧ b. Это произведение имеет определенные особенности. Одной из таких особенностей является его ассоциативность, т. е.

То, как мы группируем множители, не имеет значения. Другая особенность – антикоммутативность, то есть, если мы изменим порядок векторов во внешнем произведении, то изменим его знак:

Мы больше привыкли иметь дело с коммутативным произведением, то есть умножением между двумя числами, 2×5 = 5×2 = 10, но оказывается чрезвычайно полезным во многих областях физики, математики и техники иметь произведение, которое не обязательно коммутирует. Напротив, внутреннее (скалярное) произведение между двумя векторами, a и b, записанное как a ⋅ b (что дает скаляр, величина которого равна ab cos θ, где θ – угол между векторами), является коммутативным, т. е.

Грассман, немецкий школьный учитель, был в значительной степени проигнорирован при жизни, но после его смерти его работа стимулировала модные области дифференциальных форм и грассмановских (антикоммутирующих) переменных. Последние имеют фундаментальное значение для основ современной суперсимметрии и теории суперструн.

Портрет Уильяма Кингдона Клиффорда (1845-1879), математика и философа, работы достопочтенного Дж. Джон Кольер. (Библиотека и архив Королевского общества.)

Следующий решающий этап истории происходит в 1878 году и связан с работой английского математика Уильяма Кингдона Клиффорда. Клиффорд был одним из немногих математиков, которые читали и понимали работу Грассмана, и в попытке объединить алгебры Гамильтона и Грассмана в единую структуру он ввел свою собственную геометрическую алгебру. В этой алгебре мы имеем одно геометрическое произведение, образованное объединением внутреннего и внешнего произведений; оно ассоциативно, как произведение Грассмана, но также обратимо, как произведения в алгебре Гамильтона. В геометрической алгебре Клиффорда уравнение типа ab = C имеет решение b = a⁻¹C, где a⁻¹ существует и известно как обратное от a. Ни внутреннее, ни внешнее произведение не обладают этой обратимостью сами по себе. Большая часть силы геометрической алгебры заключается в этом свойстве обратимости.

С появлением специальной теории относительности физики поняли, что им нужна система, способная обрабатывать четырехмерное пространство, но к этому времени важнейшие идеи Грассмана и Клиффорда уже давно затерялись в бумагах конца 19-го века. В 1920-х годах алгебра Клиффорда вновь появилась как алгебра, лежащая в основе квантового спина. В частности, алгебра спиновых матриц Паули и Дирака стала незаменимой в квантовой теории. Однако к ним относились просто как к алгебрам: геометрический смысл был утрачен. Соответственно, мы будем использовать термин «алгебры Клиффорда», когда он используется исключительно в формальной алгебре. Говоря же о геометрической постановке, мы используем название данное Клиффордом – геометрическая алгебра. Это также уступка Грассману, который фактически первым записал геометрическое (клиффордовское) произведение!

Ситуация оставалась в значительной степени неизменной до 1960-х годов, когда Дэвид Хестенес начал восстанавливать геометрический смысл алгебр Паули и Дирака. Хотя его первоначальная мотивация состояла в том, чтобы получить некоторое представление о природе квантовой механики, он очень скоро понял, что при правильном применении система Клиффорда была не чем иным, как универсальным языком для математики, физики и инженерии. Опять же, эта замечательная работа в значительной степени игнорировалась около 20 лет, но сегодня интерес к системе Гестенеса набирает обороты. В настоящее время во всем мире существует множество групп, работающих над применением геометрической алгебры к таким различным темам, как черные дыры и космология, квантовое туннелирование и квантовая теория поля, динамика пучков и дефформации, компьютерное зрение и робототехника, свертывание белков, нейронные сети и автоматизированное проектирование. Во всем используется одна и та же алгебраическая система, позволяющая людям одновременно вносить вклад в ряд этих областей

Краткий обзор

В нашей геометрической алгебре мы начинаем со скаляров, то есть обычных чисел, которые имеют величину, но не связаны с ориентацией, и векторов, то есть направленных отрезков как с величиной, так и с ориентацией/направлением. Давайте теперь возьмем эти векторы и посмотрим немного более внимательно на геометрию, лежащую за внешним произведением Грассмана. Внешнее произведение между двумя векторами a и b записывается как a ∧ b и представляет собой новую величину, называемую бивектором. Бивектор a ∧ b – это направленная область, охватываемая двумя векторами a и b; таким образом, внешнее произведение двух векторов является новой математической сущностью, кодирующей понятие ориентированной плоскости.

Если мы пронесем b вдоль а, то получим тот же бивектор, но с противоположным знаком (ориентацией). Теперь, расширяя эту идею, мы видим, что внешнее произведение между тремя векторами, a ∧ b ∧ с, получается путем выметания бивектора a ∧ b вдоль c, что дает ориентированный объем или тривектор. Если мы пронесем a через область, представленную бивектором b ∧ с, мы получим тот же самый тривектор (можно показать, что он имеет ту же самую «ориентацию»); этот факт выражает ассоциативность внешнего произведения.

В n-мерном пространстве у нас будут n-векторы, которые являются просто ориентированными n-объемами; таким образом, мы видим, что внешнее произведение легко обобщается на более высокие измерения, в отличие от векторного произведения Гиббса, которое ограничено тремя измерениями. Решающий шаг в развитии геометрической алгебры теперь происходит с введением геометрического произведения. Мы уже знаем, что такое a ⋅ b и a ∧ b; геометрическое произведение же их объединяет:

Этот шаг суммирования двух различных объектов не является совершенно чуждым актом; на самом деле мы уже давно делаем то же самое при выполнении операций с комплексными числами. Оказывается, что многие величины в физике могут быть выражены очень сжато и эффективно в терминах мультивекторов (линейные комбинации n-векторов, например скаляр плюс бивектор и т. д.); действительно, такое объединение объектов разных типов, по-видимому, происходит на глубоком уровне физической теории.

Геометрическая алгебра в двух измерениях

В двух измерениях (на плоскости) любая точка может быть достигнута путем принятия различных линейных комбинаций двух векторов с различными направлениями; мы говорим, что пространство тогда охватывается этими двумя базисными векторами. Теперь пусть эти два вектора ортонормированы, т. е. единичной длины и перпендикулярные друг другу, и назовем их e₁ и e₂. Или на языке формул

Единственным новым элементом в нашей двумерной геометрической алгебре является бивектор e₁ ∧ e₂; это самый высокий класс элемента в алгебре (часто называемый псевдоскаляром). Рассмотрим теперь свойства этого бивектора. Первое, на что следует обратить внимание

то есть геометрическое произведение является чистым бивектором, потому что перпендикулярность векторов гарантирует, что e₁ ⋅ e₂ обращается в нуль. Теперь давайте разберем этот бивектор:

Давайте теперь посмотрим, что происходит, когда бивектор e₁e₂ умножается на векторы слева и справа. Умножение e₁ и e₂ слева дает

Легко заметить, что умножение слева на бивектор вращает векторы на 90° по часовой стрелке. Точно так же, если мы умножаем справа, мы вращаемся на 90° против часовой стрелки

Вращения

Из свойств бивектора e₁e₂ очень легко показать, что поворот вектора a на угол θ к вектору a’ достигается уравнением

где R – величина, которую мы будем называть ротором и которая состоит из суммы скаляра и бивектора

а P – это то же самое выражение, но с «+». На первый взгляд это может показаться довольно громоздким выражением для выполнения простого двумерного вращения; однако оказывается, что оно обобщается на более высокие измерения и поэтому обладает огромной силой.

Ротор R, переводящий вектор a в вектор a’. Обратите внимание, что понятие перпендикулярного вектора больше не требуется; важен бивектор или плоскость вращения.

Приведенное выше уравнение фактически является формулой, которая используется для вращения вектора в любом измерении; если мы перейдем к трем измерениям, ротор R будет вращаться на угол в плоскости, описываемой бивектором. Поэтому все, что нам нужно сделать, это заменить бивектор e₁e₂ на бивектор, который определяет плоскость вращения. И все; используя это очень простое выражение, мы обнаружим, что можем вращать не только векторы, но и бивекторы и более высокоуровневые величины. Осуществить вращение в трех измерениях таким образом, чтобы расширить понятия, которые мы понимали в двух измерениях, было проблемой, с которой Гамильтон боролся в течение многих лет, прежде чем, наконец, получить в качестве своего решения кватернионы. На самом деле элементы кватернионной алгебры Гамильтона – это не что иное, как элементарные бивекторы (плоскости). Вооружившись очень простой идеей ротора, который совершает вращения, мы можем дать удивительно простые геометрические интерпретации многих других сложных объектов.

Специальная теория относительности

Специальная теория относительности была введена в 1905 году и возвестила начало новой эры в физике; отход от чисто классического режима ньютоновской физики. В специальной теории относительности (СТО) мы имеем дело с четырехмерным пространством: тремя измерениями обычного евклидова пространства и временем. Предположим, что у нас есть стационарный наблюдатель, с которым мы можем связать координаты пространства и времени, и этот наблюдатель будет наблюдать события со своего пространственно-временного положения. Теперь предположим, что у нас есть другой наблюдатель, движущийся со скоростью v; он тоже будет наблюдать события из своего непрерывно меняющегося пространственно-временного положения.

Проблема того, как два наблюдателя воспринимают различные события, относительно проста, когда скорость |v| мала. Но когда |v| приближается к скорости света, c, и мы добавляем тот факт, что она должна быть постоянной в любой системе, и математика становится уже не такой простой. Условно можно получить преобразование координат между системами отсчета обоих наблюдателей, и для перемещения между этими двумя системами мы применяем матричное преобразование, известное как преобразование Лоренца. Геометрическая алгебра дает нам прекрасно простой способ работы со специальными релятивистскими преобразованиями, используя не что иное, как формулу для вращений, рассмотренную выше, а именно a’ = RaP. Наше пространство теперь имеет четыре измерения, и наши базисные векторы – это три пространственных направления и одно временное направление; назовем эти базисные векторы γ₀, γ₁, γ₂ и γ₃. Для четырех измерений, у нас будет шесть бивекторов (три пространственных бивектора плюс бивекторы, состоящие из пространственно-временных «плоскостей»).

Иллюстрация четырехмерных пространственно-временных осей. Показан один из пространственно-временных бивекторов, который, как и прежде, определяет плоскость в нашем пространстве и поэтому может быть использован для вращения осей.

Преобразование Лоренца оказывается просто ротором R, который переводит ось времени в другое положение в четырех измерениях: Rγ₀P. Таким образом, элегантным бескоординатным способом мы можем придать преобразованиям СТО интуитивный геометрический смысл. Все обычные результаты СТО совершенно естественно следуют из этой отправной точки. Например, сложные формулы для преобразования электрического (Е) и магнитного (В) полей при лоренцевом ускорении заменяются (гораздо более простым!) результатом

где I = γ₀γ₁γ₂γ₃ – псевдоскаляр четырехмерного пространства (4-объем), а штрихами обозначаем преобразованные величины.

Квантовая механика

В нерелятивистской квантовой механике существуют важные величины, известные как спиноры Паули; используя эти спиноры, мы можем записать уравнение Паули, которое управляет поведением квантово-механического состояния в некотором внешнем поле. Уравнение включает в себя величины, называемые спиновыми операторами, которые обычно рассматриваются как совершенно разные сущности для состояний. Используя трехмерную геометрическую алгебру, мы можем записать эквивалент уравнения Паули, в котором операторы и состояния являются мультивекторами реального пространства; действительно, спиноры становятся роторами того типа, о котором мы говорили ранее.

К тому же, переход к релятивистской квантовой механике будет сравнительно прост. Условно она описывается алгеброй Дирака, где уравнение Дирака говорит нам о состоянии частицы во внешнем поле. На этот раз мы используем четырехмерную геометрическую алгебру пространства-времени, и снова волновая функция в обычной квантовой механике становится инструкцией по вращению базисного набора осей и выравниванию их в определенных направлениях: аналогично теории механики твердого тела! Простота такого подхода имеет некоторые интересные последствия. При решении уравнения Дирака для некоторого внешнего потенциала А, видя, куда повернута временная ось γ₀, мы можем построить линии тока (линии, которые дают направление скорости частицы в каждой точке) движения частицы. Сравнение с общепринятой теорией можно проиллюстрировать простым примером.

Рассмотрим случай, когда пакет частиц с энергией, скажем, 5 эВ сталкивается с прямоугольным барьером – потенциалом высотой 10 эВ и конечной шириной, скажем, 5 Ангстрем. Теория квантовой механики позволяет предсказать, что, несмотря на кажущийся непроницаемым барьер, часть пакета действительно возникает с другой стороны. Эффект называется туннелированием, и он имеет фундаментальное значение во многих современных полупроводниковых приборах. Однако, когда мы задаем кажущийся очевидным вопрос о том, сколько времени туннелирующая частица проводит внутри барьера, квантовая теория дает нам множество ответов:

такое не обсуждается, поскольку время не является эрмитовой наблюдаемой;

время тождественно нулю;

время является мнимым.

Однако подход геометрической алгебры говорит нам, что мы должны построить линии тока, представляющие путь частицы внутри барьера, и, следовательно, найти, сколько времени они действительно проводят внутри барьера. Скорее всего, в ближайшем будущем можно будет сравнить время, данное этой теорией, со временем, измеренным в реальных экспериментах. (Это будущее уже наступает — прим. перев.)

На рисунке изображены предсказанные линии тока частиц, начинающих движение из различных позиций внутри волнового пакета энергии 5 эВ, падающего на барьер высотой 10 эВ и шириной 5 Ангстрем, как показано выше. Здесь видно, что линии потока частиц замедляются, находясь в барьере. Это контрастирует с некоторыми недавними обсуждениями сверхсветовых скоростей внутри таких барьеров, которые были выведены из экспериментально наблюдаемого факта, что частицы, туннелирующие через барьер, достигают цели раньше, чем те, которые проходят эквивалентное расстояние в свободном пространстве. Это кажущееся противоречие объясняется здесь тем, что именно частицы вблизи фронта волнового пакета, которые уже имеют фору, передаются и способны достичь цели. Интересно отметить, что большая часть модной в настоящее время области квантовой космологии основана на понятиях мнимого времени.

Гравитация

Электромагнетизм – это калибровочная теория. Калибровочная теория возникает, если мы оговариваем, что глобальные симметрии должны также стать локальными симметриями (в электромагнетизме эти симметрии называются фазовыми вращениями); цена, которую нужно заплатить, чтобы достичь этого, – это введение сил. В геометрической алгебре гравитацию также можно рассматривать как калибровочную теорию, и здесь симметрии гораздо легче понять. Предположим, что мы требуем, чтобы физика во всех точках пространства-времени была инвариантна при произвольных локальных перемещениях и вращениях (вспомним, что под вращениями в четырех измерениях мы подразумеваем лоренцевы преобразования); калибровочное поле, которое вытекает из такого требования, является гравитационным полем.

Следствием этой теории является огромное упрощение возможности обсуждать гравитацию целиком на плоском пространственно-временном фоне. Нет необходимости в сложных понятиях искривленного пространства-времени, которые мы все привыкли связывать с общей теорией относительности Эйнштейна. Именно здесь подход ГА отличается от прошлых подходов калибровочной теории к гравитации, где эти прошлые теории все еще сохраняли идеи искривленного пространственно-временного фона. Локально гауссова калибровочная теория гравитации воспроизводит все результаты общей теории относительности, но глобально эти две теории будут отличаться, когда речь зайдет о топологии. Например, всякий раз, когда обсуждаются сингулярности или горизонты (как в случае с черными дырами), теория ГА может давать различные предсказания обычной ОТО. Некоторые усовершенствованные методы решения, работающие исключительно с физическими величинами, также были найдены в ГА. Калибровочная теория гравитации ГА имеет дело с экстремальными полями (то есть полями, в которых возникают сингулярности) иначе, чем ОТО. Эти особенности рассматриваются просто способом, аналогичным тому, который используется в электромагнетизме (с использованием интегральных теорем). Взаимодействие с квантовыми полями также отличается и предлагает альтернативный путь к квантовой теории гравитации. В этом контексте интересно также отметить, что многие другие модные попытки объединить гравитацию и квантовую теорию (твисторы, супергравитация, суперструны) также естественным образом вписываются в рамки ГА.

Стержни, оболочки и прогибающиеся балки

Геометрическая алгебра полезна не только в области фундаментальной физики. Концепция системы отсчета, изменяющейся в пространстве или во времени (или и в том, и в другом), лежит в основе многих работ, направленных на понимание деформирующихся тел. Возьмем в качестве простого примера однородную балку, которая подвергается некоторой нагрузке по своей длине; свойства балки и нагрузки будут определять, как она деформируется.

Математически мы можем описать деформацию, разделив балку на очень маленькие сегменты и прикрепив системы координат (три взаимно перпендикулярные оси) к центру масс каждого сегмента. Первоначально, при отсутствии нагрузки и кручения, мы ожидаем, что начало координат каждого набора осей будет находиться вдоль осевой линии балки и что каждая система отсчета будет выровнена так, что ось x будет направлена вдоль длины балки, а ось z – вертикально вверх. Теперь, когда луч деформируется, мы можем описать его положение в данный момент времени, указав положение начала координат и ориентацию рамки для каждого сегмента.

Предположим, что у нас есть неподвижная система отсчета на одном конце балки. Тогда система координат на сегменте i будет связана с ней некоторым ротором, Rᵢ. Таким образом, при движении вдоль балки ориентации описываются ротором, изменяющимся с расстоянием x. Для заданной нагрузки и заданных граничных условий можно было бы решить задачу для роторов, чтобы получить информацию о свойствах изгиба балки. Условно эта задача была выполнена с использованием различных средств кодирования вращений: углов Эйлера, параметров вращения, направляющих косинусов, матриц вращения и т. д. Преимущество использования роторов двоякое: во-первых, они автоматически имеют правильное число степеней свободы (три), в отличие, например, от направляющих косинусов (где у нас девять параметров, только три из которых независимы), а во-вторых, мы можем эффективно решать полные уравнения (без аппроксимаций).

Эту идею варьирования фреймов можно развить еще на одну ступень. Сегодня большая часть исследований в области современной строительной механики стала прерогативой математика. Чтобы иметь дело с тонкими структурами, такими как стержни и оболочки, где при деформации структура поверхности может быть довольно сложной, люди увидели, что области математики, такие как дифференциальная геометрия и дифференциальная топология, могут предоставить полезные инструменты. Действительно, большая часть конечно-элементного кода, используемого сегодня в стандартных конструкторских пакетах, написана на основе алгоритмов, основанных на этой математике. В результате, однако, многие инженеры больше не могут понять работу таких пакетов и должны считать само собой разумеющимся, что то, что они используют, является правильным. С другой стороны, при использовании геометрической алгебры, задача снова сводится к тому, чтобы работать с роторами, которые могут изменяться во времени и/или пространстве на любой заданной поверхности; математика не сложнее, чем можно было бы использовать для решения простых задач механики. Таким образом, внутренний конечно-элементный код становится доступным для инженеров с возможностью его модификации.

Компьютерное зрение и анализ движения

Компьютерное зрение – это, по сути, искусство реконструировать или выводить вещи о реальном трехмерном мире из представлений о сцене, снятых одной или несколькими камерами. Положение и ориентация камер могут быть известны, а могут и не быть известны, и внутренние параметры камер (которые определяют, насколько изображения, которые мы видим, отличаются от тех, которые были бы результатом идеальной проекции на плоскость изображения) также могут быть неизвестны. Из этого довольно упрощенного описания видно, что будет задействовано значительное количество трехмерной геометрии. Фактически, с середины 1980-х годов большая часть компьютерного зрения была написана на языке проективной геометрии.

В классической проективной геометрии мы определяем трехмерное пространство, точки которого соотносятся линиям проходящим через некоторое начало координат (заданную точку) в четырехмерном пространстве. Использующая такую систему алгебра инцидентности (пересечения линий, плоскостей и т. д.) чрезвычайно изящна, и, кроме того, преобразования, которые кажутся сложными в трех измерениях (например, проекция точек, линий и т. д. вниз на данную плоскость), теперь становятся простыми. В последние годы люди начали использовать алгебру, называемую алгеброй Грассмана-Кэли для проективных геометрических вычислений и манипуляций; это фактически внешняя алгебра Грассмана, поскольку она ограничивает себя использованием только внешнего произведения. Геометрическая алгебра содержит внешнюю алгебру как подмножество и, следовательно, является идеальным языком для выражения всех идей проективной геометрии. Однако у ГА также есть понятие внутреннего произведения, часто позволяющее нам делать вещи, которые были бы очень трудными при наличии только внешнего произведения.

Чтобы проиллюстрировать еще один способ использования геометрической алгебры в компьютерном зрении, рассмотрим задачу, возникающую при анализе движения, при реконструкции сцены и регистрации изображения (мозаика ряда различных, перекрывающихся изображений при наличии ограниченной информации). Предположим, что у нас есть несколько камер, наблюдающих за объектом. Также предположим, для удобства, что маркеры размещены на объекте так, чтобы эти точки можно было легко извлечь из изображений.

На рисунке показан эскиз системы с тремя камерами. Теперь, если мы наблюдаем сцену, скажем, с помощью M камер, мы обнаружим, что в каждой паре камер есть подмножество общего числа маркеров, которые видны. Первая задача состоит в том, чтобы найти, используя эти М изображений, наилучшие оценки относительных положений и ориентаций каждой камеры. Как только мы узнаем положение камер, мы хотели бы провести триангуляцию, чтобы найти трехмерные координаты других точек мира, видимых на ряде изображений; эти задачи не слишком сложны для точно известных точек изображения, но становятся намного сложнее, если эти точки зашумлены. Конечно, существуют общепринятые методы решения этих проблем.

Действительно, фотограмметристы делают именно это в течение многих лет. Однако решения, как правило, требуют больших оптимизаций, которые часто нестабильны. Вот тут-то и может помочь геометрическая алгебра. Используя ГА, можно решить как калибровочные, так и триангуляционные задачи таким образом, чтобы одновременно учитывать все данные с каждой камеры. Оптимизации, участвующие в решениях, способны использовать как первую, так и вторую аналитическую (в отличие от численной) производную всех величин, которые должны быть оценены согласованным образом. Обычно гораздо сложнее взять производные от величин, представляющих вращения. Используя ГА таким образом, можно получить точные решения при одновременном снижении вычислительной нагрузки, что делает его полезным в приложениях, требующих множества таких оптимизаций.

Выводы

Мы попытались дать краткое введение в математическую систему, которую мы называем геометрической алгеброй, и проиллюстрировать ее полезность в различных областях. Хотя мы обсуждали целый ряд тем от квантовой механики до изгибающихся балок, есть много убедительных примеров использования ГА в физике и технике, которые мы не обсуждали. К ним относятся электромагнетизм, поляризация, геометрическое моделирование и линейная алгебра. Современные инструменты математики, с которыми большинство из нас знакомо, разнообразны и сложны. За одну жизнь исследований мы можем надеяться овладеть лишь очень немногими областями. Однако, если бы большинство физиков и математиков использовали один и тот же язык, ситуация, возможно, была бы иной. Мы надеемся, что в этой статье мы показали, что геометрическая алгебра является кандидатом на такой единый язык.

Статья вышла в свет в 2000 году. И хотя с тех пор геометрическая алгебра может и не стала универсальным языком точных наук, но все же, она нашла множество применений и продолжает завоевывать сердца и умы исследователей по всему миру. Так что, было бы полезным продолжить дальнейшее погружение:

Для начала следует уяснить отличия от алгебраической геометрии. Там тоже есть замахи на универсальность. В качестве примера можно посоветовать наработки Джона Баэза. Да и вообще, его блог стоит отдельного внимания.

Про сравнение с векторной алгеброй смотрим в Википедии.

Видео-лекция от одного из авторов статьи и сайт с видео, шпаргалками и кодом (спасибо, @sergehog).

Источник