что такое знак арифметического действия

Арифметические знаки

Смотреть что такое «Арифметические знаки» в других словарях:

Таблица математических символов — В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeXе, объяснения и примеры использования. Кроме указанных… … Википедия

История арифметики — Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия

Арифметика — Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ … Википедия

Кипу — Тип: иное Языки: кечуа, аймара (в царстве Кольа), пукина (?) … Википедия

ОРГТЕХНИКА И КАНЦЕЛЯРСКОЕ ОБОРУДОВАНИЕ — механические и электронные вспомогательные средства для повышения эффективности работы учреждений. Автономные механические и электромеханические устройства для облегчения канцелярского труда в последнее время сильно изменились, превратившись… … Энциклопедия Кольера

Позиционная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… … Википедия

Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ — центральный раздел логики, в котором изучается субъектно предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними. Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний. В рамках данного раздела любое высказывание… … Философская энциклопедия

Знак плюс-минус — У этого термина существуют и другие значения, см. Плюс минус (значения). ± ∓ Знак плюс минус (±) математический символ, который ставится перед некоторым выражением и означает, что значение этого выражения может быть как положительным, так и … Википедия

Источник

Числовые и буквенные выражения

Числовые выражения: что это

Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.

Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.

Например:

Это простые числовые выражения.

Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:

Это сложные числовые выражения.

Знать, где простое выражение, а где сложное — нужно, но называть оба типа выражений следует просто «числовое выражение».

Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
— — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.

11 — значение числового выражения.
6 * 8 = 48
48 — значение числового выражения.

При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:

Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)

Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.

Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.

Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2

14 больше 4
14 > 4
6 + 8 > 2 * 2

Буквенные выражения

Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.

В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.

Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.

Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.

У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:

Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.

Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).

Выражения с переменными

Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.

Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.

Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.

5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a

Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.

Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.

Задание раз.

Задание два.

Составьте буквенное выражение:

Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.

Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.

Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?

150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.

Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.

Источник

Математика

Кроме четырех основных, существует очень много сложных арифметических действий. Они происходят от сочетания основных действий и потому не носят никаких особенных названий. Иногда результат арифметических действий между числами обозначают только знаками, не производя самого вычисления. Это бывает всякий раз, когда обращают главное внимание на саму связь между числами.

В таком случае результаты четырех основных арифметических действий между числами 6 и 2 изобразятся в виде

Действие, составленное из сочетания основных, называются сложными действиями.

Результаты сложных действий, выраженные при помощи одних знаков, бывают весьма разнообразны. Так, результат сложного действия, в котором нужно 6 умножить на 7, а затем приложить к произведению число 5, выразится в виде:

Действие, в котором из суммы чисел 5 и 6 нужно вычесть 3, выразится в виде:

Действие, в котором из произведения 6 на 5 нужно вычесть произведение 3 на 7, выразится в виде:

Результат одного или нескольких арифметических действий, выраженный одними знаками, называют арифметическим выражением.

Арифметическое выражение по числу входящих в него членов называют одночленом, двучленом и вообще многочленом.

Так, арифметические выражения

Сумма и разность двух чисел есть двучлены.

Скобки

При действиях с арифметическими выражениями употребляют скобки.

Чтобы обозначить, что данное арифметическое действие нужно выполнить над арифметическим двучленом или многочленом, помещают его между скобками или, как обыкновенно выражаются, заключают его в скобки.

При этом скобки обозначают так:

Так, например, чтобы показать, что нужно сумму чисел 5 и 6 умножить на 7, пишут:

Чтобы уяснить значение скобок, вычислим сначала величину выражения (5 + 6 ) × 7 и затем величину выражения 5 + 6 × 7, в котором скобки опущены.

В первом случае, умножая сумму 5 + 6 на 7, имеем (5 + 6) × 7 = 77.

Во втором случае нужно умножить на 7 только 6, и в результате получим:

Если нужно выполнить действие над несколькими многочленами, заключают их всех в скобки.

Если нужно все это последнее выражение разделить на сумму 2 + 5, пишут

При помощи скобок легко написать арифметическое выражение по данной зависимости между числами и найти его величину.

Чтобы определить результат сложного арифметического действия, нужно каждое выражение, а в выражении каждый член вычислять отдельно.

Так, определяя величину выражения

мы заменяем арифметические выражения

Заменяя члены 3 × 9 и 4 × 5 числами

Иногда прибегают к скобкам при действии над одночленами. Так, желая указать, что частное 6 ÷ 3 нужно умножить на 5, пишут (6 ÷ 3) × 5.

Скобки ввел в первый раз Альберт Жирард (1629 г.).

Источник

Порядок действий в математике

Основные операции в математике

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Источник

Урок 15 Бесплатно Числовые и буквенные выражения

Любые математические задачи и примеры записываются с помощью математического языка.

Математический язык- это язык, не требующий перевода, универсальный и понятный всем, имеющий четкую структуру и грамматику.

Верная математическая запись всегда точна, логична, компактна, удобна для понимания, однозначно отражает действие, операцию, понятие.

Определенная осмысленная последовательность знаков (чисел, букв), связанных между собой знаками арифметических операций, называют математическим выражением.

Математические выражения делят на числовые и буквенные.

На этом уроке вы познакомитесь с числовыми и буквенными выражениями.

Узнаете, какое выражение называют числовым, а какое буквенным.

Научитесь составлять числовые и буквенные выражения к задачам.

Выясните, как правильно записывать, читать и находить значение математических выражений.

Числовые выражения

Числовые выражения вам уже хорошо знакомы.

В начальных классах на уроках математики, решая задачи и примеры, вы составляли и записывали числовые выражения и находили значения этих выражений.

Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.

Числовым выражением можно назвать только такую запись, которая является осмысленной и составлена согласно математическим правилам.

Рассмотрим примеры числовых выражений.

Не каждую математическую запись из символов и знаков можно считать числовым выражением.

Числовое выражение всегда ориентировано на то, чтобы операции, входящие в него, могли быть выполнены.

Если числовое выражение невозможно вычислить, то оно не имеет смысла.

Существуют такие математические записи, которые на первый взгляд можно принять за числовые выражения, но вычислить их невозможно.

Число 15 необходимо разделить на результат операции в скобках, а он равен нулю.

Математические равенства и неравенства выражениями не являются, но равенства и неравенства состоят из математических выражений.

Два числовых выражения, соединенные знаком равно «=», называют числовым равенством.

Два числовых выражения, соединенные знаками больше «>» или меньше « 4 не является числовым выражением, это неравенство.

Смысл решения любой задачи, любого примера заключается в том, чтобы найти значение выражения, которое превращает его в верное равенство.

Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, называют значением числового выражения.

Следовательно, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.

У числового выражения значение только одно.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Порядок выполнения математических операций очень важен для получения верного значения числового выражения.

В математике порядок выполнения действий в выражении определяют сами арифметические операции и скобки, содержащиеся в данном выражении.

Таким образом, если в числовом выражении стоят скобки, то математическая операция, стоящая в них, выполняется в первую очередь.

Следующими выполняются последовательно слева направо операции умножения и деления, если такие присутствуют в выражении.

Последними выполняются действия сложения и вычитания так же в порядке их следования друг за другом слева направо.

Более подробно порядок выполнения арифметических операций будет рассмотрен несколькими уроками позже.

Важно уметь не только верно записывать числовые выражения, но и уметь их правильно читать.

Чтобы прочитать числовое выражение нужно определить, какая арифметическая операция является последней при вычислении значения этого выражения.

Так, например, если последнее по порядку действие было сложение, то выражение называют «суммой».

Если последним действием является вычитание, то выражение называют «разностью».

Следовательно, если последним действием является умножение, то выражение называют «произведением», если деление- «частным».

Умение составлять математические выражения и находить их значение используют при решении как простых, так и составных задач.

Рассмотрим пример решения составной задачи и выясним особенности процесса составления числовых выражений.

Известно, что любая составная задача содержит несколько простых.

Существуют различные способы оформления решения текстовых задач.

Чаще всего используют такие формы записи решения задач:

1. По действиям с пояснениями.

При решении составных задач важно выделить главное, сделать краткую запись, разделить задачу на простые, составить план решения.

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 2 кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

Запишем кратко условие задачи:

Изобразим к задаче рисунок в виде схемы.

Чтобы определить, сколько собрали клубники за два дня, необходимо знать, какое количество клубники было собрано в первый и во второй день.

Из условия задачи известно количество клубники, собранной в первый день.

Неизвестно количество клубники, собранной во второй день.

Когда будет известно сколько собрали клубники во второй день, можно узнать какое количество ягод собрали за два дня.

Задачу решаем в два действия (каждое действие поясним).

1. Выясним сколько килограммов ягод собрали во второй день.

Известно, что в первый день собрали 12 кг клубники. Так как во второй день собрали на 2 кг больше, то во второй день собрали столько же, как в первый, и еще 2 кг.

Выполним сложение чисел 12 и 2, получим выражение 12 + 2.

Найдем значение данного числового выражения:

12 + 2 = 14 (кг) клубники собрали во второй день.

2. Вторым действием определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Необходимо сложить все ягоды, который собрали в первый и во второй день, получим следующее выражение: 12 + 14.

Найдем значение данного числового выражения:

12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 26 кг.

Как нам уже известно, решение задачи можно записать не только по действиям, но и в форме выражения.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней итогового числового выражения позволяет увидеть ход решения в целом, и такая запись сокращает время оформления задачи.

Составим числовое выражение для решения нашей задачи.

Согласно рассуждениям, изложенным выше, имеем следующие данные:

Определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее числовое выражение:

12 + (12 + 2).

Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.

Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

12 + (12 + 2) = 12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 26 кг.

Попробуем решить вторую задачу.

Задача 2.

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 5 кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

Скорее всего вы заметили, что первая и вторая задачи отличаются только одним числом, а именно число 2 заменено на число 5.

Остальные условия задачи остались прежние.

Все логические рассуждения во второй задаче аналогичны рассуждениям первой.

Таким образом, имеем следующие данные:

Определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее выражение:

12 + (12 + 5).

Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.

Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

12 + (12 + 5) = 12 + 17 = 29 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 29 кг.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Буквенные выражения

Рассмотрим еще одну такую же задачу, как первая и вторая, рассмотренные выше, но число, которое менялось в первой и во второй задаче заменим на ☐ пустое окошко, в которое можно вписать любое значение.

Тогда получим следующую задачу:

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на ☐ кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

В математике принято обозначать переменное число не пустым окошком, а буквой.

Для нашей задачи вместо пустого окошка поставим латинскую букву «а».

По аналогии с уже решенными задачами математическое выражение для данной задачи будет следующее: 12 + (12 + а).

Если вместо буквы а подставлять различные числа, то каждый раз будем получать различные числовые выражения и, как следствие, различные значения.

Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.

Соответственно, буквенное выражение отличается от числового тем, что содержит букву.

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.

Для обозначения чисел буквами используют строчные буквы латинского алфавита.

Буквенные выражения должны быть составлены согласно математическим правилам и по такому же принципу, как числовые выражения.

1. Буквенные выражения используют для математических доказательств, для описания свойств, правил, законов.

Например, переместительное свойство сложения, записанное с помощью буквенных выражений, выглядит так: a + (b + c) = (a + b) + c.

Сочетательное свойство сложения, записанное с помощью буквенных выражений, выглядит так: a + b = b + а.

2. Правило, записанное в виде равенства двух буквенных выражений, называется формулой.

Формула подобно универсальной заготовке позволяет описывать различные процессы, действия, состояния и др.

Формула устанавливает взаимосвязь между величинами.

Например, формула для определения периметра треугольника, записанная с помощью буквенных выражений, выглядит так: P = a + b + c, где

P— это периметр треугольника

а, b, c— это стороны треугольника.

В данном случае буквенная запись позволяет определить периметр (Р) любого треугольника, независимо от размеров его сторон.

3. Умение составлять буквенные выражения и находить их значения при заданном значении переменной используют при решение различных задач

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник