что такое натуральный делитель
Кратное и делитель
Если одно натуральное число делится без остатка на другое натуральное число, то первое называется кратным второго, а второе — делителем первого.
Кратное числа — это делимое, которое делится на данный делитель без остатка.
Делитель числа — это делитель, на который делимое делится без остатка.
Пример. Возьмём, например, такое деление:
Число 6 делится на число 3 без остатка. Следовательно, число 6 — кратное числа 3, а число 3 — делитель числа 6.
Пусть m и n — натуральные числа, если число m является кратным числа n, то говорят: m кратно n или m делится на n
Пример. 6 кратно 3 (шесть кратно трём) или 6 делится на 3 (шесть делится на три).
Самым маленьким кратным любого натурального числа является само это число, так как любое натуральное число можно разделить само на себя без остатка (в частном всегда будет единица).
Пример. Для числа 7 наименьшим кратным является число 7, для числа 2 — число 2:
7 : 7 = 1 (семь кратно семи);
2 : 2 = 1 (два кратно двум).
Для любого натурального числа существует бесконечно много кратных. Получить кратное для данного числа достаточно легко, можно просто умножить его на любое натуральное число, полученное произведение и будет его кратным.
Пример. Получим кратное числа 5, умножив его, например, на 2:
Число 10 — кратное числа 5:
Так как на единицу делится любое натуральное число, то число 1 является делителем любого натурального числа.
Признаки делимости чисел
Что такое «признак делимости»
Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.
Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.
Однозначные, двузначные и трехзначные числа
Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.
Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).
Чётные и нечётные числа
Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.
Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.
Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.
Наибольший общий делитель (НОД), свойства и формулы
Понятие наибольшего общего делителя
Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.
Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.
Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.
Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).
Проверить результаты вычислений можно с помощью онлайн-калькулятора НОД и НОК.
Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.
Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.
Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.
Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.
Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.
Свойства наибольшего общего делителя
У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.
Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.
Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.
Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.
Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.
Доказательство
Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.
Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.
В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.
Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.
Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.
Доказательство
Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.
Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.
Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).
Доказательство
Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.
Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.
Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.
Способы нахождения наибольшего общего делителя
Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.
1. Разложение на множители
Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.
Пример 1. Найти НОД (84, 90).
Ответ: НОД (84, 90) = 6.
Пример 2. Найти НОД (15, 28).
Ответ: НОД (15, 28) = 1.
Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.
Ответ: НОД (24, 18) = 6
2. Алгоритм Евклида
Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.
Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.
Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.
Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.
Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.
В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:
Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.
Ответ: НОД (140, 96) = 4
Пошаговое деление можно записать столбиком:
Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:
Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.
Урок 1 Бесплатно Делители и кратные
Операция деления известна с давних времен.
Привычные нам сегодня обозначения операции деления появлялись постепенно, в более древние времена люди использовали другие знаки.
Первый из символов ( / ), в обиходе косая черта, впервые был применен в 1631 году в одной из работ англичанина Уильяма Отреда.
Со временем в математике стали использовать и знак ( : ). Его в своих работах использовал немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716)
При выполнении операции деления используют три математических составляющих:
Сегодня мы познакомимся с делителями и на связанном с ними понятии кратных.
Делители и кратные
Допустим, у вас есть 30 конфет и их надо разделить поровну шести друзьям.
В этом случае 6 друзей получат по 5 конфет, потому что 30 : 6 = 5
Если любое натуральное число делится без остатка на второе натуральное число, то первое называется кратным, а второе называют делителем.
Другими словами, 30 кратно 6, а 6 это делитель 30.
Могут быть и другие варианты решения задачи, которые зависят от данного нам условия.
Если друзей будет 7, тогда раздать всем равное количество конфет не получится, так как 30 без остатка на 7 не делится.
Значит, 30 не кратно 7, и 7 не является делителем 30
Натуральное число, на которое делится без остатка другое число, называется его делителем.
Само число 15 имеет четыре делителя: 1; 3; 5; 15, так как на каждое из этих чисел оно делится без остатка.
Натуральное число, которое делится на другое без остатка, называется его кратным.
Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.
Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.
Например, кратными 4 будут числа: 4; 8; 12; 16; 20 и т.д.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Существуют числа, равные сумме всех их делителей, не считая самого числа.
Его делители 1, 2, 3.
Само число 6 не учитываем.
Сложив их, получим в сумме 6
К числам с таким свойством можно отнести еще 28 или 496
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Использование понятий делителя и кратного при решении примеров и задач
Любые математические понятия используются при решении примеров и задач, ответах на вопросы из жизни.
Разберем некоторые из них подробнее.
Пример 1
На сколько равных кучек можно разделить 24 ореха?
Решение:
Нужно выяснить все делители числа 24
Такими будут числа: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
Каждое из этих чисел будет являться ответом на поставленный вопрос, таким образом:
1 кучка из 24 орехов
2 кучки по 12 орехов
3 кучки по 8 орехов и т.д.
Пример 2
Напишите все двузначные числа, кратные 44
Решение:
Еще нам дано условие, что такие числа должны быть двузначными.
Значит, это два числа 44 и 88.
Оба они делятся на 44 без остатка, в чем можно легко убедиться: 44 : 44 = 1; 88 : 44 = 2
Пример 3
Какое число и кратно 15, и является делителем 15?
Решение:
Оно кратно самому себе и является для себя делителем.
Пример 4
В строю 300 солдат. Можно ли их разделить на 7 равных групп для проведения физической подготовки?
Решение:
Чтобы проверить, можно ли разделить 300 солдат на 7 равных групп, поделим число 300 на 7.
Имеем: 300 : 7 = 42 и в остатке 6. То есть 300 не делится нацело на 7.
Значит, разбить 300 солдат на 7 равных групп не получится.
Пример 5
Докажите, что число 70525 кратно числу 217.
Доказательство:
Выполним деление 70525 на 217 уголком.
Видим, что деление выполнено без остатка, значит, число 70525 кратно числу 217.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Делителем любого натурального числа является единица.
И правда, ведь на единицу делится любое натуральное число без остатка
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Раньше алгоритм деления в России выглядел совершенно иначе и не имел ничего общего с современным видом.
Например, деление могло получиться в виде полумесяца или по форме напоминать геометрическую фигуру- ромб.
Пусть требуется разделить 598432 на 678
Вот как выглядела запись деления:
1792
5603
5984/
5424
5424
1356
598432 верно разделено
Или разделить 9649378 на 5634:
59417
4015530
9649378
5634444
56333
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Общее представление о делении натуральных чисел
В рамках этого материала мы разберем важное действие, называемое делением. Дав общее представление о нем и объяснив его смысл, мы введем основные термины и обозначения на письме. В последнем пункте мы расскажем, для решения каких задач нам пригодится умение делить натуральные числа.
Что такое деление натуральных чисел
Само по себе понятие деление неразрывно связано с процессом разъединения некоторого множества предметов на несколько отдельных множеств.
Объясним на примере.
В быту мы часто употребляем слова»делиться», «поделиться», например, поделиться угощением с друзьями. Это слово означает, что угощение мы поделили на некоторые части и отдали часть одним людям, а часть другим (или оставили себе). С помощью этого простого примера деление можно представить как последовательное вычитание из одного большого множества. Что такое вычитание и как его выполнять, мы уже разбирали с вами ранее.
Основной смысл процесса деления
На основе того, что мы озвучили, можно придать определенный смысл делению одного натурального числа на другое (отдельно выделим число, которое делят, и то, на которое делят). Мы помним, что понятие натуральных чисел проще всего соотнести с количеством некоторых предметов. То число, которое необходимо поделить, выражает число предметов исходного множества. В зависимости от того, какой смысл мы придаем второму числу (т.е. тому, на которое делят), можно выделить два основных подхода к пониманию смысла деления. Возможны такие варианты:
Разделить одно натуральное число на другое без остатка возможно далеко не всегда. Так, 10 конфет мы можем ровно разделить на 2 или 5 кучек, а на 3 нет, потому что в одном из множеств окажется отличное от других число конфет. Разложить 10 конфет по 15 или 20 кучкам мы также не в состоянии. Смысл таких действий объясняется в материале про деление с остатком.
Если мы можем поделить одно натуральное число на другое, то получившееся в итоге число также будет натуральным.
Основные понятия процесса деления
В этом пункте мы укажем основные обозначения и понятия, используемые в делении натуральных чисел.
Чтобы обозначить деление в записи, обычно используют знак двоеточия: « : ». Иногда можно встретить вместо него знак « ÷ », который означает то же самое. Первым мы записываем число, которое будем делить, потом знак деления, а потом число, на которое делим. Числовое выражение вида 10 : 5 означает, что мы делим десять на пять.
То число, которое делим, называем делимым. То, на которое делим – делителем. Итог вычислений правильно называть частным. Само числовое выражение, состоящее из делимого, делителя и знака деления, тоже называется частным.
Когда мы говорим о том, что нужно определить число, являющееся результатом деления одного натурального числа на другое, нужно использовать выражения «найти частное» или «вычислить частное».
Запись читается как «тридцать разделить на шесть равно пяти» или «частное от деления тридцати на шесть равно пяти».
Схематично процесс деления можно отобразить как » делимое : делитель = частное.».
Задачи с применением деления
Приведем примеры задач, для которых нужно уметь делить одно натуральное число на другое.
1. Первый тип задач – это те, в которых нужно найти, сколько множеств получится после деления исходного множества на равные части, а также близкие к ним задачи на вычисление количества предметов в каждом множестве после деления. Ранее мы уже приводили примеры таких задач. Добавим еще несколько.
Допустим, у нас есть 40 ручек, которые нужно распределить поровну между 4 коробками. Как вычислить, сколько ручек положить в каждую из них?
Ответ: 10
На ужин было приготовлено 12 котлет. Каждому члену семьи должно достаться по две. Сколько всего человек будут ужинать?
2. Второй тип задач очень схож с первым, однако в них необходимо вычислить не количество предметов, а изменения физических величин (времени, температуры, длины и др.)
Например, у нас есть полная бочка молока объемом 100 л. Сколько надо взять двухлитровых бутылок, чтобы перелить туда все имеющееся молоко?
Ответ: 100
Ответ: 3
3. Третий тип задач – это те, где нужно найти, во сколько раз уменьшилось исходное количество чего-либо, или выяснить, во сколько одно множество предметов или величина больше, чем другое. Например:
Планировалось построить дом площадью 120 кв м., но в итоге построили в два раза меньше. Какую площадь имеет в итоге построенный дом?
Ответ: 60