что такое задача с параметром

Исследовательская работа «Основные типы задач с параметром и их решение»

«Основные типы задач с параметром и их решение»

Оглавление

Актуальность данной темы очевидна. Ведь уравнения и неравенства с параметром стали привычной частью всех сложных экзаменационных заданий и вступительных экзаменов в ВУЗы, а также задания данного типа являются неотъемлемой частью практически всех олимпиад разного уровня.

Проблема в том, что в школьной программе такие задачи встречаются редко, и только самые простые вариации. Многие учащиеся не до конца понимают, как решать задания такого типа. Учащиеся выпускных классов лишают себя возможности получить высокие баллы за задания этого типа.

Цель данной работы: изучение основных способов решения уравнений и неравенств с параметром, рассмотрение основных типов заданий в которых применяется параметр в школьной программе.

1) сбор и обработка материала по данной теме;

2) систематизация различных методов решения;

3) проведение мастер-класса по решению уравнений с параметром;

Объект исследования : уравнения и неравенства с параметром.

Предмет исследования : методы решений уравнений и неравенств, содержащих параметр.

Глава 1. Основные понятия.

1.1 Что такое параметр.

Что такое параметр в математике? Если вы вспомните некоторые основные уравнения (например, kx+l=0, ax²+bx+c=0), то обратите внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, возьмем за основу следующий его простейший вариант.

Определение: параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|= a – 1 не следует неотрицательность значений выражения a – 1, и если a – 1

1.2 Что означает «решить задачу с параметром».

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Отмечу сразу, что запись ответа – важнейший этап решения, отличающий задачу с параметром от других задач. Ответ в задаче с параметром – это описание множества ответов к задачам, полученным при конкретных значениях параметра.

1.3. Основные типы задач с параметрами.

Тип 1. Уравнения и т.п., которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2. Уравнения и т.п., для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Тип 3. Уравнения и т.п., для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения и т.п., для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

1.4 Основные способы решения задач с параметром.

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

Глава 2. Основные способы решения задач с параметром

2.1 Аналитический способ.

Универсальных методов решения уравнений и неравенств с параметрами не существует. Одно из немногих исключений – линейные уравнения и неравенства.

Пример 1. Решить уравнение: а ( а – 2) х = а – 2.

Полное решение см. в приложении 1

Пример 2 . Решить неравенство ( а + 3) х а – 1.

Решение. Рассмотрим случаи:

Другое важное исключение – уравнения и неравенства, связанные с квадратичной функцией.

Пример3. Решить уравнение ( а – 2) х 2 + (2 а – 3) х + а + 2 = 0.

Решение рассмотрим в приложении 2.

2.2 Графический способ.

Алгоритм графического решения уравнений с параметром:

-Находим область определения уравнения.

-Выражаем α как функцию от х.

-В системе координат строим график функции α (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

-Находим точки пересечения прямой a = с, с графиком функции a (х). Если прямая a = с пересекает график a (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = a (х) относительно х.

Рассмотрим на примерах:

Пример 1: Решить уравнение | x 2 – 2 x – 3| = a в зависимости от параметра а .

Решение. Понятно, что при а ≥ 0:

если а = 0 и а > 4, то два корня.

При а = 0 получим x 2 – 2 x – 3 = 0,

уравнения x 2 – 2 x – 3 – а = 0.

4) при а = 4 – три корня:

x 2 – 2 x – 3 = 4 x 2 – 2 x – 3 = – 4 Ответ: 1) если a

x 2 – 2 x – 7 = 0 x 2 – 2 x + 1 = 0 2) если а = 0, то х ₁ = –1, х ₂ = 3;

2.3 Решение относительно параметра.

Если степень неизвестного слишком высока, а степень параметра не превосходит двух, то здесь эффективен метод решения уравнения (неравенства) относительно параметра.

Пример 1. Решить уравнение 2 х 3 – ( а + 2) х 2 – ах + а 2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение в виде

Решим уравнение относительно параметра а.

D = ( х 2 + х ) 2 – 4(2 х 3 – 2 х 2 ) = х 2 ( х + 1) 2 – 8 х 2 ( х – 1) = х 2 ( х 2 + 2 х + 1 – 8 х + 8) = х 2 ( х 2 – 6 х + 9) = х 2 ( х – 3) 2

Дальнейшее решение смотри в приложении 3.

Заключение.

В процессе проделанной работы в соответствии с ее целями и задачами были получены следующие выводы и результаты:

1. Рассмотрели основные способы решения уравнений и неравенств с параметром:

— решение относительно параметра;

2. Графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и систем уравнений с параметрами, но нельзя полностью представить себе сложность и нестандартность решения каждой задачи с параметром, изучая только графический способ. Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы.

3. В заданиях ОГЭ по математике в 9 классе уравнения, системы уравнений с параметром проще, удобнее и нагляднее решать графическим способом. В связи с этим разработали ряд задач с параметром в помощь учителю и ученику (см. приложение 4). Разработанный ряд задач можно использовать на факультативах по математике при подготовке к ОГЭ, при подготовке к олимпиадам или для привития интереса к математике, совершенствования математической культуры, навыков дедуктивного мышления и творческих исследовательских способностей. Данный справочник предложен 9-классникам.

Планирую продолжить работу над этой темой, и расширить круг изучаемых типов заданий с параметрами.

Литература.

1. Алгебра. 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович.- М.:Мнемозина, 2013;

2. Горнштейн П.И. «Задачи с параметрами. » Москва 2003г.;

3. Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА – 2014: учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013г.;

4. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013 : учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012г.;

5. Солуковцева Л. «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами. Москва.2007г.;

6. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред.шк. – М.: Просвещение, 1989.;

7. ЯстребинецкийГ.А.«Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.

Источник

Все о задачах с параметрами! Способы, лайфхаки, видео от Анны Малковой

Давайте вспомним, какие методы решения задач с параметрами вы знаете.

Видео на тему «Параметры».

Больше задач с параметрами – на мастер-классах в субботу и воскресенье. Также в воскресенье состоится важнейший мастер-класс по русскому.

Все мы знаем, что задачи 18 и 19 в варианте Профильного ЕГЭ по математике – это высший пилотаж.

Каждая оценивается в 4 первичных балла (8-9 тестовых). Сегодня поговорим о параметрах.

Задачи с параметрами

Все о задачах с параметрами – здесь.

Да, такой подборки статей вы больше нигде не найдете.

Элементарные функции и графики. Преобразования графиков. Без этого задачи с параметрами не решаются.

И еще: Множества точек на плоскости, задаваемые уравнениями. Уравнения окружности, полуокружности, круга, ромбика, полуплоскости, отрезка и других фигур. И многое другое.

Давайте вспомним, какие методы решения задач с параметрами вы знаете.

2. Условия касания – например, чтобы найти, при каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение. Для функции y=f(x) и прямой y=kx+b условие касания в точке x0 будет таким:

3. Для квадратных уравнений и неравенств с параметрами – свои способы решения. Например, знаете ли вы, что формулу корней квадратного уравнения в задаче №18 мы используем редко. Намного чаще пользуемся теоремой Виета.

4. Если в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов – используем метод оценки.

5. Геометрический метод. Факты, теоремы, свойства геометрических фигур отлично применяются в задачах с параметрами.

6. Параметр как переменная. Решение графически в координатах (х; а)

7. Метод областей – двумерный аналог метода интервалов.

8. Использование четности функций и симметрии уравнений.

9. Использование свойств функций – непрерывности, монотонности, нечетности, периодичности.

Помню, что на Мастер-классе в воскресенье я называла 10 способов решения задач с параметрами. Но какой же был десятый? Напишите нам на почту online@ege-study.ru

И смотрите на моем канале видео на тему «Параметры».

— Задача с параметром. Использование свойств функций https://youtu.be/wx6rUi6o0LY

— Интересный параметр из сборника Ященко: https://youtu.be/4YqdY-YUvQ0

Больше задач с параметрами – на мастер-классах в субботу и воскресенье, входящих в наш Онлайн-курс. В субботу покажу участникам курса на 100 баллов новые и замысловатые задачи. А занятие в воскресенье посвящено использованию четности функций и использованию симметрии уравнений. Заодно выучите красивое слово «инвариантность».

Также в воскресенье состоится важнейший мастер-класс по русскому

Будем заниматься смысловой и композиционной целостностью текста. Поговорим о типах речи. Разберемся (наконец! А то их все путают!), чем тире отличается от дефиса, а также в тонкостях постановки двоеточия и тире в простом предложении. В программе мастер-класса по русскому – задания 16-22.

Школы закрылись на непредвиденные каникулы. Однако никто не мешает учиться онлайн! Пока у нас есть возможность – мы ведем трансляции из нашей студии. И одновременно отрабатываем систему онлайн-занятий с мини-группами, а в следующем году добавим этот формат к нашему онлайн-курсу.

Готовьтесь с профессионалами!

Курс «11 класс, 100 баллов»

— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 120 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 8 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.

Курс «11 класс, 80 баллов»

— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 54 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 3 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.

Курс для преподавателей

— Вся теория профильного ЕГЭ, все задачи.
— 4 онлайн занятия в месяц (70 ч.).
— Мастер-классы по методике преподавания раз в месяц (18 ч.).

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Источник

«Методы решения задач с параметрами»

МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»

Выступление на заседании МО

Методы решения задач

Прокушева Наталья Геннадьевна

Задачи с параметрами

Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.

Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.

Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение ( неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.

Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

Основные методы решения задач с параметром

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Линейная функция: – уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .

Линейные уравнения с параметрами вида

Если , уравнение имеет единственное решение.

Источник

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Источник