что такое произвольный треугольник

Треугольник — определение и основные свойства и виды треугольника

Что такое треугольник знают дети уже в самом младшем возрасте, они умеют находить треугольник среди множества геометрических фигур. Но вот уже в школе по геометрии проходят треугольник и надо не просто узнавать треугольник, но и дать определение этому понятию.

Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, окруженная тремя отрезками прямой (конечные точки каждых двух смежных отрезков соединены или перекрываются), называется треугольником. Точки пересечения отрезков называются вершинами треугольника, а сами отрезки между двумя соседними вершинами треугольника называются сторонами треугольника.

Посмотрите на треугольник на рисунке.

У него три вершины — , , и три стороны , и . У каждого треугольника есть имя — это имя образовано вершинами треугольника. Наш треугольник зовут ([а-бэ-цэ]). А треугольник на вот этом рисунке

будут звать ([эм-эн-ка]).

По правилам математической грамотности треугольник, как и любой другой многоугольник, следует называть, начиная с левого нижнего угла и называя все вершины по часовой стрелке.

В треугольнике можно провести особенные стороны — высоту, медиану и биссектрису. Начнем с высоты треугольника.

Высота треугольника

В каждом треугольнике можно провести три высоты. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую этой вершине сторону.

Например, в треугольнике , высотой будет отрезок .

А теперь проведем из каждой вершины по высоте — получим три высоты — больше провести высот нельзя.

В этом треугольнике три высоты , , .

Про биссектрисы и медианы поговорим в других статьях. Сейчас же давайте с вами рассмотрим каким бывает треугольник.

Виды треугольника

Виды треугольника могут быть по углам и по сторонам. То есть в первом случае вид треугольника зависит от того, какие в этом треугольнике углы, а во втором случае — какие в этом треугольнике стороны.

Виды треугольников по углам

В зависимости от того, все ли углы в треугольнике острые или есть тупой угол или угол, равный , треугольник бывает остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Посмотрите на рисунки — перед вами три основных вида треугольника:

Виды треугольников по сторонам

Если у треугольника все стороны равны, то такой треугольник называют равносторонним или правильным. Если у треугольника равны только две стороны, то такой треугольник называют равнобедренным.

На рисунке показаны равносторонний и равнобедренный треугольники.

Свойства сторон треугольника

Треугольник имеет важные свойства и характеристики.

Устойчивость — это важное свойство треугольника, оно вам еще пригодится в курсе физики. Но вначале мы с ним знакомимся на уроках геометрии.

Треугольник устойчив на любой своей стороне — то есть чтобы вывести его из состояния равновесия надо приложить силу.

Свойства сторон: разница между любыми двумя сторонами треугольника меньше, чем третья сторона, а также любая сторона треугольника меньше, чем сумма двух других сторон. То есть:

Например, пусть наш треугольник имеет длины двух сторон , а см. В каком диапазоне будет размер третьей стороны треугольника?

Решение: согласно свойству сторон треугольника, получим:

Таким образом, третья сторона треугольника может быть в диапазоне от 4 до 10 см. Или в целых числах ее длина может быть 5, 6, 7, 8 или 9 см.

Правило существования треугольника

Используя свойство сторон треугольника мы можем определить существует ли треугольник с определенными сторонами.

Для проверки сложите длины самых коротких сторон и если сумма их больше длины самой большой стороны, тогда треугольник существует.

Например, существует ли треугольник с длинами сторон 3, 7 и 15 см?

Решение: проверим по свойству сторон треугольника: складываем две самые короткие стороны 3 и 7 см: 3+7=10, а 10 7 — треугольник с такими длинами сторон существует.

Свойство углов в треугольнике

Сумма всех углов в треугольнике равна .

Согласно этому свойству мы всегда можем, зная два угла в треугольнике, найти его третий угол. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна .

Например, пусть известно, что в треугольнике , , , нужно найти .

Так как сумма углов в треугольнике равна , то находим:

.

Ответ: .

Элементы композиции

Многие школьники спрашивают — а зачем нам знать про треугольник, как это может пригодиться в обычной жизни? Треугольник — простая фигура из которой можно составить более сложные. Это используется во многих сферах жизни, например, вы можете эргономично убирать в своей комнате, или красиво выкладывать бутерброды. Например, из двух равных треугольников можно составить параллелограмм.

А из двух равных прямоугольных треугольником — прямоугольник или квадрат. Два треугольника могут образовать трапецию, так как на рисунке. А вот какую фигурку можно смоделировать для программируемой игры — она вся сделана из треугольников:

Мы, рассмотрели самые важные свойства треугольника, и в дальнейшем изучим еще больше разных интересных свойств, закономерностей. Несмотря на свою простоту, треугольник таит в себе много загадок и открытий.

Источник

Произвольный треугольник

R=a/(2sinα), где α — угол, противолежащий стороне a;

Радиус вписанной окружности: r=SΔ/p, где p — полупериметр.

105. Если все стороны четырёхугольника касаются окружности, то он называется четырёхугольником, описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в четырёхугольник.

Не все четырёхугольники возможно описать около окружности, так как биссектрисы четырёх углов могут не пересекаться в одной точке, и не удастся найти центр вписанной окружности.

106. Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в такой четырёхугольник можно вписать окружность.

Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны АД+ВС=АВ+СД

107. Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность называется описанной около четырёхугольника.

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

108. Вектор можно обозначить:

— двумя заглавными буквами, поставив над ними стрелочку; первая буква показывает начальную точку, вторая — конечную точку, например, A¯B (читается: вектор AB);
— маленькой буквой со стрелочкой над ней, например, a⃗ (читается: вектор a).

Если начальная и конечная точки вектора совпадают, получается нулевой вектор, который обозначается как 0⃗. Любую точку на плоскости можно считать нулевым вектором.

Длина отрезка AB называется длиной, или модулем, вектора AB и обозначается так: ∣AB∣.

109. Скалярными называют величины, имеющие численное значение, но не имеющие направления.

Примеры — количество каких-нибудь предметов, длина, плотность.

110. Векторными величинами, или векторами, называют величины, имеющие и численное значение, и направление. Примеры векторных величин — скорость, сила, перемещение.

111. Перемещением движущейся точки в данный момент времени называют вектор с началом в точке начала её движения и концом в точке её расположения в этот момент.

Векторными величинами, или векторами, называют величины, имеющие и численное значение, и направление.

Например, если сказано, что автомобиль движется со скоростью 100 километров в час (то есть, дано численное значение скорости), то про его скорость известно не всё, потому что неизвестно, куда, в каком направлении он двигается. Поэтому примеры векторных величин — скорость, сила, перемещение.

112. Запомни различие между расстоянием и перемещением.

Расстояние характеризуется только числовым значением, например, AB+BC+CD=5 км.

Расстояние — скалярная величина.

Перемещение — вектор AD, соединяющий начальное и конечное положение тела, и его длина не равняется 5 км.

Перемещение — векторная величина.

Например, можно проехать 5 км и вернуться обратно, перемещение же в этом случае будет равно 0 и обозначится как нулевой вектор.

113. Два отличных от нуля вектора, которые находятся на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными векторами.

114. Два коллинеарных вектора могут быть направлены в одном направлении или в противоположных направлениях. В первом случае коллинеарные векторы называются сонаправленными, а во втором — противоположно направленными векторами.

115. Векторы с равными модулями и одинаковыми направлениями называются равными векторами.

116. Векторы с равными модулями и противоположными направлениями называются противоположными векторами.

Меняя направление какого-либо вектора на противоположное, получаем вектор, противоположный данному: AB=−BA

a⃗ +b⃗ =c⃗ Такой приём сложения векторов называется правилом треугольника.

Такой приём сложения векторов называется правилом параллелограмма.

120. Законы сложения векторов:

1) Для любых двух векторов a⃗ и b⃗ в силе равенство a⃗ +b⃗ =b⃗ +a⃗ (коммутативный, или переместительный, закон сложения).

121. Сумму нескольких векторов получаем так: складываем первый и второй вектор, затем к их сумме прибавляем третий вектор и т. д.

Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Это правило многоугольника.

122. Чтобы лучше понять закон вычитания векторов, нужно вспомнить свойство математических действий: сложения и вычитания.

Такое же свойство справедливо и для действий с векторами.

1) векторы нужно привести к общему началу A;

2) соединить конечные точки B и C;

3) отметить направление вектора разности от конечной точки уменьшителя к конечной точке уменьшаемого вектора.

— векторы a⃗ и b⃗ сонаправлены, если k>0;

— векторы a⃗ и b⃗ противоположно направлены, если k

ТРЕУГОЛЬНИК

в нешний угол СВД = ; К – точка пересечения высот (ортоцентр треугольника). h_a, h_b, h_c – высоты треугольника на соответствующие стороны.

где полупериметр .

М – точка пересечения медиан треугольника (центр тяжести).

m_a, m_b, m_c – медианы на соответствующие стороны. МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1

Т – точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности). L_a, L_b, L_c – биссектрисы соответствующих углов. ВМ:МС = АВ:АС

r – радиус вписанной окружности. О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности). Радиус описанной окружности:

где S_Δ – площадь треугольника; p – периметр треугольника; h_c –

высота опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4–х нарисованных треугольниках стороны одинаково обозначены, просто на 1–м они обозначены, а на остальных они опущены для упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.

M N – средняя линяя треугольника. MN=0.5AC; MN║AC.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

где R – радиус описанной окружности.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

где – длины сторон треугольника, а – высоты, опущенные на соответствующие стороны.

– формула Герона.

Источник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник