Постулаты и аксиомы – свойства, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения должны быть логически выводимы из определений, постулатов и аксиом. Различные авторы выдвигали различные требования к постулатам и аксиомам: так, Аристотель считал характерным свойством аксиом общепризнанность, Декарт – очевидность, Паскаль – недоказуемость.
Вот список постулатов Евклида.
1.
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2.
Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3.
Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4.
Все прямые углы равны между собой.
5.
Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.
Постулаты 1–3 определяют возможность построений линейкой (без делений) и циркулем. Полезно уточнить, что под «прямой» Евклид понимает «ограниченную» прямую, то есть, в современной терминологии, отрезок.
Математики многократно обращались к системе постулатов и аксиом Евклида, пытаясь улучшить ее. Так, в XVIII в. было осознано, что постулат 4 является лишним, поскольку вытекает из других постулатов и аксиом.
Подобные исследования длительное время велись и в отношении 5-го постулата, тем более, что он, из-за сложности формулировки, казался гораздо менее очевидным, чем остальные постулаты и аксиомы. Его пытались доказать, исходя из остальных постулатов и аксиом. При этом выяснилось только, что 5-й постулат логически эквивалентен некоторым другим утверждениям (то есть они могут быть выведены из него, а с другой стороны, он сам может быть выведен из любого из них, если считать их уже установленными), но ни он, ни эти утверждения не могут быть доказаны на основе других постулатов и аксиом Евклида. Мыслима геометрия, в которой 5-й постулат не выполняется, а остальные постулаты и аксиомы выполняются (геометрия Лобачевского). Обычно в современных изложениях геометрии 5-й постулат заменяется на эквивалентную ему аксиому параллельных (встречается уже у Прокла в V в. н. э.): через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной. (Слово «прямая» здесь, как обычно в современной математике, обозначает бесконечную прямую).
Списки аксиом Евклида в разных сохранившихся старинных копиях «Начал» отличаются друг от друга – возможно, не все приводимые там аксиомы (да и постулаты) принадлежат самому Евклиду. Самым распространенным является следующий список аксиом.
1.
Равные одному и тому же равны и между собой.
2.
И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3.
И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4.
И если к неравным прибавляются равные, то и целые не будут равны.
5.
И удвоенные одного и того же равны между собой.
6.
И половины одного и того же равны между собой.
7.
И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8.
И целое больше части.
9.
И две прямые не содержат пространства.
Естественный вопрос, который возникает при знакомстве с постулатами и аксиомами Евклида, – чем постулаты отличаются от аксиом. В целом представляется, что аксиомы, в отличие от постулатов, касаются очень общих свойств величин самой разной природы, в т. ч., например, чисел, а не только геометрических объектов. Тем не менее, аксиома 9 противоречит такой интерпретации. Смысл этой аксиомы – в том, что два отрезка не могут сходиться в двух различных точках – то есть ограничивать некоторую фигуру конечной площади.
Мы бы сейчас сформулировали эту аксиому так: «Через две точки проходит не более одной прямой». Попробуйте понять, в чем отличие данной аксиомы от постулата 1?
Постулат 1 утверждает существование по крайней мере одного отрезка с концами в двух данных точках, а аксиома 9 – то, что таких отрезков не более одного.
Важную роль играет аксиома 7. Фактически, речь в ней идет о том, что если наложить одну фигуру на другую так, что они совпадут, то эти фигуры будут равны. Евклид всегда употребляет слово «равны» в смысле равновеликости, т. е. равенства площадей (длин, объемов, величин углов). В современном смысле слово «равны» в применении к геометрическим фигурам означает именно «совпадение при наложении»: равные фигуры отличаются только местоположением (вернее, равенство означает, что существует движение, переводящее одну фигуру в другую; под движением понимается преобразование, сохраняющее расстояние, как если бы фигура была твердой и мы могли бы ее двигать). Уже математики XVII в. понимали равенство именно в этом смысле; Г. В. Лейбниц для такого равенства ввел специальный термин – конгруэнтность. Так что аксиома 7, в современных терминах, означает, что равные (конгруэнтные) фигуры равновелики. (При этом, разумеется, равновеликие фигуры не обязаны быть равными).
С помощью «совмещения» Евклид доказывает то, что сейчас называется признаками равенства треугольников, но в дальнейшем он избегает совмещений, ссылаясь при доказательстве равенства тех или иных фигур на уже доказанные признаки равенства треугольников.
В целом, выбор постулатов и аксиом у Евклида удачен, но его система не является полной: в ней отсутствуют многие важные аксиомы (например, стереометрические). Впрочем, еще Аристотель полагал, что иногда изложения той или иной науки обходят молчанием некоторые свойства и положения вследствие их очевидности. Вполне возможно, что Евклид не ставил себе целью дать полный список утверждений, необходимых для дальнейших доказательств. Эту задачу он оставил последующим математикам.
Аннотация Геометрия Евклида – это исходная, первичная геометрия гладкого недеформированного пространства. Только в ней существует действительно прямая и действительно плоскость. Геометрию Евклида можно деформировать и получить геометрии Лобачевского и Римана – геометрии на искривлённых, деформированных евклидовых плоскостях. Ключевые слова: Геометрия, Риман, Лобачевский, Гильберт, аксиома, пятый постулат Евклида, псевдосфера, кривизна
Приводимые ниже выкладки, наблюдения, очевидные и логические построения интересны сами по себе даже при отсутствии их доказательств. Арбитром в этом конфликте очевидностей выступает Здравый смысл. Именно он и заставляет нас признать эту «многополярную» очевидность. В наше время очень часто можно услышать высказывание в адрес Здравого смысла, что он ошибается, что он «пошатнулся» и ведёт нас по неверному пути. Говорят, Эйнштейну принадлежат примерно такие, можно сказать, уничижительные слова: «Здравый смысл – это набор заблуждений, приобретённых человеком к 18 годам». Могу сказать лишь одно: «Не отвергай здравого смысла, иначе он тебя покинет». Именно Здравый смысл требует от нас опираться на Логику, а уж по поводу неё, надеюсь, возражений быть не может.
ИЗ ЧЕГО СЛЕДУЕТ V ПОСТУЛАТ?
Среди аксиом (постулатов) Евклида V постулат занимает особое место: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых». В наше время этот постулат Евклида обычно заменяют на равносильную аксиому параллельности: В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. На протяжении столетий многие математики пытались доказать этот постулат, исходя из предыдущих постулатов Евклида, пытались доказать, что он – лишний, то есть может быть доказан как теорема на основании остальных аксиом. Но это никому так и не удалось [3]:
«Авторы этих доказательств ставили себе задачей вывести логическим путем V постулат из остальных постулатов Евклида. Следует заметить, что хотя эта задача стояла перед геометрами на протяжении многих веков, она до конца XIX столетия оставалась неопределенной.
Действительно, определения и аксиомы Евклида столь несовершенны, что не могут служить базой для развертывания строгих логических построений. Интересно, что проблема V постулата, уже будучи решенной Лобачевским, все еще не была точно сформулирована, так как во времена Лобачевского недостатки евклидова обоснования геометрии оставались неустраненными.
После изложения аксиом Гильберта мы получаем возможность проблему V постулата сформулировать точно следующим образом:
Приняв аксиомы, перечисленные в группах I—IV, вывести из них аксиому V. Результат Лобачевского мы можем теперь выразить также с полной определенностью: Аксиома V не является следствием аксиом I—IV.
Этот же результат может быть формулирован иначе: Если к аксиомам I—IV присоединить положение, отрицающее справедливость аксиомы V, то следствия всех этих положений будут составлять логически непротиворечивую систему (неевклидову геометрию)».
Если дать корректное определение прямой и плоского изотропного пространства, то появится возможность доказательства V постулата Евклида строго на основе его предшествующих постулатов. Отсюда можно дать и обратное определение «действительно прямой линии». Это такая линия, для которой выполняется V постулат Евклида. У Евклида постулаты I-V сформулированы так [1]:
«Допустим: 1. Что от всякой точки до всякой точки провести прямую линию. 2. И что ограниченную прямую непрерывно продолжать по прямой. 3. И что из всякого центра и всяким раствором описан круг. 4. И что все прямые углы равны между собой. 5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых».
Какова же причина того, что указанные обстоятельства оказались незамеченными на протяжении двух тысячелетий? Почему была принята эта очевидная подмена понятий: кривую линию назвали прямой? Как утверждается в цитате, результат Лобачевского, его «воображаемая геометрия» выражает невозможность вывода V постулата Евклида из четырёх предыдущих. Однако, присмотримся к постулатам Евклида более внимательно.
Поскольку постулат 4 был доказан на основе предыдущих трёх, будем говорить о выводе 5-го постулата из 3-х предыдущих. Особый интерес представляет постулат 3. Обратим самое пристальное внимание на слова «всяким» в этом постулате: «из всякого центра и всяким раствором». Это очень важное слово. Евклид будто предвидел появление геометрий Лобачевского, Римана и других возможных неевклидовых геометрий. Этот постулат явно все их отсекает! Поэтому с учётом третьего постулата можно использовать геометрии Лобачевского и Римана для доказательства V постулата.
Однако на важность 3-го постулата никто не обратил внимания. Более того, в аксиомах Гильберта для абсолютной геометрии 3-ий постулат оказался «спрятан», и эта подмена понятий вообще стала не видна. Попробуем найти, в какой из 20-ти аксиом Гильберта «спрятался» 3-й постулат Евклида [2]:
I1. Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки.
В данной аксиоме просматривается явное сходство с первым постулатом Евклида: «Что от всякой точки до всякой точки провести прямую линию». Второй постулат присутствует неявно, в том смысле, что прямая продолжена дальше, чем от точки до точки.
I2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.
И эта аксиома относится больше к первому постулату, как его неявное усиление, расширение. Здесь видно, что единственность прямой вступает в противоречие со сферическим пространством Римана, но приём отождествления в эллиптическом пространстве устраняет это противоречие. Третий постулат в этих аксиомах не просматривается.
I3. На каждой прямой лежат, по крайней мере, две точки. Существуют, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой.
Первая часть выглядит как обратная формулировка первого постулата. Вторая её часть, перекликается с разыскиваемым нами третьим постулатом Евклида, хотя и очень отдалённо: «И что из всякого центра и всяким раствором описан круг». Действительно, три точки, не лежащие на прямой – это точки, которые могут быть связаны только дугой (окружности).
Если внимательно рассмотреть остальные группы аксиом, то можно легко обнаружить отсутствие в них какого-либо сходства с третьим постулатом. Только аксиома I3 отдалённо напоминает третий постулат Евклида, принципиально отличаясь от него. Отсюда вывод: третий постулат Евклида исключён из аксиом Гильберта и не влияет на формирование последующих аксиом и постулатов. Поэтому пятый постулат Евклида никак не может быть выведен из аксиом Гильберта, и «явиться следствием аксиом I-IV Евклида»: решающий постулат отсутствует.
1. Не существует ни одной прямой (геометрия Римана). 2. Существуют две прямые (геометрия Лобачевского). 3. Существует более двух прямых (другая неевклидова геометрия).
Рассмотрим подробнее каждый из этих трёх вариантов отрицания пятого постулата Евклида.
НЕ СУЩЕСТВУЕТ НИ ОДНОЙ ПРЯМОЙ
То, что аксиома Гильберта I3 имеет в этих пространствах силу, очевидно: всегда можно найти три точки, не лежащие на одной прямой. А вот третий постулат Евклида – нет! Если мы возьмём один из «всяких растворов» циркуля размером в два диаметра этого пространства, то не найдём центра на плоскости Римана, чтобы можно было описать круг. Причиной этого является замкнутость пространства: римановы сферические и эллиптические пространства не отвечают постулатам Евклида.
Таким образом, если предположить, что через точку вне прямой не проходит ни одной параллельной этой прямой, не пересекающей её, мы неизбежно приходим к непротиворечивой сферической (эллиптической) геометрии Римана. Но эта геометрия отвергается третьим постулатом Евклида. Значит, методом от противного, отвергается и сделанное предположение. Отсюда следует вывод: в согласии с пятым постулатом, через точку вне прямой обязательно проходит, по крайней мере, одна параллельная прямая. И, как видим, этот вывод следует, только если справедлив третий постулат. В данном случае V постулат Евклида требует наличия третьего постулата, является его следствием. Схематично можно сказать так: если есть третий, то есть и пятый; если третьего нет, тогда нет и пятого.
СУЩЕСТВУЮТ ДВЕ ПРЯМЫЕ
Второй вариант отрицания, как утверждается, доказывается геометрией Лобачевского. Действительно, предположим, что прямых линий, отвечающих условиям постулата, может быть две. Это предположение, как известно, приводит к непротиворечивой геометрии Лобачевского. Однако, на самом деле здесь присутствует всё та же подмена понятий. Скажем, называть шар кубом как-то не принято. А назвать геодезическую, кривую линию Лобачевского прямой линией – запросто. Но прямая Евклида и «прямая» Лобачевского – это разные понятия. Определение прямой у Евклида недостаточно корректно, но, несомненно, подразумевает действительно прямую линию, а не геодезическую.
Рассмотрим внимательнее гиперпространство Лобачевского. Не существует полной и регулярной поверхности, внутренняя геометрия которой представляла бы геометрию полной плоскости Лобачевского. Известно, что Гильберт доказал наличие у этой плоскости существенных особенностей [2]:
«не удаётся с помощью ни одной из известных до сих пор поверхностей постоянной отрицательной кривизны осуществить целиком всю плоскость Лобачевского» «не существует аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей нигде особенностей и повсюду регулярной»
«на поставленный в начале статьи вопрос о том, можно ли по способу Бельтрами осуществить в евклидовом пространстве на некоторой регулярной аналитической поверхности всю плоскость Лобачевского, надо ответить отрицательно».
«Первоначально я доказал невозможность существования поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей особых точек»
Рис.2. Псевдосферические поверхности, полученные в различных научных публикациях
В литературе описаны разнообразные псевдосферические поверхности вращения [8]:
Рис.3. Псевдосферические поверхности вращения
Многие поверхности постоянной отрицательной кривизны названы именами математиков, которые их исследовали и описали:
Рис.5. Геликоид Дини (слева) входит в класс поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны, псевдосфера является его частным случаем и поверхность Куена (справа) [4].
Рис.6. Псевдосфера Бельтрами
Локально замкнутой областью поверхности назовём такую область поверхности, которая при неограниченном продлении (протяжении) по поверхности в некотором направлении пересечёт эту поверхность.
Кругом (окружностью) на поверхности будем считать геометрическое место точек концов геодезических равной длины и проведённых во всех направлениях от точки, которая называется центром круга.
ТЕОРЕМА О ЗАМКНУТОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ
На любой локально замкнутой поверхности существует, по меньшей мере, одна замкнутая геодезическая.
Доказательство. Выберем на локально замкнутом участке две точки и проведём между ними геодезическую. Такая геодезическая, несомненно, есть, поскольку поверхность не имеет разрывов. Затем соединим эти точки через другую часть поверхности (в обход) произвольной линией. Начнём движение одной из точек по этой линии, каждый раз удлиняя геодезическую, соединяющую её с оставшейся точкой. В конечном счёте, обойдя поверхность по выбранной линии полностью, мы придём к оставшейся точке с другой стороны, замкнув геодезическую. Что и требовалось доказать.
На замкнутой поверхности существует, по меньшей мере, одна точка, из которой невозможно очертить на поверхности круг любого наперёд заданного диаметра.
Доказательство. Выберем на замкнутой поверхности точку на замкнутой геодезической (согласно теореме о замкнутости). В соответствие с теоремой о круге, проведём из неё во все стороны геодезические линии длиной, превышающей длину выбранной замкнутой геодезической. Согласно теореме о замкнутой геодезической, по меньшей мере, одну из этих геодезических провести не удастся, поскольку она пересечёт сама себя. Следовательно, по меньшей мере, одна точка круга не может быть построена. Что и требовалось доказать.
Из теоремы о круге следует, что в гиперболической геометрии Лобачевского, как и сферической геометрии Римана, третий постулат Евклида не соблюдается. В абсолютной же геометрии Гильберта мы вообще не имеем права задавать вопрос: «является ли пятый постулат следствием третьего постулата Евклида». В абсолютной геометрии, основанной на аксиомах Гильберта, этого постулата нет.
СУЩЕСТВУЕТ БОЛЕЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
Следует признать, что рассмотренные доводы являются необходимыми, но пока не достаточными доводами в пользу зависимости V постулата Евклида от трёх предыдущих (четвертый постулат также был доказан на их основе). Третий вариант отрицания должен начинаться с 3-х прямых, иначе он включил бы в себя геометрию Лобачевского. Мне не известна явно описанная геометрия такого рода, поэтому можно лишь предположить, что и в ней постулат 3 Евклида нарушается.
Рис.7. Тороподобная поверхность «Двойная улитка». Движение по поверхности от точки А через B и D к C происходит по спиральной геодезической
Отдельно можно обозначить так называемую «Абсолютную геометрию на основе аксиом Гильберта» (поскольку исключён важный третий постулат Евклида) и криволинейную геометрию Евклида на цилиндрических и конических поверхностях (третий постулат не соблюдается). Рассмотрим наиболее наглядный вариант неевклидова бесконечного пространства переменной кривизны – гиперболический параболоид:
Он имеет второе название – косая плоскость. Поверхность является незамкнутой и бесконечной. Образоваться она может двумя способами: движением параболы по гиперболе (отсюда название «гиперболический параболоид») и движением прямой линии по двум скрещенным прямым (отсюда название – «косая плоскость»). В каждой точке поверхности она имеет сечения гиперболы и параболы и отрицательную переменную кривизну. На бесконечном удалении от центра поверхность приближается к евклидовой, с нулевой кривизной.
Очевидно, что на этой поверхности и на поверхности «Двойной улитки» третий постулат Евклида выполняется в любой точке. При этом переменная отрицательная кривизна, видимо, позволяет лишь локально рассматривать эти поверхности как поверхности Лобачевского. Например, сумма углов треугольника в их локальных областях должна быть меньше 2-х прямых.
ТЕОРЕМА О V ПОСТУЛАТЕ ЕВКЛИДА
Итак, теорема о V постулате Евклида может иметь, например, такой вид: Постулат V Евклида в эквивалентной формулировке «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» является следствием постулатов I-IV Евклида (но не аксиом Гильберта).
Однако, на этой плоскости Римана существует неограниченное число точек, из которых мы не можем очертить окружность согласно постулату III, то есть, эта геометрия сама нарушает, отвергает один из исходных постулатов и мы не можем его использовать. Но постулаты являются описанием, свойствами, характеристиками среды, пространства, поверхности, где, собственно и разворачивается рассматриваемая геометрия. Эта среда называется плоскостью Евклида, именно для неё три первых постулата являются определяющими, основополагающими, обязательными для всех последующих рассуждений.
Рассмотрим, наконец, третье обратное допущение: через точку вне прямой можно провести, по меньшей мере, три параллельные прямые, не пересекающие её. Мы должны признать, что это условие может осуществиться только в пространстве переменной кривизны, поскольку рассмотренным выше двум прямым соответствует пространство постоянной отрицательной кривизны Лобачевского. Очевидно, и это легко показать, существует возможность так локально искривить «плоскость», что в этой локальной области через точку вне прямой можно будет провести не менее трёх геодезических, параллельных ей. Но V постулат Евклида и аксиомы Гильберта сформулированы для пространств постоянной кривизны. Следовательно, это допущение противоречит исходным требованиям и поэтому отвергается.
Таким образом, поскольку все обратные допущения отвергнуты, V постулат в формулировке «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной», является следствием постулатов I-IV Евклида, поскольку только их признание делает истинным V постулат, что и требовалось доказать.
Основная идея доказательства заключается в том, что угол между любыми отрезками, взятыми на прямой, всегда равен нулю или 180 градусам, что то же самое в данном случае.
Если данное утверждение справедливо, то верен и 5-й постулат Евклида.
Это доказывается с помощью окружности и прямой проведенной через центр данной окружности.
Т.е. доказательство ведется через рассмотрение свойств прямой линии.
Подробнее
Если провести прямую линию через центр окружности, то эта прямая разделит окружность на две равные части.
Такое утверждение представляется вполне очевидным.
Действительно, если бы какая-нибудь из разделённых частей окружности была больше по площади или по длине дуги, то мы были бы вынуждены предоставить аргументацию того, чем вызвано наше предпочтение той или иной из частей.
Будь то искривление пространства или еще какая-нибудь другая идея – все они выходят за рамки логической геометрии.
Так и в «Началах» Евклида есть определение под номером 17.
В переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского оно звучит так: «Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же рассекает круг пополам»
Ни у одного из критиков Евклида данное определение не вызвало сомнений, т.к. оно представляется довольно очевидным. Иначе, мы должны были бы определить предпочитаемую сторону, лежащую по ту ли иную сторону от этой прямой.
Рис.1
Возьмем окружность с центром в точке О и с произвольным радиусом R1 (Рис.1) Проведем через центр окружности прямую ab. По определению прямая ab разделит окружность на две равные части. Точки пересечения окружности и прямой будут точки A и B. Длина дуг окружности по одну и другую сторону от секущей прямой будет равна друг другу и равна π радиусов окружности.
Построим еще одну окружность, но с радиусом R2 больше чем у первой окружности R1.
Точки пересечения прямой ab со второй окружностью C и D, также разделят эту окружность на две равные части, и длина двух дуг будет равна друг другу, и равна π радиусов.
Теперь, можно заметить, что угол между лучом AC (проходящим через точки A и C) и лучом BD (проходящим через точки B и D) равен π радиан.
Если же считать отрезки между точками на прямой ab ненаправленными, то угол между ними будет равен, или π, или ноль радиан.
Так как можно построить окружность любого радиуса, из любой точки, лежащей на произвольной прямой, то отсюда следует вывод, что в любых точках прямой, угол между любыми отрезками, лежащими на этой прямой, будет равен π или 0, что в данном случае равнозначно.
Следовательно, строя прямоугольник, мы всегда придем к выводу, что сумма углов в прямоугольнике равна 360 градусов. И соответственно, на основании второй теоремы Лежандра, сумма углов в любом треугольнике будет равна 180 градусов.
Рис.2
Действительно, на любой стороне прямоугольника (Рис.2) мы можем взять точку и построить окружность с центром в данной точке. Далее, мы можем построить еще одну окружность с центром в этом же точке. Таким образом, мы можем видеть, что угол между отрезками, отсеченными этими окружностями, будет равен нулю градусов. Такие же построения мы можем сделать и на других сторонах. Из этого следует, что угол между любыми отрезками, взятыми на одной стороне прямоугольника, будет равен нулю градусов. Суммируя прямые углы при вершинах прямоугольника, мы, естественно придем к результату в 360 градусов. Разделив прямоугольник любой из диагоналей на два треугольника, мы получим треугольник с суммой углов в 180.
По второй теореме Лежандра, если существует хотя бы один треугольник, в котором сумма внутренних углов равна двум прямым, то из этого надлежит заключить, что во всяком треугольнике сумма внутренних углов также равна двум прямым.
Многословие
В данной части, на правах автора, позволю себе высказать некоторые мысли напрямую или косвенно связанные с проблемой 5-го постулата Евклида. Этот раздел, возможно, будет спорным, но доказательство, приведенное выше, не зависит от идей приведенных ниже.
Определение прямой линии, как причина проблемы с доказательством 5-го постулата Евклида.
Казалось бы такое простое доказательство, данное выше.
Так в чем же причина того, что 5-й постулат остается спорным до сих пор?
Мне представляется, что проблема, как не странно, кроется в Определении прямой линии.
До сих пор не найдено красивого, лаконичного, очевидного и, что крайне важно, применимого для доказательства Определения прямой линии. Такого Определения, которое запрещало бы «кривизну» прямой линии.
Для прямой линии нет определения, подобного тому, как дано для окружности: «Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной».
Определение прямой линии вида: «Через две точки можно провести только одну прямую» трудно назвать определением. Это скорее описание одного из свойств прямой линии.
Из этого свойства вытекает, что двумя точками можно задать положение прямой линии в пространстве, но к определению прямой это не имеет отношения. Прямая линия может быть как угодно «искривлена», и если у нас нет аргументов считать это абсурдным, то у нас и нет доказательной базы для объявления это абсурдом. Всегда можно будет апеллировать к тому, что «прямота» прямой линии – это наше бытовое представление о ней. Что, например мы не видим «кривизну» в силу ограниченности наблюдаемого нами пространства и если неограниченно продолжить эту прямую линию тогда мы могли бы увидеть ее «кривизну».
Определение через ось тела вращения – это скорее умозрительное описание предмета, не дающее работоспособных правил к применению. Это не более чем бытовое представление о прямой линии, по сути равнозначное определению прямой двумя точками. Этим определением мы ничего не сможем ни доказать, ни опровергнуть.
Определение типа «Прямая – это геометрическое место точек равноудаленных от двух данных», довольно строго описывает прямую, но крайне тяжело применимо для целей доказательства в случаях, где требуется опровергнуть возможную «кривизну» прямой.
Евклид дал такое определение прямой линии (в переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского):
«Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней».
В силу своей неясности, зачастую, вместе с переводом данного определения, оно приводиться в оригинальном виде. Возможно в надежде, что читатели сами смогут понять его витиеватость.
Об этом говорит обширность комментариев даваемых к этому Определению. Но в любом случае оно также неприменимо для целей доказательства или опровержения чего либо. Это просто бытовое представление о прямой линии, тем более не совсем ясное.
Лежандр признает: «Не подлежит сомнению, что безуспешность всех попыток вывести эту теорему (о сумме углов треугольника) из одних только наших сведений об условиях равенства треугольников, содержащихся в I книге Евклида, имеет свой источник в несовершенстве нашей повседневной речи и в трудности дать хорошее определение прямой линии».
Лобачевский не соглашается с этим заявлением. Ни сколько не умаляя ни труда, ни заслуг Лобачевского в поисках истины о 5-м Постулате Евклида, автору представляется, что именно эта причина, замеченная Лежандром, и есть суть проблемы.
Искривление пространства и прочие физические сущности
При рассуждениях о 5-м постулате Евклида, некоторые популяризаторы уходят в рассуждения об искривлении пространства, об многомерности пространства невидимой бытовому наблюдателю и прочих головокружительных сущностях.
Так вот, что касается геометрии, как предмета рассматриваемого Евклидом, как и его великими последователями включая и Лежандра и Лобачевского, ни о каком физическом пространстве речи у них не идет.
Геометрия Евклида – это чисто логическая абстракция, где пространство не обладает какими либо физическими параметрами. Соответственно и привлечение, каких либо физических идей в геометрии Евклида неуместно.
Логика и законы сохранения окружающего нас мира. Бесконечность
Наша логика строится на принципах законов сохранения. Эти законы, например закон сохранения энергии, или закон сохранения импульса, окружают человека во всем наблюдаемом человеком пространстве.
В соответствии с этими законами и строиться логические цепи во всех рассуждениях человека. В том числе все науки базируются на этих логических принципах.
Попробую пояснить. Если мы положим в некий «черный ящик» два предмета, мы вполне будем уверены, что открыв этот «черный ящик», мы должны обнаружить эти же два предмета, если за время нахождения там этих предметов ничего не произошло. Иначе мы должны найти причину того, что произошло, что повлияло на количество предметов в «черном ящике». Это закон сохранения. Так перенося этот закон на язык математики, мы уверены, что 1+1 будет 2.
Хочу заметить, что наша логика родилась именно из этих законов сохранения окружающего нас мира. Если бы законы окружающего нас мира были другими, то и наша логика (и математика, и геометрия) была бы другой. Например, если бы отсутствовали законы сохранения, то никакой бы причины считать 1+1 равно 2 не было бы. Вполне обыденным были бы «чудеса» появления предметов из ниоткуда и такое же их исчезновение в никуда.
И здесь мы подходим к понятию бесконечности.
Человек никогда в своей истории не сталкивался с бесконечностью. Соответственно, какие-либо попытки применить логику, действующую в окружающем нас мире, к понятию бесконечности, представляются бессмысленными. Невозможно ответить на вопрос, сколько будет «бесконечность плюс бесконечность». Понятие бесконечности лежит за рамками законов сохранения.
Соответственно «бесконечно удаленной точки» не существует, как и не существует «окружности бесконечного радиуса». Т.е. в логике нашего мира не существует Орицикла (т.е. окружности бесконечного радиуса) предложенного Лобачевским. Это нисколько не умаляет идеи Лобачевского об Орицикле. Просто, автор, хотел бы определить некоторые пределы, где доказательства, базирующиеся на логике нашего мира, имеют смысл.
Отсюда следует, что находясь в логике нашего мира, мы можем построить окружность с любым радиусом, сколь угодно большим, но не бесконечным. Соответственно доказательство приведенное автором распространяется на любую окружность, доступную в логике нашего мира.
Рис.1
Рис.2