что такое неполное частное в математике

Неполное частное

Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связаное с операцией деления.

Содержание

Определение

Обозначения

Связанные определения

Свойства

Число делителей

Обобщения

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например кольцо многочленов.

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Неполное частное» в других словарях:

Дробь — Если делится какое нибудь целое число а на другое целое число b, т. е. ищется число x, удовлетворяющее условию bx=а, то могут представиться два случая: или в ряду целых чисел найдется число х, которое этому условию удовлетворит, или же окажется,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Деление с остатком — Деление c остатком (деление по модулю, нахождение остатка от деления, остаток от деления) арифметическая операция, результатом которой является два целых числа: неполное частное и остаток от деления целого числа на другое целое число.… … Википедия

Остаток от деления — в арифметике один из результатов операции деления с остатком. Образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть по абсолютной величине меньше делителя. В случае, если числа… … Википедия

Фундаментальные алгоритмы — Два основных фундаментальных алгоритма это алгоритм деления и алгоритм Евклида Алгоритм деления предназначен для вычисления неполного частного и остатка от деления двух целых чисел. Алгоритм деления a делимое b делитель q неполное частное r –… … Википедия

Целая часть — График функции «пол» (целая часть числа) … Википедия

Преобразование Гаусса — В математике, преобразование Гаусса (измеримая) динамическая система на отрезке [0,1], заданная отображением где обозначает дробную часть числа. Это преобразование «стирает» первое неполное частное в разложении числа в цепную дробь: Кроме… … Википедия

Единая сетевая разметка — (ЕСР) система цифрового обозначения железнодорожных станций на территории стран СНГ и Балтии. С помощью кодов ЕСР кодируются станции, открытые для выполнения грузовых операций, производящие перевалку грузов с железнодорожного на речной или… … Википедия

ЗНАНИЕ В АРАБО-МУСУЛЬМАНСКОЙ ФИЛОСОФИИ — ЗНАНИЕ В АРАБО МУСУЛЬМАНСКОЙ ФИЛОСОФИИ. Благодаря слитости процессуального и субстанциального аспектов в категории масдара (отглагольного существительного) арабское языковое мышление имеет тенденцию рассматривать процесс и результат как нечто … Философская энциклопедия

ЗНАНИЕ В АРАБО-МУСУЛЬМАНСКОЙ ФИЛОСОФИИ. — ЗНАНИЕ В АРАБО МУСУЛЬМАНСКОЙ ФИЛОСОФИИ. Благодаря слитости процессуального и субстанциального аспектов в категории масдара (отглагольного существительного) арабское языковое мышление имеет тенденцию рассматривать процесс и результат как нечто… … Философская энциклопедия

Источник

Как найти первое неполное делимое и количество цифр в частном?

В самом начале обучения навыку деления чисел дети часто допускают ошибки. Одними из самых распространенных, помимо ошибок непосредственно в совершении промежуточных вычислений, являются появление «лишних» цифр и потеря нулей в частном. Их возникновение зачастую связано с такими причинами:

Этой статьей я хочу помочь школьникам восполнить пробелы в вышеупомянутых базовых знаниях, чтобы в дальнейшем они смогли избегать ошибок при совершении действия деления в столбик.

Как найти первое неполное делимое?

Рассмотрим подробно по шагам на таком примере \( <\color75184\div 12>\).

1. Смотрим, сколько разрядов в делимом и какая цифра стоит на позиции самого старшего разряда этого числа.

1. 1. Проверяем, можно ли это количество единиц этого разряда разделить на делитель так, чтобы получилось натуральное число?

1. 2. Если разделить нельзя, смотрим на количество единиц следующего разряда и проверяем, можем ли мы их разделить на делитель?

В числе 75184 всего 75 единиц разряда тысяч. 75 тысяч можно разделить на 12 – получится 6 полных тысяч, и 3 тысячи неразделенные.

2. Если можно разделить количество единиц разряда на делитель, то это количество единиц и будет первым неполным делимым.

В нашем примере это 75 тысяч.

Каждая оставшаяся цифра делимого будет участвовать в формировании остальных неполных частных, о чем подробно рассказано в уроке Деление натуральных чисел.

Как найти количество цифр в частном?

Так как первое неполное делимое в данном примере – это 75 тысяч, то есть, мы делим единицы тысяч, тогда самый старший разряд частного также будет тысячи. Значит, помимо цифры самого большого разряда, будут ещё три цифры: в сотнях, десятках и простых единицах.

Итак, чтобы узнать количество цифр в частном, нужно:
1. Найти первое неполное делимое.
2. Посчитать, сколько в делимом остальных цифр.
3. Прибавить к этому количеству единицу (цифра частного, полученная после деления первого неполного делимого).
4. Результат и будет количеством цифр в частном.

Поделим, и убедимся:

В конце хочу сказать, что определение количества цифр в частном помогают развить и укрепить очень необходимый для младших школьников навык – самоконтроль.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 3 / 5. Количество оценок: 17

Источник

Что такое частное в математике?

Математика – уникальная наука, которая привлекает точностью и последовательностью. Каждый, кто начал изучать эту важную дисциплину, должен разобраться, что такое частное в математике.

Деление

В математике есть четыре простейших операции:

Если мы говорим о частном, то нас будет интересовать такая операция, как деление.

Деление всегда обратно умножению. Это математическая величина, которую мы получим, разделив одно число на другое. Есть ряд символов, которые обозначают его:

В учебных пособиях для учеников 1 – 5 классов есть простое и точное определение этого понятия. Деление – это операция, в результате которой мы получаем число, которое при умножении на делитель дает делимое. Число, о котором говорится в первой части определения, и есть частное.

Частное рассказывает, во сколько раз одно число больше другого.

Наглядные примеры

Чтобы лучше понять, что такое частное чисел в математике, следует обратиться к примерам. Они помогут разложить знания по полочкам в вашей голове. Решение примеров – это лучший тренажер для усвоения новых знаний. Приступим к их решению.

Итак, частное получается, если делимое поделить на делитель. При помощи символов эту операцию можно записать следующим образом:

Запишем простой пример из математики:

80:2=40

80 – делимое (оно делится)

2 – это делитель (на него разделяют)

Восемьдесят больше, чем сорок, в два раза.

Другой пример выглядит так:

120:2=60

Сто двадцать больше, чем шестьдесят, в два раза.

Проверка

Если вы провели операцию деления и сомневаетесь в результате, на помощь придет проверка. Для этого умножьте делитель на частное. Если в результате вы получили делимое, то пример решен верно:

Если после знака равно вы увидели знакомое вам делимое, то можете поставить себе твердую пятерку. Вы научились находить частное чисел и делать проверку. Это очень важно, чтобы в дальнейшем освоить более сложные понятия в алгебре и геометрии.

Частное – это основа математики. Если ученик не смог понять его суть, то двигаться дальше просто бессмысленно. Обратитесь к учителю, если это понятие так и осталось для вас туманным. Педагог разъяснит все ошибки и укажет на подводные камни.

Полное и неполное частное

В результате проведения математических подсчетов частное может быть двух видов:

100:2=50

50 – полное частное

51:2=25 (остаток 1)

25 – неполное частное

1 – остаток от деления

Если вы откроете учебник математики, то увидите, что частное в задачах обозначают при помощи различных символов (переменных). Для этого используют латинские буквы:

30:6=x

Чтобы найти частное, следует делимое разделить на делитель:

Ответ 5 – это частное в данном примере.

Абстрактные определения и туманные рассуждения плохо усваиваются мозгом школьника. Поэтому всегда держите под рукой задачник со списком упражнений по математике. Он поможет понять различные математические категории на практике. Конкретные цифры, записанные в тетради, станут главными помощниками.

Источник

Деление натуральных чисел

Подобно тому, как вычитание является обратным действием для сложения, так и для умножения существует свое обратное арифметическое действие.

Рассмотрим задачу. В школьной столовой раздали 90 яблок по 3 яблока каждому ученику класса. Сколько учеников учатся в этом классе?

Если бы нам было известно количество учеников в классе и количество яблок, которое получил каждый из них, то общее число яблок мы узнали бы, умножив число учеников на число яблок, доставшееся каждому. То есть, количество учеников – это первый сомножитель, количество яблок – второй сомножитель, а сколько яблок раздали – это произведение.

Деление – это арифметическое действие, которое состоит в нахождении одного из сомножителей при помощи данного произведения и второго сомножителя.

Делимое – это число, которое мы делим на другое. Это то самое произведение, которое нам дано.

Делитель – это число, на которое мы делим делимое. Это данный нам один из множителей.

Частное – это результат действия деление, то есть, искомый нами второй сомножитель.

На записи действие деление обозначается: двоеточием ( \(\textcolor <:>\) ), знаком обелюс ( \(\textcolor <\div>\) ), горизонтальной чертой или косой чертой ( \(\textcolor \) ).

Так, решение нашей задачи можно записать следующими способами:

При записи от руки действие деление принято записывать в виде двоеточия, обелюс применяется в печатной литературе, косая черта, которая по-другому называется слеш, – при записи на компьютере, а горизонтальная черта используется при записи деления в виде обыкновенной дроби.

Итак, разделить число a на число b – это значит найти такое число c, которое при умножении его на число b дает в результате числа a.
То есть: \(\textcolor \) , если \(\textcolor \) .

Компоненты действия деление:

Деление с остатком и неполное частное

К примеру, если мы захотим раздать все 37 яблок поровну между пятью детьми, то у нас это сделать не получится. Мы сможем раздать (использовать из всего количества яблок) только по 7 яблок каждому ( \(\textcolor <7\cdot 5=35>\) ), и у нас останется 2 яблока ( \(\textcolor <37-35=2>\) ).

Итак, деление с остатком – это нахождение такого наибольшего целого числа, умножив которое на делитель, мы получим число, максимально близкое к делимому, но не превосходящее его. Это искомое число называется неполное частное. Разница между делимым и неполным частным называется остаток.

Остаток всегда меньше делителя!

Связь деления с умножением, сложением и вычитанием

Когда мы выполняем находим произведение двух чисел, эти числа нам известны, а от нас требуется найти результат действия умножение. При делении (без остатка) нам известно произведение двух чисел, а найти нужно такое число, которое при умножении на известное данное число дает это самое произведение.

Следовательно, действие деление является обратным действию умножения.

Справедливо также и обратное, что действие умножение обратно действию деления. Таким образом:

Умножение и деление – это взаимно обратные действия.

Связь деления с умножением, а также со сложением и вычитанием прекрасно видна, если рассмотреть, как с помощью этих действий можно выполнить действие деление.

Деление двух чисел при помощи сложения

Деление двух чисел при помощи вычитания

То есть, 69 от 345 можно отнять 5 раз, поэтому \(\textcolor <349\div 69=5>\).

Деление двух чисел при помощи умножения

При помощи умножения узнать ответ на наш вопрос можно перебирая множитель числа 69 до тех пор, пока не получим заданное нам 345 :

Но эти три способа очень громоздки, особенно если частное представляет собой очень большое число. Их нужно знать только для того, чтобы понимать суть действия деления, суть тех задач, которые решаются посредством него.

Общий принцип деления в столбик

Если частное от деления двух чисел является многозначным числом, нахождение его происходит путем деления в столбик. Еще его называют деление уголком.

Прежде всего, нужно узнать количество цифр в частном и первое неполное делимое; как их находить, я подробно расписал в этой статье. В нашем случае первое неполное делимое равно 295 тысяч, а в частном будет 4 цифры.

Далее записываем известные компоненты деления следующим образом:

и начинаем вычисление:

1. Берем первое неполное делимое и пытаемся его разделить на делитель.

Вот тут нам и пригодится способ нахождения однозначного частного. Воспользовавшись им, находим, что в 295 тысячах делитель 34 содержится целиком 8 тысяч раз.

Записываем в частное первую найденную цифру разряда тысяч, а под неполным делимым пишем результат произведения неполного частного и делителя. И сразу же находим остаток от этого действия, т.е. вычитаем из неполного частного результат этого произведения.

В результате умножения первой найденной цифры частного на делитель у нас получилось \(\textcolor <8\cdot 37=272>\). Записываем его под 295 и находим разницу: \(\textcolor <295-272=23>\). Значит, 23 тысячи у нас остаются неразделенными.

В качестве еще одного действия самопроверки нужно сравнить полученную разницу с делителем. Если она меньше делителя, то мы на правильном пути, если же разница равна или больше делителя, то мы или неправильно нашли цифру частного, или допустили ошибку при умножении на делитель либо при нахождении остатка.

2. Оставшиеся неразделенные 23 тысячи представляют собой 230 сотен. Прибавляем к ним те 3 сотни, которые содержатся в делимом (говорят: сносим пять) и получаем второе неполное делимое 233 сотни.

3. 29 неразделенных сотен – это 290 десятков. Добавляем (сносим) к ним 8 десятков делимого, получаем третье неполное делимое 298 десятков.

4. И наконец, 26 десятков – это 260 простых единиц. Добавляем (сносим) к ним 3 единицы делимого и получаем четвертое неполное делимое 263 единицы.

Рассмотрим еще один пример. \(\textcolor <25326\div 63>\).

1 сотня = 10 десятков, добавляем (сносим) 2 десятка из делимого, получаем второе неполное делимое 12 десятков.

Итак, запомните, что каждое неполное делимое образует в частном одну цифру соответствующего разряда и что даже если неполное делимое меньше делителя, то в частном все равно нужно записать нулевой результат этого действия.

Итак, в общем виде алгоритм деления в столбик выглядит так:
1. Находим первое неполное делимое и количество цифр в частном.
2. Делим неполное делимое на делитель. Цифру, полученную в результате деления записываем ниже черты под делителем.
3. Умножаем полученную цифру на делитель, результат записываем под неполным делимым.
4. Ставим между ними знак минус и выполняем действие.
5. К полученной разнице сносим цифру следующего разряда (если она есть) и получаем второе неполное делимое.
6. Выполняем пункты 2-5 до тех пор, пока в делимом не останется ни одной неснесенной цифры.
7. Если неполное делимое невозможно разделить на делитель, то в частном ставится 0 и к этому неполному делимому сносится следующая цифра.

Деление на числа, заканчивающиеся нулями

Как и в случае с умножением, деление чисел облегчается, если делитель заканчивается одним или несколькими нулями. Рассмотрим два возможных случая:

Рассмотрим первый случай.

Деление на единицу с любым количеством нулей

Единица с любым количеством нулей – это не что иное как единица соответствующего разряда. Например, 10 – это 1 единица разряда десятков, 1000 – это одна единица разряда тысяч, 10000000 – 1 единица разряда десятков миллионов и т.д.

Запишите:
Чтобы разделить какое-нибудь число на единицу с любым количеством нулей, нужно отсчитать в делимом справа столько цифр, сколько нулей содержится в делителе; тогда все цифры, находящиеся слева от разделения, составят частное, а те, что справа – будут остатком.

Деление на число, оканчивающееся нулями

Рассмотрим на примере \(\textcolor <284556\div 2800>\).

Делитель здесь не что иное как 28 сотен. Логично предположить, что эти 28 сотен могут хотя бы один раз содержаться только в сотнях делимого. Значит, нам нужно определить, сколько в делимом всего единиц разряда сотен, и разделить их на 28 единиц разряда сотен делимого. А отброшенные цифры десятков и простых единиц добавятся к остатку.

Запишите:
Чтобы разделить какое-нибудь число на число, заканчивающееся нулями, нужно отброс ить мысленно нули в делителе, в делимом тоже отброс ить мысленно такое же количество цифр, как и нулей в делителе. Получившееся число в делимом разделить на получившееся число в делителе, а к остатку прибавить (снести) те цифры делимого, которые отброс или ранее.

Проверка деления

Так как делимое – это делитель, умноженный на частное и плюс остаток, что следует из определения деления, то результат выполнения деления можно проверить умножением.

Если в результате действия деления не получилось остатка, то деление можно проверить и делением. Действительно, если делимое – это произведение делителя и частного, то разделив делимое на частное (один из сомножителей), мы должны получить второй сомножитель, то есть, делитель.

Свойства деления

Свойства деления я представлю двумя группами:

Давайте рассмотрим каждую группу подробнее.

Действия деления с единицей и нулем

При делении числа на единицу получается то же самое число.

Действительно, разделить число на единицу означает узнать, сколько единиц содержится в данном числе. А количество единиц в числе – это не что иное, как само это число.

И ли вот, например, если 10 яблок нужно раздать одному человеку ( 10 поделить на 1 ), то ему все эти 10 яблок и достанутся, правда?

При деление одинаковых чисел (числа на равное число) в результате будет 1 (единица).

В самом деле, если все единицы какого-то числа разделить на количество частей, равное количеству единиц этого числа, то в каждая часть получит по 1 единице.

Например, если 20 яблок раздать 20 школьникам, то каждому достанется по 1 яблоку.

При делении нуля на любое число, отличное от нуля, в результате будет нуль.

Разделить нуль на число означает найти такое число, умножив которое на данный делитель, мы получим в результате нуль. А такое число только одно – это нуль.

На нуль делить нельзя, то есть, нуль не может выступать в роли делителя.

При делении каких угодно чисел делителем может быть любое число, кроме нуля.

Рассмотрим два случая: когда нулём является только делитель, и когда делимое и делитель оба нули.

Распределительные свойства деления

Чтобы найти частное от деления суммы на число, нужно поделить каждое слагаемое на это число, и найти сумму полученных частных.
\(\textcolor <(a+b+c)\div d=a\div d+b\div d+c\div d>\).
При этом подразумевается, что все действия деления получаются без остатка.

Чтобы найти частное от деления разности на число, нужно поделить на это число отдельно сперва уменьшаемое, а потом вычитаемое, после чего найти разность первого частного и второго.
\(\textcolor <(a-b)\div c=a\div c-b\div c>\)
При этом также предполагается, что при делениях уменьшаемого и вычитаемого на число не получается остатков.

Например: \[\textcolor <(36-24)\div 6=36\div 6-24\div 6=6-4=2>\] Число 36 состоит из 6 шестерок, а 24 – из 4 шестерок, а забрав у 6 шестерок 4 шестерки, получим 2 шестерки. Такой же итог будет и если мы сперва у 36 отнимем 24 единицы (останется 12 ), а потом найдем, сколько в этой разнице содержится шестерок: \(\textcolor <12\div 6=2>\).

Чтобы найти частное от деления произведения на число, нужно поделить на него только один из сомножителей, а результат умножить на неизмененные остальные.
\(\textcolor <(a\cdot b\cdot c)\div d=a\div d\cdot b\cdot c=b\div d\cdot a\cdot c=c\div d\cdot a\cdot b>\).

Чтобы найти частное от деления числа на произведение, нужно это число поделить на первый сомножитель, результат деления поделить на второй сомножитель, полученное частное – на третий и так далее.
\(\textcolor \).
При этом предполагается, что при всех этих делениях не получается остатков.

На рисунке наглядно видно, что в итоге после применения этого правила, число 30 получилось разделенным на 6 равных частей.

Изменение частного при изменении делимого и делителя

При рассмотрении изменений частного в результате изменений делимого и делителя предполагается, что действие деление происходит без остатка. В противном случае изменения могут быть не такими, о которых идет речь ниже.

При увеличении делимого в определенное количество раз, частное увеличится в это же количество раз, а при уменьшении – уменьшится.

Если мы в примере \(\textcolor <24\div 4=6>\) делимое увеличим, к примеру, в 3 раза, то мы можем переписать это выражение в виде \(\textcolor <(24+24+24)\div 4>\). Используя свойство деления суммы на число, мы увидим, что теперь нам нужно сложить три слагаемых, каждое из которых равно начальному выражению: \(\textcolor <24\div 4+24\div 4+24\div4>\). Отсюда очевидно, что результат будет больше начального в 3 раза.

Если мы в этом же примере \(\textcolor <24\div 6>\) уменьшим делимое в 3 раза, то есть, разделим его на три равные части, то очевидно, что результат деления одной части на 6 будет в 3 раза меньше, чем результат деления трех таких же частей. Посмотрите сами. Начальное выражение \(\textcolor <24\div 6>\) можно записать в виде: \(\textcolor <(8+8+8)\div 6=8\div 6+8\div 6+8\div 6>\), а уменьшенное в 3 раза делимое даст нам только одно из трех таких слагаемых: \(\textcolor <8\div 6>\).

При увеличении делителя в определенное количество раз, частное уменьшится в это же количество раз, а при уменьшении – увеличится.

Действительно, изменение делителя означает, что делимое необходимо разделить на большее или меньшее количество равных частей. Соответственно, если нужно разделить на большее число частей, то каждая часть будет меньше, чем изначально, а если делить на меньшее число частей, то каждая часть будет крупнее.

В случае одновременного изменения делимого и делителя, частное может вести себя по-разному, или же вообще оставаться без изменений. Если нужно узнать, станет оно больше или меньше, нужно сперва посмотреть, как частное изменится после изменения делимого, а потом – как изменится после изменения делителя.

При увеличении или уменьшении делимого и делителя в одинаковое количество раз, частное не меняется.

Попробуйте самостоятельно доказать справедливость этого утверждения. Пишите в комментариях, получилось это, или нет.

Источник