что такое покрытый опцион пут покрытый опцион колл

Как устроены опционы и что они из себя представляют

Что из себя представляют опционы

Опцион — это договор, по которому покупатель опциона получает право купить/продать какой-либо актив (товар, ценная бумага, валюта и др.) в определенный момент времени по заранее обусловленной цене.

Обязанность по исполнению опциона ложится на его продавца, который может выступать как покупателем (put option), так и продавцом (call option) базового актива.

По времени исполнения выделяются следующие типы инструмента:

— европейский — может быть исполнен только в последний день срока;
— американский — реализуется в любое время до окончания контракта;
— квазиамериканский, который погашается владельцем в определенные временные промежутки (договор предусматривает один или более отрезков).

Различие опционов пут (put) и колл (call)

Опцион колл дает его покупателю право на покупку базового актива по фиксированной цене в определенное время. Соответственно, опцион пут дает право на продажу актива по заданной цене в заданное время.

Приобретая опцион типа колл, покупатель рассчитывает на рост цены базового актива в будущем. В этом случае он сможет воспользоваться своим правом на «покупку» (например, золота) по указанной в контракте цене (т.е. ниже рынка) по истечению опциона. В случае американского опциона купить базовый актив можно любое время до окончания обращения.

Обратная схема с опционами типа пут: покупатель ожидает падения цены ниже контрактной для «реализации» по ней базового актива (продавцу дериватива) в будущем.

Поскольку исполнение опциона производится (как правило) путем денежных расчетов, его покупатель просто получает прибыль от разницы между рыночной и договорной ценой. На срочном российском рынке опцион колл аналогичен длинной позиции по базовому активу, а опцион пут — короткой.

Для чего нужны опционы

Приобретая опцион, покупатель платит продавцу премию — денежное вознаграждение за право покупки (продажи) базового актива по опционному договору. Она закладывает в свою величину риск неблагоприятного изменения цены базового актива.

Как правило, опцион используется покупателями для хеджирования (сокращения) рисков или получения спекулятивной прибыли. Продавцы этого финансового инструмента преследуют одну цель — заработать на его реализации. Для этого они устанавливают (или рассчитывают по определенной формуле) справедливую премию по опциону.

Отличия опциона от прямой покупки (продажи) актива:

— ограниченные риски (не более размера цены опциона);
— установленные сроки взаиморасчетов;
— отсутствие проскальзывания (возможный убыток не зависит от волатильности на рынке);
— более низкие издержки проведения операций на срочном рынке.

В зависимости от базового актива выделяется несколько видов опциона:

— товарный;
— фондовый (акции);
— валютный;
— на индекс;
— на процентную ставку;
— на фьючерсный контракт.

Отдельно выделим опционы на наличные товары, базовым активом по которым может выступать любой физический товар. Соответственно, исполнение такого дериватива подразумевает фактическую поставку товара, валюты, недвижимости и т.д.

Базовым активом товарного опциона является непосредственно сам товар: нефть, пшеница и т.д.

Рассмотрим принцип действия дериватива на примере с нефтегазовой компанией, которая задается целью сократить риски потенциального падения цены нефти (что повлечет частичную потерю прибыли). Компания может приобрести опцион пут, по которому в течение определенного срока будет иметь право продать товар по цене, указанной в договоре. Таким образом, она страхуется от падения цены ниже заданного уровня. В случае же благоприятного рыночного фона (рост цены) у компании не будет необходимости пользоваться опционным правом.

Фактической поставки товара по товарному опциону (в отличии от опциона на наличный товар) не производится. В случае падения цены нефти ниже значения в контракте продавец опциона выплачивает покупателю разницу между ценой договора и рыночной ценой, умноженную на заданное количество нефти.

Опционы на валюту, индексы и фьючерсные контракты аналогичны по своей сути товарным опционам.

Опцион на процентную ставку фиксирует максимально допустимый размер процента по ссуде с плавающей ставкой (cap option), либо позволяет установить нижний лимит по вкладу (floor option). Премия, которую выплачивает покупатель floor или cap продавцу, закладывает в себя риски потенциального изменения ставок.

Опцион на фьючерс устроен так же, как и другие виды этого дериватива. Базовый актив — фьючерсный контракт поставляется за несколько дней до экспирации (истечение срока обращения) опциона. Иногда даты реализации опциона и соответствующего фьючерса совпадают. Тогда обладатель опционного контракта при его экспирации получает фьючерсный актив (акцию, товар и др.).

Опционы на российском срочном рынке

На российском срочном рынке можно приобрести опционы только американского типа на фьючерсные контракты, базовыми активами которых могут быть: индекс РТС, доллар США, золото, серебро, нефть и отдельные акции российских эмитентов.

Автоматическое исполнение опционов в день их истечения согласно правилам исполнения опционов на сайте МосБиржи предусмотрено в следующих случаях:

— страйк (цена базового актива) «колла» (опцион колл) строго ниже расчетной цены фьючерса* (базового актива);
— страйк «пута» строго выше расчетной цены фьючерса.

* Определяется в день истечения опциона перед вечерним клирингом (для квартальных опционов Si и Eu — перед дневным клирингом). В общем случае опцион исполняется во время вечерней сессии, при этом время клиринга на срочном рынке увеличивается на 5 минут.

В указанных двух случаях контракт характеризуется как опцион «в деньгах» (ITM — in the money) — это благоприятный для покупателя опциона результат. При возникновении обратной ситуации, когда цена базового актива находится «не на стороне» покупателя, контракт именуется опционом «вне денег» (OTM — out of the money).

Как купить опционы в QUIK

Для начала необходимо включить отображение опционов в меню. Для этого нужно выполнить следующие действия: нажать на кнопку «Создать окно», далее «Настроить меню», после чего слева выбрать строку «Доска опционов» в разделе «Фьючерсы и опционы». После применения изменений «Доска опционов» станет доступна при нажатии кнопки «Создать окно».

Рассмотрим алгоритм действий для покупки опциона на примере фьючерса на валютную пару USD/RUB (доллар США — рубль) Si-3.19. Для начала выберем дату истечения опциона. Это можно сделать при настройке «Доски опционов» или в верхней части открывшегося окна «Доски опционов».

После выбора даты в окне «Доска опционов» (слева сверху) появляется таблица с опционами на фьючерс Si-3.19 с экспирацией в выбранную дату, например 24.01.2019. Они отсортированы по возрастанию страйка (цене исполнения). Выбрав опцион с нужным страйком, мы можем открыть стакан цен, график цены и др. нажатием на соответствующую строчку правой кнопкой мыши.

Отдельно остановимся на теоретической цене опциона, которая отображена в «Доске опционов». Показатель автоматически рассчитывается биржей по определенной методике. Участники торгов могут сравнить его с рыночной ценой для определения ее «справедливости», то есть насколько она завышена или занижена по отношению к теоретическому значению.

Реальная цена опциона — фактическая премия по контракту, которая определяется спросом и предложением на рынке. В нашем примере реальная цена опциона колл со страйком 67 000 руб. находится в диапазоне от 281 руб. (максимальная цена покупателей) до 290 руб. (минимальная цена продавцов). При этом теоретическая цена равна в моменте 286 руб.

Если мы купим данный опцион колл по цене 290 руб., то для получения прибыли нам нужно, чтобы цена фьючерса Si-3.19 на момент исполнения (24 января) была выше 67 290 руб. — сумма страйка (67 000 руб.) и цены опциона.

БКС Брокер

Последние новости

Рекомендованные новости

Итоги торгов. Российский рынок лихорадит

Рынок США. Индексы отступают, ритейлеры дорожают

Цены ОФЗ обновляют минимумы после заявлений ЦБ

Уоррен Баффет и Майкл Бьюрри: на рынке нечего купить

Большие компании с потенциалом роста от 25% до 50%

Macy’s отчиталась вчетверо лучше прогнозов. Акции улетели в небеса

Про Rivian, Lucid и электромобили — помните уроки 1999

Адрес для вопросов и предложений по сайту: bcs-express@bcs.ru

* Материалы, представленные в данном разделе, не являются индивидуальными инвестиционными рекомендациями. Финансовые инструменты либо операции, упомянутые в данном разделе, могут не подходить Вам, не соответствовать Вашему инвестиционному профилю, финансовому положению, опыту инвестиций, знаниям, инвестиционным целям, отношению к риску и доходности. Определение соответствия финансового инструмента либо операции инвестиционным целям, инвестиционному горизонту и толерантности к риску является задачей инвестора. ООО «Компания БКС» не несет ответственности за возможные убытки инвестора в случае совершения операций, либо инвестирования в финансовые инструменты, упомянутые в данном разделе.

Информация не может рассматриваться как публичная оферта, предложение или приглашение приобрести, или продать какие-либо ценные бумаги, иные финансовые инструменты, совершить с ними сделки. Информация не может рассматриваться в качестве гарантий или обещаний в будущем доходности вложений, уровня риска, размера издержек, безубыточности инвестиций. Результат инвестирования в прошлом не определяет дохода в будущем. Не является рекламой ценных бумаг. Перед принятием инвестиционного решения Инвестору необходимо самостоятельно оценить экономические риски и выгоды, налоговые, юридические, бухгалтерские последствия заключения сделки, свою готовность и возможность принять такие риски. Клиент также несет расходы на оплату брокерских и депозитарных услуг, подачи поручений по телефону, иные расходы, подлежащие оплате клиентом. Полный список тарифов ООО «Компания БКС» приведен в приложении № 11 к Регламенту оказания услуг на рынке ценных бумаг ООО «Компания БКС». Перед совершением сделок вам также необходимо ознакомиться с: уведомлением о рисках, связанных с осуществлением операций на рынке ценных бумаг; информацией о рисках клиента, связанных с совершением сделок с неполным покрытием, возникновением непокрытых позиций, временно непокрытых позиций; заявлением, раскрывающим риски, связанные с проведением операций на рынке фьючерсных контрактов, форвардных контрактов и опционов; декларацией о рисках, связанных с приобретением иностранных ценных бумаг.

Приведенная информация и мнения составлены на основе публичных источников, которые признаны надежными, однако за достоверность предоставленной информации ООО «Компания БКС» ответственности не несёт. Приведенная информация и мнения формируются различными экспертами, в том числе независимыми, и мнение по одной и той же ситуации может кардинально различаться даже среди экспертов БКС. Принимая во внимание вышесказанное, не следует полагаться исключительно на представленные материалы в ущерб проведению независимого анализа. ООО «Компания БКС» и её аффилированные лица и сотрудники не несут ответственности за использование данной информации, за прямой или косвенный ущерб, наступивший вследствие использования данной информации, а также за ее достоверность.

Источник

Новичкам. Классификация базовых опционных стратегий. Изучаем «collar».

Продолжаем грызть тему опционов по рекомендуемой ранее литературе (см. здесь).

Переработка данного топика позволит вам очутиться на 86-ой странице книги, а это значит, что всего лишь на 86/400=22% мы с вами являемся сегодня опционными Гурами, остальные 78% в нашей голове — пока заполняет пустота.

Не буду отклоняться от книги, хотя у меня есть свое мнение на этот счет, но буду придерживаться ГОСТа, итак, какие же стратегии Саймон Вайн относит к базовым:

1. Покрытые (covered) опционы колл (пут)
Здесь всё очень просто — эти стратегии наиболее распространены в мире опционщиков (я и сам их постоянно торгую, когда держу шорты по фьючам и продаю путы). Они предполагают продажу опционов колл против длинной позиции по акциям/фьючерсам или продажу опционов пут против короткой позиции по акциям/фьючерсам.

Сразу хочу вспомнить, на смартлабе был спор с каким-то местным «Гурой», если не ошибаюсь Дмитрий Новиков утверждал, что когда у меня шорт по фьючам и я продаю путы — то это не покрытая продажа опционов, а хрен знает что. Так вот, Дмитрий, читай книги и изучай теорию, это самая что ни на есть покрытая продажа опционов по Саймону.

2. Стрэдл (straddle)
Стратегия, когда мы покупаем опцион колл и опцион пут с одинаковым страйком и одной датой исполнения. Опционщик купит straddle, если ожидает резкое колебание цены, которое выйдет за пределы точек окупаемости. Такие стратегии применяются чаще всего перед ожиданием значимых событий каких-нибудь, например, голосование на выходных по Брекзит. Тот, кто покупал straddle перед выходными по GBP/USD, мог за 3 дня сказочно обогатиться, лёжа на диване. Его заработок заключался лишь в том, что он знал что такое straddle и в какой момент его нужно запускать в рынок.

3. Стрэнгл (strangle)
Эта стратегия состоит из опциона колл и пут с разными ценами исполнения (страйком) и одной датой исполнения. Там все тоже самое, как и у straddle, но в чем тогда разница? Чем дальше страйки располагаются от центрального страйка, тем он дешевле. Этим активно и пользуются. Другими словами, strangle — это стратегия для нищебродов, у которых не хватает денег на покупку straddle. По стрэнглу можно заработать гораздо больше, если цена сильно изменится, в отличие от стрэддла. Но и также можно потерять, если цена останется на месте. Поэтому есть свои плюсы, есть свои минусы. Лично я не помню вообще когда использовал стратегию strangle. Вот straddle — да, иногда использую. Мне straddle больше нравится, чем strangle.

4. Бычий колл-спрэд.
На самом деле Саймон спрэды объединяет в одну группу, но я их распределю в четыре разные группы опционных стратегий и объясню какая между ними разница — новички постоянно путаются, да я и сам тоже раньше путался. Бычий колл-спрэд — это покупка опциона колл и одновременная продажа опциона колл с более высокой ценой исполнения. Очень легко запомнить: если видите слово «бычий», значит опционщик ожидает, что рынок пойдет вверх, а если в названии стратегии встречаете слово «медвежий», значит опционщик играет направление вниз. Лично я очень редко использую бычий колл-спрэд. Эта стратегия используется тогда, когда мы ожидаем, что рынок будет расти, но расти очень медленно.

5. Медвежий колл-спрэд.
Это одна из моих самых любимых опционных стратегий, когда я продаю близкий страйк и покупаю дальний страйк. Если рынок останется на месте или сползет вниз, тогда тэтта упадет в карман, а если рынок пойдет вверх, то часть тэтты перекроет движение БА и если все это оставить до экспирации, тогда портфель увеличится еще на несколько позиций шортов по фьючам, что, бывает, не так уж и плохо, если ты хеджер.

6. Медвежий пут-спрэд.
Если мы видим, что рынки будут падать, но падать медленно — тогда покупаем медвежий пут-спрэд. Это покупка близкого страйка и продажа дальнего страйка с одной датой исполнения. Лично я на практике этим не пользуюсь никогда, как по мне — лучше фьюч зашортить, чем открывать медвежий пут-спрэд и отдавать за него тэтту.

7. Бычий пут-спрэд.
Стратегия используется, когда мы ожидаем, что рынок пойдет вверх от текущих своих значений. Продаем близкий пут и покупаем дальний пут с одной датой исполнения. Тэтта падает в карман со знаком +, это хорошо.

Стратегии 4,5,6,7 называются еще «вертикальными спрэдами». Чуть дальше пойдем, увидим, что есть также «горизонтальные спрэды».

Еще одна интересная особенность, на которой нужно отдельно остановиться: Саймон говорит, что в профессиональной среде опционщиков нет такого понятия «продал медвежий колл-спрэд» или «продал бычий пут-спрэд». Бычий колл-спрэд можно только лишь покупать, а если мы его продаем, тогда он автоматически превращается в медвежий колл-спрэд и мы скажем, что «купили медвежий колл-спрэд».

То же самое и с пут-спрэдами. Медвежий пут-спрэд мы покупаем, когда ожидаем движение рынка вниз, а бычий пут-спрэд покупаем, когда ожидаем движение рынка вверх.

Другими словами: все вертикальные спрэды мы лишь покупаем, но в какую сторону этот спрэд направлен (вверх или вниз), нам подскажет определение бычий он или медвежий в заголовке. Легко запомнить.

8. Диапазонный форвард (другие названия — risk reversal, combo, range forward, tunnel, collar)
Данная стратегия известна чаще всего в банковской среде под названием «коллар» и для меня сейчас было открытие, что ее называют «туннелем» или «диапазонным форвардом». Диапазонный форвард — бррр, вообще не цепляет, а почему не диапазонный фьючерс? Какое-то левое название, лучше запоминать как «коллар», все тебя поймут. Итак, что же это за стратегия такая диковинная? Стратегия очень широко известна и используется в среде хеджеров, стоимость хеджирования практически можно свести в ноль. Заключается она в покупке пут и продаже опциона колл с разными страйками, но одной датой исполнения. Таким образом, если у нас куплен БА, то продав опцион колл мы как бы кроем наш лонг при дальнейшем движении вверх и открываем хедж вниз. То есть хедж будет бесплатным, если мы на вырученные от продажи коллов купим ровно столько же путов. Если цена БА идет вниз, мы действительно захеджированы, но если цена БА пойдет вверх — тогда мы фиксируем наш лонг по БА в точке проданного страйка колл. Это лучшая опционная стратегия для хеджеров, которую можно было только придумать!

Что пишет сам Саймон в своей книге по поводу данной стратегии:
——
Стратегия часто используется корпорациями и инвесторами для хеджирования. Предположим, через 1 месяц вы должны получить 10 млн.EUR из Германии и в тот момент вам надо будет конвертировать их в доллары. Таким образом, у вас возникает валютный риск по EUR/USD и вам надо застраховаться от падения EUR против USD. Вы купите опцион EUR пут/USD колл с номиналом 10 млн.EUR, сроком на 1 месяц, чтобы захеджировать количество ожидаемых долларов. Вы можете уменьшить стоимость хеджирования за счет продажи опциона EUR колл/USD пут. Таким образом, у вас получается диапазонный форвард.

Вы также можете делать диапазонные форварды — в спекулятивных целях. Это широко распространенная «направленная» стратегия. Она стоит очень недорого, поскольку продажа опционов (в направлении, которое вам не нравится) частично финансирует покупку опционов (в направлении, которое вам нравится и в котором вы хотите иметь позицию).
——

Сейчас мы «прокачались» в опционной теме всего лишь на 22%, мы владеем простейшими опционными стратегиями, сможем поддержать тему разговора на любой опционной конференции, отличаем бычий колл-спрэд от медвежьего (хотя большинство путаются), но в следующий раз изучим более сложные опционные стратегии, как то: календарный спрэд, диагональный спрэд, пропорциональный спрэд, бэк-спрэд, узнаем что такое «железная бабочка» и стратегия «альбатрос».

Если такие вот топики вам по нраву, ставьте лайки, задавайте вопросы, пишите каменты, будем вместе вариться в одном опционном котле.

Весь цикл моих статей про опционные стратегии можно прочесть — здесь.

Источник

Опцион пут и колл простыми словами

Что такое пут-опцион

При возникновении неблагоприятной ситуации (прогнозов о предстоящем удешевлении ценных бумаг) трейдер имеет право продать контракт ранее оговоренной даты. Решение о продаже финансового инструмента принимается исключительно его владельцем и может зависеть от текущих настроений на бирже. При этом покупатель обязан приобрести опцион, даже если ему это в данный момент невыгодно.

Что такое колл-опцион

В интересах покупателя подорожание актива до окончания периода действия контракта. Если ситуация складывается неблагоприятным образом, трейдер вправе изменить свое решение и отказаться от приобретения базового инвестиционного инструмента. При этом продавец не имеет права выбора. Он обязан продать актив по первому запросу покупателя.

Внимание! Ущемление прав продавца при совершении сделки компенсируется безотзывной премией. Определенная сумма выплачивается владельцу ценных бумаг еще в процессе заключения договора и не подлежит возврату независимо от того, будет ли соглашение исполнено в оговоренный срок или вторая сторона сделки передумает покупать актив.

Отличие пут- от колл-опциона

Основные различия контрактов пут и колл:

Внимание! Несмотря на множество существенных различий между данными инвестиционными инструментами, убыток от сделок с обоими видами контрактов ограничен размером уплаченной премии.

Где используются эти опционы

Часто опционы используются в стратегиях спекулятивной торговли. Но в связи с тем, что данный инструмент отличается высокой сложностью и сопряжен с неравномерным распределением рисков между продавцом и покупателем, многие трейдеры отдают предпочтение фьючерсам.

Если инвестор желает застраховать свои вложения от роста цены на базовые активы, он занимает длинную позицию (заключает опционный договор колл). Аналогичным образом работает пут-опцион для хеджирования рисков понижения стоимости финансовых инструментов.

Внимание! Ликвидность опционных договоров на российском рынке низкая, особенно по сравнению с показателями американских бирж.

Подпишитесь на нашу рассылку, и каждое утро в вашем почтовом ящике будет актуальная информация по всем рынкам.

Источник

Опционы: пут-колл парити, броуновское движение. Ликбез для гика, ч. 7

Это вторая часть рассказа про опционы, где мы разберемся с пут-колл парити, условием безарбитражности рынка, познакомимся с идеями хеджирования и репликации и поговорим про то, что такое броуновское движение и как оно связано с моделированием поведения курса финансового актива во времени.

Будет немного математики, чтобы получше разобраться в деталях.

Данный пост — расшифровка моих видеолекций «Пут-колл парити и условие отсутствия арбитража», «Броуновское движение», созданных в рамках курса Finmath for Fintech.

Пут-колл парити. Пример использования условия отсутствия арбитража для анализа цены портфеля инструментов

Итак, из предыдущей части мы знаем, как выглядят выплаты для put и call опциона на expiry (момент времени, когда правом, предоставляемым опционом, можно воспользоваться), но мы также хотели бы знать, как рассчитывать опцион и на другие промежутки времени. Для этого нам необходимо построить математическую модель, используя более сложный математический аппарат. Однако перед тем, как мы это сделаем, давайте рассмотрим соотношение пут-колл парити, которое не требует сложных вычислений и в тоже время очень полезно на практике.

Напомним, что европейский опцион — это контракт, по которому покупатель контракта получает право, но не обязательство совершить покупку или продажу какого-то базового актива по заранее оговоренной цене в определенный договором момент в будущем.

Базовым активом может быть акция или курс валют. Рыночный курс на базовый актив называется спот, и в формулах значение спота на момент времени обозначается как .

Опцион, дающий право на покупку базового актива, называется колл-опционом (call option). Право на продажу — это пут-опцион (put option). Цена, по которой опцион дает право заключить сделку в будущем, называется страйк (strike), обозначается .

Заранее оговоренное в контракте время, в которое опционом можно будет воспользоваться, это время экспирации опциона (expiry) — . Значение курса базового актива на момент expiry обозначается .

Построим графики выплат на expiry. У нас есть некий базовый актив — его цена на expiry: , а также выплата , которую мы получаем. Графики выплат будут в этих координатах . Зададим — уровень страйк на оси .

Первый опцион, который мы нарисуем, — колл-опцион. Мы купили колл-опцион.

Это также называется «long» call option, позиция со знаком «плюс» по этому опциону. Но мы можем опционы еще и продавать, это называется short .

Второй опцион, который мы нарисуем, будет short put.

На графике мы видим, что, когда мы сложили две выплаты, мы получили простую линейную функцию, которая определяется как (). Тот же самый результат можно получить аналитически. У нас есть позиция колл-опциона со знаком «плюс» и пут-опцион со знаком «минус»:

Воспользуемся аналитическими формулами, которые мы уже знаем:

.

Чтобы раскрыть скобки, мы должны рассмотреть два отдельных случая, когда K$» data-tex=»inline»/> и .

Имеем следующую систему:

K \\ 0-K+S_T, S_T≤K \end $» data-tex=»display»/>

В обоих случаях получается одна и та же простая формула: .

Таким образом, выплаты в любом случае описываются одной и той же формулой, независимо от того, какая цена базового актива реализовалась на момент expiry. Опять-таки напоминаю, что те выплаты, которые мы нарисовали, — это выплаты (значит, и стоимость) опционов на момент expiry. В случае цен опционов на какой-то другой момент времени, они описываются какими-то другими, более сложными функциями. Я их пока нарисую условно.

Мы знаем, что для этой комбинации на момент expiry выплата определяется формулой , для любого значения . Если мы найдем какую-то другую комбинацию инструментов, которая будет давать на момент expiry такую же выплату, то можно утверждать, что стоимость такой комбинации инструментов и комбинации должна быть одинаковой.

Если бы это было не так, то можно сегодня купить более дешевую из этих комбинаций инструментов и продать более дорогую, получив тем самым прибыль. А так как эти две комбинации дают одинаковую выплату на expiry, и мы их взяли с обратными знаками, то суммарная выплата гарантированно будет равна нулю. Такая сделка, которая дает гарантированный доход без риска, просто за счет несбалансированности цен инструментов на рынке, называется арбитражем. Математические теории для расчета цен инструментов обычно включают в себя предположение о безарбитражности рынка. Это предположение достаточно хорошо соответствует действительности. Арбитражные возможности на рынке если и возникают, то живут очень недолго. Найти и воспользоваться ими непросто. Так что в норме это предположение работает хорошо.

Из условия безарбитражности рынка следует то, что комбинация будет в любой момент времени (а не только ) стоить столько же, сколько и любая комбинация инструментов, выплата по которой в момент времени будет равна . Такую комбинацию легко составить, купив базовый актив и взяв в долг денег в таком количестве, что на момент expiry нужно будет вернуть сумму, равную . При работе с финансовыми инструментами такой долг эквивалентен продаже бескупонной облигации (бонда), который дает выплату в момент времени . Подробнее про облигации и проценты можно прочитать в предыдущих постах из этой серии (Стоимость денег, типы процентов, дисконтирование и форвардные ставки. Ликбез для гика, ч. 1 и Облигации: купонные и бескупонные, расчет доходности. Ликбез для гика, ч. 2).

Итак, портфель из колл-опциона и портфель из пут-опциона равен комбинации long по базовому активу и short бонду, который бы давал выплату один на expiry с номиналом .

Это соотношение не зависит от модели, которую мы могли бы построить для курса базового актива. Не зависит даже от того, как мы считаем дисконтирование, и это следует из отсутствия арбитража на рынке. Мы составили один портфель, рассмотрели все возможные варианты, сколько он может стоить на expiry, выяснили, что во всех вариантах будущего он стоит ровно столько же. Поэтому если другой портфель имеет точно такую же выплату на expiry, то их цена должна совпадать.

Итак, мы получили соотношение для портфеля, составленного из колл- и пут-опционов. Мы составили портфель, рассмотрели, какая у него будет выплата на момент expiry, выяснили, что выплата описывается одним линейным уравнением. В отличие от функции выплаты для колл- и пут-опционов, в каждой из которых есть два участка, больше и меньше . Это позволяет составить портфель из более простых инструментов, который даст такую же выплату на expiry в любой ситуации. Цена этих двух портфелей будет равна в любой момент времени, а не только в момент expiry. Это гарантируется нам условием отсутствия арбитража на рынке. Если же на рынке есть арбитраж и это равенство не выполняется, то мы, соответственно, можем купить один из этих портфелей, продать другой и получить гарантированный выигрыш. Это соотношение не зависит от каких-то математических моделей, которые мы могли бы построить, например, для цены базового актива. Это соотношение обязано выполняться в любой модели.

Можно посмотреть на это соотношение еще и так. Мы составили портфель из нескольких активов, имеющих один и тот же риск. Формулу можно переписать, собрав активы, которые несут в себе риск, связанный с базовым активом, с одной стороны. То есть мы можем исключить весь риск, заложенный в этих инструментах, т.е. неопределенность, связанную с будущей ценой базового актива, точно узнав, сколько такой пакет стоит.

Такой способ избавления от риска называется хеджированием. Мы составляем портфель из нескольких инструментов, в которых заложен какой-то одинаковый риск, но подбираем их в таких соотношениях, что эти риски взаимно уравновешивает друг друга и мы от него избавляемся. Такая идея используется и в других, более сложных стратегиях хеджирования. Рассматриваемый случай очень простой, он позволяет работать только с определенной комбинацией опционов.

Если посмотреть на эту идею с другой стороны, то мы могли бы выразить какой-то один из этих инструментов через другие. Например, у нас на рынке есть что-то одно, пут-опцион, то мы автоматически получим и колл-опцион. В этом случае это будет репликация — мы реплицировали выплату одного продукта через другие. Хеджирование и репликация тесно связаны друг с другом, математически это очень похожие выкладки.

В данном случае у нас очень простая ситуация, и для того, чтобы полностью хеджировать риск или реплицировать выплату, нам достаточно один раз составить портфель, и потом мы уже ждем до момента expiry, выплата нам уже гарантирована. Это называется статическая репликация (статическое хеджирование). Это редкий случай, и обычно так не получается сделать. Для того чтобы добиться такого эффекта в более общем виде, нужно будет прибегать к динамическим стратегиям хеджирования. То есть мы составим один раз портфель, но потом нам постоянно надо будет что-то в него добавлять или что-то там изменять, чтобы выплата на момент expiry получилась именно такой, как мы захотим.

Вот такое интересное соотношение пут-колл парити. Несмотря на то что математика очень простая, на его примере можно увидеть несколько очень важных идей, которые применяются в более сложном случае — применение условия безарбитражности, репликация выплаты и хеджирование рисков. На этом мы с этим простым соотношением заканчиваем и можем перейти к построению более сложной модели.

Нам бы хотелось построить такую модель, которая бы давала не только соотношение между колл- и пут-опционами, но и цену опциона как функцию от наблюдаемых на рынке величин. Это потребует более сложной математической теории.

Что такое броуновское движение и кто такой Роберт Браун. Как моделировать броуновское движение на компьютере. Что такое геометрическое броуновское движение

То, что мы рассматривали до сих пор, позволяло нам обходиться очень простым математическим аппаратом, фактически школьной математикой. Чтобы двигаться дальше и построить более сложную математическую модель, нам этого будет недостаточно, и потребуются элементы «взрослой» математики. Поэтому общий подход к дальнейшему изложению будет выглядеть следующим образом: я дам наглядные примеры, из которых будет понятно, как работает математический аппарат в простом случае, а также дам формулировки и теоремы, которыми мы будем пользоваться. Доказывать эти теоремы я не буду. Те, кому интересна математическая часть, могут обратиться к соответствующим учебникам и видеокурсам.

Первое понятие, которое нам потребуется, — броуновское движение. Давайте вспомним, что этот термин означает в физике. Это будет своего рода наглядным примером того, как данный процесс будет устроен в нашей формальной математической модели.

Думаю, что у многих термин «броуновское движение» ассоциируется со школьной программой физики. Многие считают, что человек, который ввел это понятие в научный оборот, был физиком по фамилии Броун и, судя по фамилии, являлся англичанином. Интересно, что все эти предположения неверны. Во-первых, звали этого ученого Robert Brown, что по-русски следует читать как «Роберт Браун». Хотя это могло быть неочевидно для образованного человека XVIII–XIX веков, у которого первый иностранный язык был французский, а второй немецкий. Во-вторых, он не был англичанином — он был шотландцем, что, как мы понимаем, совсем не одно и то же. Ну а самое интересное, он не был физиком — он был ботаником. Когда он провел и описал свой знаменитый эксперимент, он занимался изучением частиц пыльцы под микроскопом. Препарат на предметном стекле был подготовлен в виде капли жидкости, в которой помещались частицы пыльцы для того, чтобы пыльца не улетала от каждого сквозняка и ее можно было спокойно рассматривать.

Внимание Брауна привлек тот факт, что то, что он видит в окуляре микроскопа, не является статической картинкой. Он наблюдал, условно говоря, круглую частицу, которая совершала хаотическое движение. Сегодня мы знаем, что это явление имеет простое объяснение. В растворе вокруг этой частицы есть много молекул, которые очень часто взаимодействуют с ней в случайном направлении, в результате чего частица совершает какое-то сложное движение.

Если мы изобразим ее движение, это будет некоторая случайная траектория.

Какое это имеет отношение к нашей предметной области? На самом деле аналогия прямая. Мы рассматриваем курс финансового актива во времени. На него, как и на ту частицу, в каждый момент времени действует очень много случайных факторов. Мы их не видим, как не видел в микроскоп отдельные молекулы Роберт Браун.

Суммарное воздействие этих случайных факторов приводит к изменению курса актива — так же, как и суммарное воздействие молекул приводит к смещению частицы пыльцы. Процессы эти происходят непрерывно во времени. И таким образом реализуется курс финансового актива. Зависимость курса от времени получается случайным образом, а потому такая траектория называется броуновским движением. В нашем случае это одномерное броуновское движение, так как случайные отклонения происходят лишь относительно одной оси.

Формальная математическая модель процесса, который мы будем использовать, связана с именем другого ученого — американского математика Норберта Винера. Она выглядит следующим образом. Мы рассматриваем функцию непрерывного времени. Поскольку непрерывно, то и функция непрерывная.

В нее заложена случайная составляющая, которая математически определяется следующим образом:

— независимы при условии, что приращения по времени не пересекаются.

Приращение функции от момента времени до момента времени распределено нормально с параметрами 0 и (длина временного промежутка).

В дальнейшем мы увидим, что очень важно уметь генерировать такие пути на компьютере — это необходимо для многих вычислительных методов. Как бы мы могли это сделать? Время, которое в теоретической математической модели непрерывно, мы разбиваем на компьютере на какие-то приращения, обычно с фиксированным шагом. Создаем некую начальную точку, из которой стартует наш процесс, с координатами . Далее для каждого последующего шага по времени генерируем случайную величину с таким распределением, сдвигаемся на шаг. Так делаем в каждой точке. Получилась ломаная линия.

Где-то приращение получилось со знаком «плюс», где-то со знаком «минус». В результате в каждой конкретной точке значение всего процесса определяется кумулятивной суммой всех этих случайных величин. Для того чтобы иметь возможность масштабировать среднее смещение за единицу времени, мы можем ввести также дополнительный параметр, обычно обозначаемый буквой (как и для нормального распределения). Мы можем рассматривать функцию , где — стандартное броуновское движение, а имеет дисперсию шире или уже, в зависимости от того, что нам нужно.

Имея такой процесс, мы бы хотели построить математическую модель, которая бы нам помогла рассчитать цену опционов. Построим уравнения по тому же принципу, как это делали с процентами для дисконтирования в непрерывном времени. Это будет некоторое дифференциальное уравнение.

Если бы мы решали задачу для начисления процентов на некоторую сумму в непрерывном времени, то для небольшого шага по времени у нас было бы верно соотношение или

,

где — это риск-нейтральная процентная ставка. И, перейдя к пределу , получим дифференциальное уравнение

.

Из него получаем уже знакомую нам формулу для дисконтирования в непрерывном времени , где — начальное значение.

Хотелось бы адаптировать эту логику рассуждений для математической модели актива, цена которого в будущем зависит от случайных факторов. Относительное изменение цены нашего актива характеризуется некоторым параметром, аналогом риск-нейтральной ставки (в этом случае параметр характеризует наш базовый актив, он не является риск-нейтральной ставкой). Прибавим к этому выражению еще вероятностную составляющую, которая бы описывалась броуновским движением.

У нас практически есть результат. Перейдем к пределу и получаем уравнение, очень похожее на то, которое мы легко решили для дисконтирования в непрерывном времени.

Но есть техническая проблема. Дело в том, броуновское движение (винеровский процесс), как мы его определили, является непрерывной функцией времени, но она не является дифференцируемой в смысле классического матанализа. Это можно формально доказать (доказательство опустим).

Для того чтобы построить такую модель математически строго, необходимо определить, какой смысл мы вкладываем в выражение . Для этого необходимо использовать стохастический дифференциал, название которого связано с именем еще одного математика, — дифференциал Ито. Он подчиняется другим правилам, не тем, к которым мы привыкли в обычном матанализе.

Я напишу для справки те результаты, которые нам понадобятся относительно этого математического аппарата. Дифференциал Ито подчиняется таким правилам.

,

то для :

.

Это правило отличается от того, как мы дифференцируем функцию двух переменных в обычном матанализе. Если у нас есть две независимые переменные, в обычном матанализе мы берем частные производные и останавливаемся на первых двух членах разложения. Третий компонент разложения дифференциала функции в формуле Ито появляется именно благодаря тому, что мы работаем не с обычными функциями, а со случайным, стохастическим процессом. Этот результат мы берем готовым, не доказывая.

Нужно еще кое-что сказать о в последнем уравнении. По условию , если мы возведем это в квадрат, то возникнут слагаемые с множителями , , . Для применения формулы Ито нужно принять:

; ; .

Все эти правила становятся естественными, если разобраться с тем, что такое интеграл Ито, но для наших целей сейчас достаточно знать, как правильно применять формулу Ито.

И теперь мы можем преодолеть нашу техническую сложность, так как мы знаем, как оперировать с объектом .

В качестве переменной у нас выступает курс базового актива , мы можем его выразить:

.

Далее мы знаем, как записать дифференциал функции, где есть и . Давайте посмотрим, чему равен дифференциал от функции .

Теперь, собрав слагаемые, мы получим выражение для логарифма .

Теперь мы знаем, чему равен (заметим, он имеет нормальное распределение). Нас интересует непосредственно выражение для .

Записанное выше выражение описывает геометрическое броуновское движение. Оно представляет собой некоторый экспоненциальный рост с параметром , который изначально начинается в точке , и вокруг этой экспоненты накладывается шум согласно выражению . Это уже можно считать на компьютере, мы можем генерировать пути броуновского движения. Мы получим некоторые возможные реализации нашего пути для курса базового актива. В этом уравнении есть два параметра: — дисперсия и — дрифт. Они соответствуют дисперсии нормального распределения и смещения нормального распределения для . Как я уже сказал, теперь можно выполнять моделирование на компьютере, однако есть еще один компонент теории, который нам необходимо ввести, чтобы при помощи этого процесса мы могли просчитать цену опционов. Дальше мы поговорим про риск-нейтральную меру.

Источник