что такое синус косинус тангенс котангенс определения и формулы 8 класс

Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

Формулы понижения степени

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

Произведение тригонометрических функций

Формулы произведения тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка

Источник

Урок геометрии «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Ход урока

Актуализация знаний (определение основной проблемы урока)

Проводится в форме фронтального опроса.

Учащиеся:

Задача 1. Ответ: 5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Задача 2. Ответ: 41°. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Задачи 4-6 мы не можем решить.

Учитель. А почему вы не сумеете решить задачи 4-6? Какой вопрос возникает?

Учащиеся. Мы не знаем, что такое tgB, sinA, cosB.

Учитель. sinА, cosB, tgB читается: “синус угла А”, “косинус угла В” и “тангенс угла В”. Мы сегодня узнаем, что означает каждое из этих выражений, и научимся решать задачи типа 4-6.

Введение нового материала

Проводится в форме эвристической беседы.

Учитель. Начертите прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4, 6 и 8. Обозначьте их АВС и А₁В₁С₁ так, чтобы В и В₁ были углами, противолежащими катетам 4 и 8, а прямыми углами были С, С₁. Равны ли углы В и В₁? Почему?

Учащиеся. Равны, потому что треугольники подобны. AC : BC = A₁C₁ : B₁C₁ (3 : 4 = 6 : 8) и углы между ними прямые.

Учитель. Равенства каких ещё отношений следуют из подобия треугольников АВС и А₁В₁С₁?

Учащиеся. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель. Запишите сами синус, косинус и тангенс угла А (слайд 1). Получились формулы (1), (2), (3) :

(1)

. (3)

Закрепление

Учитель. Решим задачу №591 (а,б) [1].

Задание выводится на экран (слайд 2). Задание “а” решается на доске с полным объяснением; “б” – самостоятельно с последующей проверкой друг друга.

Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20.

Решение. а) = . = , по теореме Пифагора найдём АС = 15,

= ; б) , по теореме Пифагора найдём АВ = 29, . . .

Задача 4. Что известно? Что надо найти?

Учащиеся. Известны ВС = 7 и tg В = 3,5. Надо найти АС.

Учитель. Что такое tg В?

Учащиеся. .

Учитель. Работаем с формулой. Формула состоит из трёх компонентов. Назовите их. Какие компоненты известны? Какой компонент неизвестен? Можете найти? Найдите.

Учащиеся. АС = ВС * tg B = 7 * 3,5 = 24,5

Учитель.

1. Расскажите, удалось ли вам найти требуемые неизвестные?

2. Каков был порядок ваших действий?

3. Может быть есть другие решения?

Учащиеся.1. Да. Легко. По образцу. Задача 5. Ответ: 10. Задача 6. Ответ: 2,5

2. Сначала синус и косинус соответствующих углов заменяем по определению соответствующими отношениями, затем в полученных пропорциях проставляем известные данные, после этого находим искомые неизвестные.

Учитель. Какой общий вывод можно сделать после решения задач 4–6? Какие новые задачи мы научились решать в прямоугольном треугольнике? Подумайте и сформулируйте ваш вывод.

Учащиеся. Если в прямоугольном треугольнике известны одна сторона и отношение этой стороны к одной из других сторон, либо одна сторона и отношение одной из других сторон к известной стороне (либо синус, либо косинус, либо тангенс), то можно найти эту вторую сторону.

Решение задач.

Учащиеся. Мы не знаем, как их решать.

Учащиеся. Угол М равен 30°, так как катет противолежащий углу М равен половине гипотенузы.

Учитель. То есть получается, что если синус угла равен 0,5, то угол равен 30°. А теперь решим задачи №592 (а,в,д) [1]

№592. Постройте угол a, если: а) в) д) .

а) На сторонах прямого угла отложим отрезки длиной 1 и 2, соединим концы отрезков. В полученном треугольнике угол, лежащий против катета 1, и есть искомый угол a;

в) 0,2 = . На одной стороне прямого угла от его вершины отложим отрезок длины 1. Построим окружность радиуса 5 с центром в конце отложенного отрезка. Точку пересечения окружности со второй стороной прямого угла соединим с концом отложенного на первой стороне угла отрезка. В полученном треугольнике угол, прилежащий катету длины 1, и есть угол a; (слайд 4)

д) На одной стороне прямого угла от его вершины отложим отрезок длины 1. Построим окружность радиуса 2 с центром в конце отложенного отрезка. Точку пересечения окружности со второй стороной прямого угла соединим с концом отложенного на первой стороне угла отрезка. В полученном треугольнике угол, противолежащий катету длины 1, и есть искомый угол a.(слайд 5)

Вы построили углы, а значит, вы нашли углы. Их можно измерить и оформить в виде таблицы.

Аналогично можно решить задачи 7-9

Подведение итогов

Учитель. Ответьте на вопросы:

1. Что называется синусом, косинусом и тангенсом прямого угла в прямоугольном треугольнике?

2. В прямоугольном треугольнике 6 элементов. Какие новые задачи вы сегодня научились решать? Каков при этом порядок ваших действий? Проверьте свои умения правильно выполнять эти действия (Раздаются индивидуальные карточки).

Примерное содержание карточек: 1. В треугольнике АВС угол С прямой, ВС = 2, Найдите АВ. 2. В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 8, . Найдите АВ. 3. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 6, . Найдите ВС.

Учащиеся сверяют свою работу с готовыми решениями на соответствующих карточках.

Задания на дом: [1] вопрос 15 на стр.159; №591(в,г),592(б,г,е) (слайд 6)

Источник

Что такое синус косинус тангенс котангенс определения и формулы 8 класс

Единое национальное тестирование

История Казахстана

Онлайн тесты и шпаргалки по истории Казахстана

Всемирная история

Онлайн тесты и шпаргалки по Всемирной истории.

Математика

Онлайн тесты и шпаргалки по математике.

Химия

Онлайн тесты и шпаргалки по химии.

Физика

Онлайн тесты и шпаргалки по физике.

Биология

Онлайн тесты и шпаргалки по биологии.

География

Онлайн тесты и шпаргалки по географии.

Русский язык

Онлайн тесты и шпаргалки по русскому языку.

Готовые работы

ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ

После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.

Новости сайта

Казахстанские школьники завоевали 11 медалей на международной олимпиаде по физике

11 медалей завоевали казахстанские школьники на первой международной олимпиаде по физике имени аль-Фергани, которая прошла в Узбекистане. Об этом сообщает пресс-служба Министерства образования и науки РК.

Всего в олимпиаде приняли участие около 130 школьников из 18 стран, в том числе из России, Азербайджана, Беларуси, Румынии и других.

По итогам двух этапов казахстанские школьники завоевали две золотые, шесть серебряных и три бронзовые медали.

Золотыми призёрами стали Алишер Еркебаев и Нурдаулет Назарбай, серебряные медали завоевали Даниил Шатохин, Оразхан Хайдар, Динмухаммед Сапыбек, Ердаулет Нахып, Бернар Шамгонов и Диас Еспан, бронзу Казахстану принесли Бексултан Шарип, Аскар Касымов и Нуржан Хасенов.

«Конкуренция на олимпиаде была очень высокой, так как большинство участников занимают лидирующие позиции в рейтинге Международной олимпиады по физике (IPhO). Наши ребята показали блестящие результаты и достойно представили Казахстан на мировой арене. Сейчас центр «Дарын» Министерства образования и науки работает над проведением олимпиад различных уровней для того, чтобы у наших школьников были все условия для участия в международных олимпиадах», – отметила председатель комитета дошкольного и среднего образования МОН РК Гульмира Каримова.

Источник

Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе

Определения

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\sin \alpha=\dfrac ac\)

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\cos \alpha=\dfrac bc\)

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету: \(\mathrm\,\alpha=\dfrac ab\)

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету: \(\mathrm\,\alpha=\dfrac ba\)

Утверждение

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов соответственно равны.

Теорема

Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса вытекают следующие формулы:

Утверждение

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(\angle C\) :

\(\sin \angle A=\cos \angle B\)

Доказательство

Утверждение следует непосредственно из определения синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Теорема

Для углов \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) верна следующая таблица:

\[<\large<\begin <|c|c|c|c|>\hline & \phantom<000>30^\circ \phantom <000>& \phantom <000>45^\circ \phantom <000>& \phantom <000>60^\circ \phantom <000>\\[2pt] \hline &&&\\ \sin &\frac12&\frac<\sqrt2>2&\frac<\sqrt3>2\\[4pt] \cos &\frac<\sqrt3>2&\frac<\sqrt2>2&\frac12\\[4pt] \mathrm &\frac<\sqrt3>3&1&\sqrt3\\[4pt] \mathrm&\sqrt3&1&\frac<\sqrt3>3\\[4pt] \hline \end>>\]

Доказательство

Теперь по определению \(\sin \angle A=\sin 60^\circ =\dfrac ac=\dfrac<\sqrt3>2\)

Замечание

Для простоты запоминания таблицы можно записать ее в следующем виде:

Теорема

Справедливы следующие формулы приведения:

\[\begin \sin(180^\circ-\alpha)&=\sin\alpha\\ \cos(180^\circ-\alpha)&=-\cos\alpha\\ \mathrm\,(180^\circ-\alpha)&=-\mathrm\,\alpha\\ \mathrm\,(180^\circ-\alpha)&=-\mathrm\,\alpha \end\]

Пример

Учащиеся, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение конкурентных баллов по итогам его прохождения, непременно должны повторить теорию о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе. Как показывает практика, задания по данной тематике ежегодно встречаются в аттестационном испытании. Таким образом, если одним из ваших слабых мест являются формулы и теоремы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, рекомендуем освежить в памяти базовую теорию. В этом вам поможет образовательный портал «Школково». В соответствующем разделе представлена теория о синусах, косинусах, тангенсах и котангенсах, которая позволит вам подготовиться к сдаче экзамена. Весь базовый материал составлен нашими специалистами на основе многолетнего опыта и представлен в максимально доступной форме. Ознакомившись с теорией, выпускник сможет грамотно объяснять решение задач ЕГЭ на синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. В этом состоит половина успеха при прохождении аттестационного испытания.

Для того чтобы учащиеся из Москвы или другого населенного пункта России, посетившие наш ресурс, смогли легко и качественно подготовиться к ЕГЭ, мы не только в понятной форме изложили теорию косинусов, синусов, тангенсов и котангенсов, но и подобрали соответствующие упражнения. Для каждого из них наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и правильный ответ. Выполняя такие задачи при подготовке к ЕГЭ по математике, выпускники смогут лучше закрепить изученную теорию синусов и косинусов в треугольнике. Выбрать простые и более сложные упражнения вы можете в разделе «Каталог».

Изучив теорию о синусах, косинусах, тангенсах и котангенсах и попрактиковавшись в решении задач по данной теме при подготовке к ЕГЭ, учащиеся имеют возможность сохранить любое задание в «Избранное», чтобы при необходимости обсудить его с преподавателем.

Источник

Синус, косинус, тангенс и котангенс (ЕГЭ 2022)

Понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса неразрывно связаны с понятием угла.

Не так страшен черт, как его малюют!

Чтобы хорошо разобраться в этих понятиях (нет, не в чёрте! в тригонометрии 🙂 ), начнём с самого начала.

Синус, косинус, тангенс, котангенс — коротко о главном.

Синус угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе

Косинус угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе

Тангенс угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому)

Котангенс угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

Понятие угла: радиан, градус

Давай для начала разберёмся в понятии угла.

Посмотрим на рисунок.

Вектор \( AB\) «повернулся» относительно точки \( A\) на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол \( \alpha \).

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в \( 1<>^\circ \) (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную \( \frac<1><360>\) части окружности.

Таким образом, вся окружность состоит из \( 360\) «кусочков» круговых дуг. То есть угол, описываемый окружностью, равен \( 360<>^\circ \).

То есть на рисунке выше изображён угол \( \beta \), равный \( 50<>^\circ \), то есть этот угол опирается на круговую дугу размером \( \frac<50><360>\) длины окружности.

Углом в \( 1\) радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол \( \gamma \), равный \( 1\) радиану.

То есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина \( AB\) равна длине \( BB’\) или радиус \( r\) равен длине дуги \( l\)).

Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

\( l=\theta \cdot r\), где \( \theta \) — центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью?

Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен \( 2\pi \).

То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что \( 2\pi =360<>^\circ \).

Соответственно, \( \pi =180<>^\circ \).

Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

А сколько радиан составляют \( 60<>^\circ \)?

Уловил? Тогда вперёд закреплять:

Тогда смотри ответы:

Cинус, косинус, тангенс, котангенс угла в прямоугольном треугольнике

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла?

Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Всё верно, гипотенуза и катеты.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \( AC\))

Катеты – это две оставшиеся стороны \( AB\) и \( BC\) (те, что прилегают к прямому углу).

Причём, если рассматривать катеты относительно угла \( \angle BAC\), то катет \( AB\) – это прилежащий катет, а катет \( BC\) — противолежащий.

Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \sin \beta =\frac\).

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \cos \beta =\frac\).

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике \( tg\beta =\frac\).

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике \( ctg\beta =\frac\).

Эти определения необходимо запомнить!

Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе.

А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле).

Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \( \beta \).

По определению, из треугольника \( ABC\): \( \cos \beta =\frac=\frac<4><6>=\frac<2><3>\).

Но ведь мы можем вычислить косинус угла \( \beta \) и из треугольника \( AHI\): \( \cos \beta =\frac=\frac<6><9>=\frac<2><3>\).

Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \( \beta \).

Ответы: \( \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac<4><3>\).

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \( 1\).

Такая окружность называется единичной. Еще ее называют тригонометрической. Это одно и тоже.

Эта окружность — универсальная шпаргалка для решения уравнений и даже неравенств, если уметь ей пользоваться!

У нас есть целая статья, посвященная ей, которая так и называется «Тригонометрическая (единичная) окружность».

Здесь мы тоже ее разберем довольно подробно.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат.

Радиус окружности равен единице.

При этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \( x\) (в нашем примере, это радиус \( AB\)).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \( x\) и координата по оси \( y\).

А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме?

Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник.

На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим треугольник \( ACG\). Он прямоугольный, так как \( CG\) является перпендикуляром к оси \( x\).

Чему равен \( \cos \ \alpha \) из треугольника \( ACG\)?

Всё верно \( \cos \ \alpha =\frac\).

Кроме того, нам ведь известно, что \( AC\) – это радиус единичной окружности, а значит, \( AC=1\).

Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

А чему равен \( \sin \ \alpha \) из треугольника \( ACG\)?

Ну конечно, \( \sin \alpha =\frac\)!

Подставим значение радиуса \( AC\) в эту формулу и получим:

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \( C\), принадлежащая окружности? Ну что, никак?

А если сообразить, что \( \cos \ \alpha \) и \( \sin \alpha \) — это просто числа?

Какой координате соответствует \( \cos \alpha \)?

Ну, конечно, координате \( x\)!

А какой координате соответствует \( \sin \alpha \)?

Всё верно, координате \( y\)!

Таким образом, точка \( C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha )\).

А чему тогда равны \( tg \alpha \) и \( ctg \alpha \)?

Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \( tg \alpha =\frac<\sin \alpha ><\cos \alpha >=\frac\), а \( ctg \alpha =\frac<\cos \alpha ><\sin \alpha >=\frac\).

А что, если угол будет больше \( 90<>^\circ =\frac<\pi ><2>\)?

Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере?

Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику.

Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \( y\); значение косинуса угла – координате \( x\); а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям.

Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \( x\).

До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке?

Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным.

Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \( 360<>^\circ \) или \( 2\pi \).

В первом случае, \( 390<>^\circ =360<>^\circ +30<>^\circ \), таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \( 30<>^\circ \) или \( \frac<\pi ><6>\).

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \( 360<>^\circ \cdot m\) или \( 2\pi \cdot m\) (где \( m\) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол \( \beta =-60<>^\circ \).

Этот список можно продолжить до бесконечности.

Все эти углы можно записать общей формулой \( \beta +360<>^\circ \cdot m\) или \( \beta +2\pi \cdot m\) (где \( m\) – любое целое число)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться.

Отсюда мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла.

Ну что же, начнём по порядку: углу в \( 90<>^\circ =\frac<\pi ><2>\) соответствует точка с координатами \( \left( 0;1 \right)\), следовательно:

\( \text\ 90<>^\circ =\frac=\frac<1><0>\Rightarrow \text\ 90<>^\circ \) — не существует;

Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

\( \displaystyle \sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =0\) \( \displaystyle \cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =-1\) \( \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\frac<0><-1>=0\)

\( \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\frac<-1><0>\Rightarrow \text\ \pi \) — не существует

\( \sin \ 270<>^\circ =-1\) \( \cos \ 270<>^\circ =0\)

\( \text\ 270<>^\circ =\frac<-1><0>\Rightarrow \text\ 270<>^\circ \) — не существует

\( \text\ 270<>^\circ =\frac<0><-1>=0\) \( \sin \ 360<>^\circ =0\) \( \cos \ 360<>^\circ =1\) \( \text\ 360<>^\circ =\frac<0><1>=0\)

\( \text\ 360<>^\circ =\frac<1><0>\Rightarrow \text\ 2\pi \) — не существует

\( \sin \ 450<>^\circ =\sin \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\sin \ 90<>^\circ =1\) \( \cos \ 450<>^\circ =\cos \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\cos \ 90<>^\circ =0\)

\( \text\ 450<>^\circ =\text\ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\frac<1><0>\Rightarrow \text\ 450<>^\circ \) — не существует

\( \text\ 450<>^\circ =\text\left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\frac<0><1>=0\).

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения!

Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

А вот значения тригонометрических функций углов в \( 30<>^\circ =\frac<\pi ><6>,\ 45<>^\circ =\frac<\pi ><4>\) и \( 30<>^\circ =\frac<\pi ><6>,\ 45<>^\circ =\frac<\pi ><4>\), приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Источник