что такое оператор в математике
Оператор (математика)
Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что отображение.
Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).
Наиболее часто встречающиеся операторы:
Содержание
Основная терминология
Пусть оператор 
действует из множества в множество .
Простые примеры
Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции x(t) согласно правилу A в другую функцию y(t) выглядит: y(t) = A<x(t)> или, проще, y = Ax. Примерами подобных преобразований могут быть, например, домножение на число: y(t) = cx(t), дифференцирование: y(t) = и т. д. Получаем операторы дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.
Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции x(t) в другую функцию y того же аргумента t. Такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию одного аргумента в функцию другого аргумента, например:
или Преобразование Фурье из временной в частотную область:
Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции y, вообще говоря, в каждой точке t зависит не только от x(t), а от значений функции x во всех точках t. Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке меняется при изменении исходной функции в любой точке .
Еще в качестве примера оператора можно привести операцию умножения вектора длины на матрицу размером . Этот оператор отображает -мерное пространство векторов в -мерное.
Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свертки функции с весом есть много общих свойств.
Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным.
Линейные операторы
Оператор L (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:
1) может применяться почленно к сумме аргументов:
;
2) скаляр (постоянную величину) с можно выносить за знак оператора:
;
Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L(0) = 0.
Примеры линейных однородных операторов:
Оператор L называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:
где L0 — линейный однородный оператор. Примеры линейных неоднородных операторов:
В случае преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) линейные операторы характеризуются тем, что для них yk являются линейными функциями от xk:
yk = .
Коэффициенты Tkl образуют матрицу. Если <yk> рассматривают как векторы, то оператор называется тензором. В этом случае пишут .
В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных K(t, ω), и называется ядром линейного интегрального преобразования:
φ(t) = = Kf(ω).
)конечным рядом функций:
φ(t) = .
Единичный оператор
Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:
то есть как матричный оператор определяется равенством
и как интегральный оператор — равенством
.
Единичное ядро E(x,t) записывается в виде δ(x−t) = δ(t−x) (дельта-функция). δ(x−t) = 0 всюду, кроме x = t, где функция становится бесконечной и притом такой, что
.
Запись
Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор Q над функцией f обычно для краткости записывается Qf вместо Q(f); скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением Q(fg). Q, действующий на f(x), также записывают (Qf)(x). Для обозначения некоторых операторов вводятся спецзнаки, например, унарные n! (факториал ‘!’, справа от операнда), -n (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции . Возведение в степень n x можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.
См. также
Литература
ca:Operador matemàtic he:אופרטור nl:Operator sv:Operator
Оператор (математика)
Некоторые виды операторов:
* операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свёртка с ядром, преобразование Фурье) в функциональном анализе;
* отображения (в особенности линейные) между векторными пространствами (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу) в линейной алгебре;
* преобразование последовательностей (свёртки дискретных сигналов, медианный фильтр) в дискретной математике.
Связанные понятия
Связанные понятия (продолжение)
О дискретном эквиваленте преобразования Лапласа см. Z-преобразование.В математике дискретный оператор Лапласа — аналог непрерывного оператора Лапласа, определяемого как отношения на графе или дискретной сетке. В случае конечномерного графа (имеющего конечное число вершин и рёбер) дискретный оператор Лапласа имеет более общее название: матрица Лапласа.
В классической механике ско́бки Пуассо́на (также возможно ско́бка Пуассо́на и скобки Ли) — это оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона.
Сглаживающие операторы — это гладкие функции со специальными свойствами, используемые в теории распределений для построения последовательности гладких функций, приближающей негладкую (обобщённую) функцию с помощью свёртки. Интуитивно, имея функцию с особенностями и осуществляя её свёртку со сглаживающей функцией, получаем «сглаженную функцию», в которой особенности исходной функции сглажены, хотя функция остаётся близкой к исходной функции. Операторы известны также как сглаживающие операторы Фридрихса.
В вычислительной математике одной из наиболее важных задач является создание эффективных и устойчивых алгоритмов нахождения собственных значений матрицы. Эти алгоритмы вычисления собственных значений могут также находить собственные векторы.
В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.
Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как.
В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, поэтому оно появляется в большинстве её приложений.
Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.
В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности.
Кэлеровы дифференциалы представляют собой адаптацию дифференциальных форм для произвольных коммутативных колец или схем. Это понятие было введено Эрихом Кэлером в 1930-х.
В квантовой механике импульс, как и все другие наблюдаемые физические величины, определяется как оператор, который действует на волновую функцию.
В математике, в теории приближений оператор наилучшего приближения есть оператор, отображающий элемент пространства в ближайший к нему из некоторого множества. Например, можно рассматривать оператор, который любой непрерывной на отрезке функции ставит в соответствие ближайший к ней полином определённой степени. Другое название операторов наилучшего приближения — проектор.
СОДЕРЖАНИЕ
Линейные операторы
Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и детерминанта нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов в целом) в бесконечномерном случае используются очень разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (так называемый, потому что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).
Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектров, которая элегантно обобщает теорию собственных подпространств.
Ограниченные операторы
Ограниченные операторы образуют векторное пространство. В этом векторном пространстве мы можем ввести норму, совместимую с нормами U и V :
В случае операторов из U в себя можно показать, что
Примеры
Геометрия
Теория вероятности
Исчисление
Ряды Фурье и преобразование Фурье
При работе с общей функцией R → C преобразование принимает интегральный вид:
Преобразование Лапласа
Для f = f ( s ) он определяется следующим образом:
Фундаментальные операторы в скалярных и векторных полях
Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :
Как расширение операторов векторного исчисления в физическом, инженерном и тензорном пространствах, операторы grad, div и curl также часто связаны с тензорным исчислением, а также с векторным исчислением.
В математика, оператор обычно отображение или же функция действует на элементы Космос для создания элементов другого пространства (возможно, того же самого пространства, иногда требуется, чтобы оно было таким же пространством). Нет общего определения оператор, но этот термин часто используется вместо функция когда домен представляет собой набор функций или других структурированных объектов. Кроме того, область применения оператора часто трудно описать явно (например, в случае интегральный оператор), и может быть расширен на связанные объекты (оператор, который действует на функции, может также действовать на дифференциальные уравнения функции которых являются решениями). Видеть Оператор (физика) для других примеров.
Самые основные операторы (в некотором смысле): линейные карты, которые действуют на векторные пространства. Однако, используя «линейный оператор» вместо «линейной карты», математики часто имеют в виду действия над векторными пространствами функции, которые также сохраняют другие свойства, такие как непрерывность. Например, дифференциация и неопределенная интеграция линейные операторы; операторы, которые построены из них, называются дифференциальные операторы, интегральные операторы или же интегро-дифференциальные операторы.
Оператор также используется для обозначения символа математическая операция. Это связано со значением слова «оператор» в компьютерное программирование, видеть оператор (компьютерное программирование).
Содержание
Линейные операторы
Чаще всего встречаются операторы линейные операторы. Позволять U и V быть векторными пространствами над полем K. А отображение А: U → V линейно, если
для всех Икс, у в U и для всех α, β в K. Это означает, что линейный оператор сохраняет операции с векторным пространством в том смысле, что не имеет значения, применяете ли вы линейный оператор до или после операций сложения и скалярного умножения. Говоря более техническими словами, линейные операторы морфизмы между векторными пространствами.
Важными понятиями, непосредственно связанными с операторами между конечномерными векторными пространствами, являются концепции классифицировать, детерминант, обратный оператор, и собственное подпространство.
Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и детерминанта нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов в целом) в бесконечномерном случае используются очень разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (назван так потому, что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).
Пространство последовательности действительных чисел или, в более общем смысле, последовательностей векторов в любом векторном пространстве, сами по себе образуют бесконечномерное векторное пространство. Наиболее важными случаями являются последовательности действительных или комплексных чисел, и эти пространства вместе с линейными подпространствами известны как пробелы последовательности. Операторы в этих пространствах известны как преобразования последовательности.
Ограниченные линейные операторы над Банахово пространство сформировать Банахова алгебра относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектры это элегантно обобщает теорию собственных подпространств.
Ограниченные операторы
Позволять U и V быть двумя векторными пространствами над одним и тем же упорядоченное поле (Например, р 
), и они оснащены нормы. Тогда линейный оператор из U к V называется ограниченный если существует C> 0 такой, что
Ограниченные операторы образуют векторное пространство. На этом векторном пространстве можно ввести норму, согласованную с нормами U и V:
В случае операторов из U себе можно показать, что
Примеры
Геометрия
В геометрия, дополнительные конструкции на векторные пространства иногда изучаются. Операторы, которые биективно отображают такие векторные пространства на себя, очень полезны в этих исследованиях, они естественным образом образуют группы по составу.
Операторы, сохраняющие евклидову метрику на таком пространстве, образуют группа изометрии, а те, которые фиксируют происхождение, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа. Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных наборов, образуют специальная ортогональная группа, или группа поворотов.
Теория вероятности
Исчисление
Ряды Фурье и преобразование Фурье
Преобразование Фурье полезно в прикладной математике, особенно в физике и обработке сигналов. Это еще один интегральный оператор; он полезен главным образом потому, что он преобразует функцию в одном (временном) домене в функцию в другом (частотном) домене эффективным способом. обратимый. Никакая информация не теряется, так как есть оператор обратного преобразования. В простом случае периодические функции, этот результат основан на теореме о том, что любую непрерывную периодическую функцию можно представить в виде суммы ряда синусоидальные волны и косинусные волны:
При работе с общей функцией р → C, преобразование принимает интеграл форма:
Преобразование Лапласа
В Преобразование Лапласа является еще одним интегральным оператором, который упрощает процесс решения дифференциальных уравнений.
Данный ж = ж(s), он определяется:
Фундаментальные операторы в скалярных и векторных полях
Как расширение операторов векторного исчисления в физическом, инженерном и тензорном пространствах, операторы Grad, Div и Curl также часто ассоциируются с Тензорное исчисление а также векторное исчисление. [1]
СОДЕРЖАНИЕ
Линейные операторы
Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и детерминанта нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов в целом) в бесконечномерном случае используются очень разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (так называемый, потому что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).
Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектров, которая элегантно обобщает теорию собственных подпространств.
Ограниченные операторы
Ограниченные операторы образуют векторное пространство. В этом векторном пространстве мы можем ввести норму, совместимую с нормами U и V :
В случае операторов из U в себя можно показать, что
Примеры
Геометрия
Теория вероятности
Исчисление
Ряды Фурье и преобразование Фурье
При работе с общей функцией R → C преобразование принимает интегральный вид:
Преобразование Лапласа
Для f = f ( s ) он определяется следующим образом:
Фундаментальные операторы в скалярных и векторных полях
Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :
Как расширение операторов векторного исчисления в физическом, инженерном и тензорном пространствах, операторы grad, div и curl также часто связаны с тензорным исчислением, а также с векторным исчислением.