что такое полный квадрат в алгебре
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Выделение полного квадрата
Перечень рассматриваемых вопросов:
и уметь увидеть их в выражении.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы познакомились с формулами сокращённого умножения и научились раскладывать по ним квадрат разности и квадрат суммы. На этом уроке вы узнаете, как выделить из многочлена полный квадрат.
Этот многочлен можно преобразовать следующим образом.
6а мы представим в виде удвоенного произведения двух множителей: 3 и a:
Далее применим формулу квадрата суммы для двучлена а +3.
Таким образом, получили равенство:
Представим 10у как удвоенное произведение 5 и у:
Применим формулу квадрата разности для двучлена
Выделение полного квадрата используется, например, при доказательстве неравенств или определения знака выражения. Например:
Доказать, что для любых чисел а и в верно неравенство
В левой части неравенства две переменных, поэтому разделим одночлены на две группы. Число 45 можно добавить в любую группу, например, в группу, где переменная b.
Сложим два полученных выражения. В результате получим сумму двух квадратов двучленов:
то и сумма этих выражений будет положительной либо равна нулю. Что и требовалось доказать.
Материал для углублённого изучения темы.
При выделении полного квадрата числа могут получаться не только целыми, но и дробными.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Объяснение: число 6 не является квадратом целого числа, поэтому удобнее вынести его за скобку:
2. Представьте выражение в виде суммы квадратов:
Объяснение: разделим выражение на две группы. Число 50 можем присоединить к любой группе, например к группе, где переменная m.
Получим сумму квадрата двучлена m + 5 и числа 25:
Во второй группе представим 10n как удвоенное произведение 5 и n, прибавим и вычтем 25:
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Выделение полного квадрата
Перечень рассматриваемых вопросов:
и уметь увидеть их в выражении.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы познакомились с формулами сокращённого умножения и научились раскладывать по ним квадрат разности и квадрат суммы. На этом уроке вы узнаете, как выделить из многочлена полный квадрат.
Этот многочлен можно преобразовать следующим образом.
6а мы представим в виде удвоенного произведения двух множителей: 3 и a:
Далее применим формулу квадрата суммы для двучлена а +3.
Таким образом, получили равенство:
Представим 10у как удвоенное произведение 5 и у:
Применим формулу квадрата разности для двучлена
Выделение полного квадрата используется, например, при доказательстве неравенств или определения знака выражения. Например:
Доказать, что для любых чисел а и в верно неравенство
В левой части неравенства две переменных, поэтому разделим одночлены на две группы. Число 45 можно добавить в любую группу, например, в группу, где переменная b.
Сложим два полученных выражения. В результате получим сумму двух квадратов двучленов:
то и сумма этих выражений будет положительной либо равна нулю. Что и требовалось доказать.
Материал для углублённого изучения темы.
При выделении полного квадрата числа могут получаться не только целыми, но и дробными.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Объяснение: число 6 не является квадратом целого числа, поэтому удобнее вынести его за скобку:
2. Представьте выражение в виде суммы квадратов:
Объяснение: разделим выражение на две группы. Число 50 можем присоединить к любой группе, например к группе, где переменная m.
Получим сумму квадрата двучлена m + 5 и числа 25:
Во второй группе представим 10n как удвоенное произведение 5 и n, прибавим и вычтем 25:
Что такое полный квадрат в алгебре
Описание метода выделения полного квадрата
§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
Описание метода выделения полного квадрата
Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».
Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:
Применяем формулу для разности квадратов, имеем:
Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `
Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.
Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:
Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `<8x^2+10x-3>/<2x^2-x-6>`.
Однако не все его знают. В результате этого объем вычислений увеличивается, а также допускаются ошибки. Он также применяется для нахождения корней уравнений и построения графиков.
Общая информация
Выделить полный квадрат из многочлена второй степени означает, что его следует привести к более читабельной формуле. Эта операция применяется в следующих случаях: интегрирование, дифференцирование, построение графиков и решение уравнений (чаще — в последних двух).
За основу взяты три формулы сокращенного умножения (разложение квадратного многочлена на множители), которые специалисты рекомендуют запомнить или выписать отдельно.
К ним относятся следующие соотношения:
Существует правило, позволяющее выполнить операцию упрощения многочлена ay 2 + by + c второй степени путем разложения его на множители. Это означает, что его следует свести (преобразовать) к виду a * (y — y0)^2 + y0.
Универсальный алгоритм
Алгоритмом называется комплексное решение, состоящее из последовательного набора правил. Преобразование ay 2 + by + c осуществляется следующим образом:
Для квадрата разности алгоритм похожий. Формула выделения полного квадрата имеет такой вид: [(a)^(½) * y]^2 — [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)] + [(b / (2 * (a)^(½))]^2 — [(b / (2 * (a)^(½))]^2 + c. Соотношение также применяется математиками в алгебре, а также в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Для этого нужно воспользоваться таким подробным объяснением правил решения:
Число «а» может быть положительным или отрицательным. Если его прибавить к «с», то должно получиться значение «с1».
При извлечении квадратного корня результат должен быть целым. Чтобы равенство не нарушалось, следует прибавить и отнять «а».
Алгоритм записан в общем виде. В теории он является сложным для понимания.
Однако при практическом применении некоторые неясности исчезают. Для начала нужно разобрать, где его нужно применять.
Сферы использования
Математики рекомендуют разобрать основные примеры выделения полного квадрата. Следует их систематизировать, поскольку это позволит оптимизировать процесс решения. Основной смысл заключается в применении соответствующих алгоритмов для экономии времени.
Некоторые считают, что шаблонами пользоваться нежелательно. Однако в этом есть и свои положительные стороны. Например, при поступлении в какое-либо высшее учебное заведение следует придерживаться общепринятых вариантов решения. При успешном зачислении в университет можно применить нестандартные подходы выполнения задания.
Шаблоны широко применяются не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но и в программировании.
Распространенными заданиями с упрощением квадратного трехчлена являются:
Для нахождения решений следует подробно разобрать алгоритмы. Нет необходимости заучивать основные определения, формулы и правила. Их следует понимать, поскольку в философии есть такой закон: «переход количества в качество». Кроме того, программистами были созданы специальные онлайн-калькуляторы, позволяющие получить полный квадрат, разложить многочлен на множители и так далее.
Построение графиков
Графиком квадратичной функции z = a[y — c]^2 + d является кривая, которая называется параболой. Далее следует ввести следующие пояснения:
Следует отметить, что расположение графика функции зависит от вышеописанных коэффициентов. Для построения параболы математики рекомендуют разобрать частные случаи:
При использовании первого метода нужно воспользоваться таким алгоритмом:
Когда коэффициент с = 0 (az 2 + bz = 0), то решить уравнение очень просто.
Для этого нужно произвести такие действия:
Третий способ — выделение квадрата или использование формул сокращенного умножения. В этом случае нет необходимости использовать стандартный первый метод. Если построить график функции, то корнями будут являться его точки пересечения с осью абсцисс. Можно получить решения при помощи математических преобразований. Последний считается менее точным способом, поскольку корнями могут быть иррациональные числа, а не действительные.
Упрощение выражений
Бывают случаи, когда следует решить уравнение, упростив его. Например, чтобы решить равенство (2z 2 — 5z + 7) + (z + 5)(z + 3) = 0, нужно раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые. Этот способ называется методом математических преобразований.
В некоторых случаях следует возвести в квадрат, а затем привести подобные слагаемые. После этого необходимо опять воспользоваться формулами, сгруппировав элементы.
Этот шаг позволяет оптимизировать процесс вычислений. Например, нет необходимости подставлять численные значения в выражение z 2 + 4z + 16 + z 2 — 16. Его можно просто упростить: z 2 + 8z + 16 + z 2 — 16 = (z + 4)^2 + (z — 4)(z + 4) = (z + 4)(z + 4 + z — 4) = 2z (z + 4).
Пример решения
Необходимо решить квадратное уравнение z^2 + 20z + 50 = 6z + 5 несколькими способами, используя следующие методы: нахождение дискриминанта, формул разложения, теоремы Виета и построить график. Вычисление корней первым методом (через дискриминант) выглядит таким образом:
Два корня подходят, поскольку равенство 0 = 0 соблюдается. Специалисты рекомендуют опускать проверку, поскольку задача решается несколькими способами.
Третий метод заключается в использовании формул разложения. Их разрешается применять несколько раз и в любом порядке. Алгоритм решения выглядит таким образом:
Полный квадрат суммы
Полный квадрат суммы в алгебре может встретиться в ходе решения примеров из самых разных тем. Вот почему важно выработать умение увидеть полный квадрат и свернуть его по формуле.
Как другие формулы сокращенного умножения, квадрат суммы является тождеством, то есть формула может быть использована как для перехода от левой части к правой, так и от правой к левой.
Выражение, стоящее в правой части этого тождества, называется полным квадратом суммы (о неполном квадрате мы будем говорить позже).
Полный квадрат суммы равен сумме трех слагаемых, два из которых — квадраты некоторых выражений, а третье — их удвоенное произведение. Он сворачивается в квадрат суммы этих выражений.
На практике, как правило, прежде чем воспользоваться формулой полного квадрата суммы, выражение требуется преобразовать.
В ходе первых шагов работы с формулой полного квадрата может быть полезной следующая схема:
Например, для того, чтобы свернуть по формуле выражение
сначала его следует представить как сумму квадратов двух выражений и удвоенного произведения этих выражений:
С помощью схемы это записывается так:
Следует учесть, что слагаемые в формуле полного квадрата суммы могут стоять в произвольном порядке.
Как определить полный квадрат суммы?
1) Полный квадрат суммы состоит ровно из трех положительных слагаемых.
2) Два слагаемых являются квадратами некоторых выражений.
3) Третье слагаемое равно удвоенному произведению этих выражений.
Здесь квадраты — первое и второе слагаемые:
Проверяем, является ли третье слагаемое удвоенным произведением первого и второго выражений:
Да,является. Значит, это выражение — полный квадрат суммы, и его можно свернуть по формуле:
Здесь все три слагаемые со знаком «минус», чего в формуле полного квадрата суммы быть не может. А что, если попробовать вынести знак «-» за скобки?
(не забываем все знаки в скобках изменить на противоположные).
В скобках получили сумму квадратов двух выражений и их удвоенного произведения, то есть полный квадрат суммы двух выражений:
Переход от полного квадрата суммы к квадрату суммы — один из способов разложения многочлена на множители. Вынесение общего множителя за скобки — другой. В 5-м примере были применены оба способа одновременно.
Еще один пример на комбинацию двух способов:
Выражение в скобках — полный квадрат суммы, так как состоит из суммы квадратов двух выражений и их удвоенного произведения