что такое задачи на построение

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Основные задачи на построение

В задачах на построение будем рассматривать построение геометрической фигуры, которое можно выполнить с помощью линейки и циркуля.

С помощью линейки можно провести:

С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность данного радиуса.

Циркулем можно отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

Рассмотрим основные задачи на построение.

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с (рис.1).

Решение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее пересечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b — окружность из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.

Замечание. Чтобы три отрезка прямой могли служить сторонами треугольника, необходимо, чтобы больший из них был меньше суммы двух остальных (а

Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 2.

Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла (рис.3, а). Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данного луча (рис.3, б). Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим С₁. Опишем окружность с центром С₁ и радиусом ВС. Точка В₁ пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства Δ ABC = Δ ОВ₁С₁ (третий признак равенства треугольников).

Задача 3. Построить биссектрису данного угла (рис.4).

Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А. Луч AD делит угол А пополам. Это следует из равенства Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).

Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку (рис.5).

Решение. Произвольным, но одинаковым раствором циркуля ( большим 1/2 АВ ) описываем две дуги с центрами в точках А и В, которые пересекутся между собой в некоторых точках С и D. Прямая CD будет искомым перпендикуляром. Действительно, как видно из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В; следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

Задача 5. Разделить данный отрезок пополам. Решается так же, как и задача 4 (см. рис.5).

Задача 6. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Решение. Возможны два случая:

1) данная точка О лежит на данной прямой а (рис. 6).

Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках А и В. Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С — точка их пересечения. Получаем ОС ⊥ AB. В самом деле, Δ АСВ — равнобедренный, СА = СВ. Отрезок СО есть медиана этого треугольника, а следовательно, и высота;

2) данная точка О не лежит на данной прямой а (рис.7).

Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О₁ — точка их пересечения, отличная от О. Получаем ОО₁ ⊥ AB. В самом деле, точки О и О₁ равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Источник

Зачем вообще в геометрии построения? Зачем нужно учиться решать задачи на построение?

Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.

Инструменты для построения

Инструменты, употребляемые для выполнения геометрических построений, весьма разнообразны. К основным инструментам принадлежат линейка и циркуль, служащие для проведения прямых линий, одиночных, параллельных и перпендикулярных, и окружностей. Угольник есть вспомогательный инструмент, так как, имея линейку и циркуль, можно строить параллельные и перпендикулярные прямые. К вспомогательным инструментам относится также миллиметровая шкала, которую можно построить с помощью циркуля и линейки, отложив на прямой линии циркулем одинаковые сантиметровые отрезки и разделив каждый из этих отрезков на 10 равных между собою частей. Транспортир есть уже самодеятельный инструмент, так как точное в геометрическом смысле градуирование любой дуги на произвольное число равных частей с помощью линейки и циркуля невозможно.

С глубокой древности повелось допускать к исполнению геометрических построений только циркуль и линейку, т. е. приборы, позволяющие проводить прямые линии и окружности.

С помощью циркуля можно провести произвольную окружность, можно провести окружность с данным центром и данного радиуса. Можно также на данной прямой отложить отрезок, равный данному.

План решения задач на построение
Задачи на построения не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а может быть, невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

Выполнив анализ, наметив план, описывают само построение. Оно может содержать лишь основные построения и элементарные действия с циркулем и линейкой.

Далее требуется привести доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи и, кроме того, проделать исследование, т. е. выяснить, всегда ли (при любых ли данных) описанное построение возможно, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается или делается невозможным.

Таким образом, решение задачи на построение состоит из 4-х частей: анализ, построение, доказательство, исследование. Анализ опускается в простых задачах или в тех, решение которых уже известно.

Построение строится на элементарных геометрических построениях, знание которых гарантирует половину успеха решения задачи на построение.

Далее мы рассмотрим элементарные геометрические построения:

1. Разделить отрезок на два равных отрезка.
Из концов отрезка А и В при помощи циркуля проведите две дуги окружности радиуса R. Радиус окружности сделайте несколько большим половины отрезка АВ. Доведите дуги до взаимного пересечения. Таким образом вы получите точки C и D, равноудаленные от отрезка АВ. Проведите через точки С и D прямую линию, пересекающую отрезок АВ. Точка пересечения этой линии и отрезка будет искомой точкой Е, в которой отрезок АВ разделяется на две равных части.

Остальные элементарные построения и примеры решения задач рассмотрим в следующий раз.
Спасибо за внимание.
Продолжение следует.

Источник

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Содержание:

Ранее мы выполняли построения на плоскости при помощи линейки с делениями, чертежного треугольника, транспортира и циркуля.

Математиков всегда интересовали построения геометрических фигур, которые можно выполнить только при помощи циркуля и линейки. В геометрии специально выделяют задачи на построение, которые могут быть решены с помощью этих двух инструментов.

Например, при помощи циркуля и линейки можно построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам. Или построить угол, равный данному углу.

Рассмотрим одну из таких задач на построение. На прямой

Найти точку — это значит построить ее при помощи циркуля и линейки. Если перемещать некоторую точку по прямой (положения К₁ К₂, К₃), то расстояния от этой точки до точек А и В будут меняться. Когда эти расстояния станут равными, точка на прямой будет равноудалена от концов отрезка АВ. Значит, она будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Это и есть идея построения: нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку АВ и найти точку его пересечения с прямой .

Чтобы построить серединный перпендикуляр, нужно построить две пересекающиеся окружности равных радиусов с центрами в точках А к В (рис. 293, б). Затем провести прямую MN через точки пересечения этих окружностей (ниже мы обоснуем это построение). В пересечении серединного перпендикуляра MN к отрезку АВ и прямой получим искомую точку К.

Рассмотренная задача может иметь и практический смысл. Допустим, есть два населенных пункта и шоссе рядом с ними. На шоссе нужно найти место для остановки, чтобы путь для жителей обоих населенных пунктов до остановки был одинаковым. Все построения будут сделаны на карте населенного пункта.

При решении задач на построение линейка считается односторонней и без делений. При помощи такой линейки нельзя построить две параллельные прямые, проведя линии по краям линейки, нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя строить перпендикуляры, используя прямоугольную форму линейки. Рассмотрим, какие операции можно выполнять линейкой, а какие циркулем.

Операции с линейкой

При помощи линейки можно провести (построить):

а) произвольную прямую;

б) прямую, проходящую через две точки (рис. 294).

Операции с циркулем

При помощи циркуля можно:

а) построить произвольную окружность и окружность (дугу окружности) с данным центром и радиусом, равным данному отрезку (рис. 295);

б) отложить отрезок, равный данному отрезку, на некоторой прямой.

Откладывание отрезка

Для откладывания отрезка, равного данному отрезку (рис. 296, а) на прямой (рис. 296, б), следует: 1) отметить на прямой точку М; 2) радиусом, равным а, провести дугу окружности с центром в точке М (сделать засечку на прямой ).

В пересечении дуги и прямой получим точку К и отрезок МК, равный .

Операция откладывания отрезка на прямой позволяет построить сумму и разность двух отрезков (рис. 297): в первом случае на произвольной прямой откладывают последовательно два отрезка, во втором — на большем отрезке от любого его конца откладывают меньший отрезок.

В дальнейшем при решении задач на построение мы не будем описывать процедуру откладывания отрезка на прямой, считая ее элементарной операцией.

Перечислим 5 основных задач на построение, к которым сводятся другие задачи. Решая сложные задачи, будем ссылаться на эти основные, не описывая ту часть решения, которая связана с одной из основных задач.

В некотором смысле «линейка» и «циркуль» — это два идеальных робота, которые могут выполнять определенный набор операций. И наша задача — составить алгоритм из последовательности таких операций — команд для этих роботов, который приведет к построению необходимой фигуры. Фактически нужно написать программу для «циркуля» и «линейки».

Замечание. В треугольнике ABC стороны, противолежащие углам А, В и С, будем соответственно обозначать , и , а сами эти углы — , и (рис. 298). Медианы, проведенные к сторонам , и , — высоты — биссектрисы —

Построение треугольника по трем сторонам. Построение угла, равного данному

Задача №1

Построить треугольник со сторонами , и .

Решение:

Пусть даны отрезки , и . На произвольной прямой откладываем отрезок АВ = (рис.300).

Строим окружность с центром в точке А радиусом . Строим окружность с центром в точке В радиусом . Находим точку С пересечения этих окружностей. Проведем отрезки АС и ВС.

Треугольник ABC — искомый, так как у него ВС = , АС = , АВ = по построению.

Задача имеет решение, если для данных отрезков , и выполняется неравенство треугольника:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Что такое задачи на построение

ТЕМА УРОКА: Что такое задачи на построение.

Содержание

Цели урока:

Задачи урока:

План урока:

Приборы и материалы:

Ведение.

Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчас могут показаться не очень интересными и нужными, какими-то надуманными. И в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, или даже просто сделать построение параллельной прямой. Современные технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при помощи циркуля и линейки.

И все же без задач на построение геометрия перестала бы быть геометрией. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии.

В чем же особенность этих задач? Задачи на построение не просты. Не существует единого алгоритма для решения всех таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а, порой, практически невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

Любая ли задача решается с помощью циркуля и линейки? Еще в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению.

1. Задача об удвоении объема куба.

Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше объема данного куба.

2. Задача о трисекции угла.

Требуется произвольный угол разделить на три равные части.

3. Задача о квадратуре круга.

Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы площади данного круга.

Возникновение этих задач связано с целым рядом легенд. Любопытна легенда, связанная с первой задачей.

Царь Минос велел воздвигнуть памятник сыну Главку. Архитекторы придали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал удвоить объем.

Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и те не смогли им помочь. Циркулем и линейкой решить задачу нельзя.

Исторический факт.

В 1904 году американский математик Ф.Морли доказал, что если у каждой вершины провести две трисектрисы, то точки пересечения смежных трисектрис углов являются вершинами равностороннего треугольника.

Формальное определение

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

1. Выделить точку из множества всех точек:

2. «С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:

3. «С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех окружностей:

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

Решение задачи на построение.

Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры. Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи. Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.

Это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру.

Второй этап – построение – состоит из двух частей:

Третий этап – доказательство.

После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения.

Четвертый этап – исследование.

При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы.

Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы:

Основным методам решения задач на построение:

1. Метод геометрических мест.

2. Методы геометрических преобразований:

3. Алгебраический метод.

Каждому методу сопоставляется определенный класс задач. Однако провести классификацию задач на построение по методам их решения нельзя. Это следует уже из того, что многие задачи допускают несколько методов решения. Поэтому можно говорить лишь об условном разбиении задач на построение на классы, определяемые их методами решения.

Задачи на построение.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Построен треугольник АСВ по двум сторонам и углу между ними.

Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Произвольно начертить отрезок АВ, равный заданному отрезку c.
Построить угол А, равный заданному.
Построить угол В, равный заданному.

Точка пересечения двух сторон углов А и В – вершина треугольника С.

Файл:208022011 14.gif
Построили треугольник АСВ по стороне и двум заданным углам.

Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов В и А, высоте ВD и стороне АС.

Допустим, что такой треугольник построен. Нам известна сумма углов А и В => мы можем найти угол С1. Затем построим ∆СВD по катету и противолежащему углу. А потом достроим ∆АВС.

Исследование.
Задача имеет решение всегда.

Интересный факт:

Возникновение магических квадратов относится к глубокой древности. Наиболее ранние сведения о них содержатся, по-видимому, в китайских книгах, написанных в IV — V вв. до н. э. Из дошедших до нас древних магических квадратов самым «старым» является таблица Ло-шу (2200 до н. э.).

Определение. Магические квадраты — квадратные (т.е. с одинаковым количеством столбцов и строк) таблицы натуральных чисел, имеющие одинаковые суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум диагоналям. Магические квадраты свое название магических или волшебных получили от арабов, которые усматривали в подобных сочетаниях чисел нечто чудесное, мистическое и смотрели на них как на талисманы.

Таблица Ло-шу состоит из 9 клеток: 3 строк и 3 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 9. В этом магическом квадрате суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум диагоналям равны одному и тому же числу 15.

Следующие по времени сведения о магических квадратах дошли до нас из Индии и Византии.

В Европе изображение магических квадратов впервые встречается на гравюре «Меланхолия» немецкого художника Альбрехта Дюрера (1514). Этот магический квадрат состоит из 16 клеток: 4 строк и 4 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 16. В нем сумма чисел по каждой строке, каждому столбцу и двум диагоналям равна 34. Средние числа в нижней строке (15 и 14) означают дату 1514 — год издания этой гравюры А. Дюрера.

Список использованных источников:

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Источник