что такое натуральные координаты

Как найти координаты точки?

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

Источник

Шкалы и координаты

Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке (рис. 12) нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части. Эти части называют делениями. На рис. 12 длина каждого деления равна 1 см. Все деления линейки образуют шкалу. Длина отрезка АВ на рисунке равна 6 см.

Шкалы бывают не только на линейках. На рис. 13 изображен комнатный термометр. Его шкала состоит из 55 делений. Каждое деление соответствует одному градусу Цельсия (пишут 1°С). Термометр на рисунке 20 показывает температуру 21°С.

Рис. 13. Комнатный термометр

На весах тоже бывают шкалы. По рисунку 14 видно, что масса ананаса равна 3 кг 600 г.

При взвешивании больших предметов применяют единицы массы: тонну (т) и центнер (ц).

1 тонна равна 1000 кг, а 1 центнер равен 100 кг.

1 т = 1000 кг, 1 ц = 100 кг.

Начертим луч ОХ так, чтобы он шел слева направо (рис. 15).

Отметим на этом луче какую-нибудь точку Е. Над началом луча О напишем число 0, а над точкой Е число 1. Отрезок, длина которого равна 1, называют единичным отрезком. ОЕ – единичный отрезок.

Отложим далее на том же луче отрезок ЕА, равный единичному отрезку, и над точкой А напишем число 2. Затем на этом же луче отложим отрезок АВ, равный единичному отрезку, и над точкой В напишем число 3. Так шаг за шагом получаем бесконечную шкалу. Бесконечную шкалу называют координатным лучом.

Числа 0, 1, 2, 3. соответствующие точкам О, Е, А, В…, называют координатами этих точек.

Источник

Шкалы, координаты

Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.

Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.

Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).

Рисунок 1. Измерительная линейка.

Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.

Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).

Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.

Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.

Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.

Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.

Рисунок 2 Цена деления шкалы

Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?

Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:

Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.

Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки

Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.

Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.

Рис. 3. Луч с началом в точке O

Рис. 4. Луч с равными отрезками

Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).

Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.

Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами

Покажу еще раз на примере точки S :

так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),

подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:

Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.

Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отброс им. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.

Рис. 6. Координатный луч

Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.

Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.

Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.

Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.

Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.

Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.

Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка

Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).

Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.

Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.

Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.

Рис. 8. Координаты точек

Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).

В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.

Рис. 9. Большие числа на координатном луче.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.1 / 5. Количество оценок: 8

Источник

Урок 7 Бесплатно Координатный луч

Ответим на вопрос, почему луч подходит больше всего для обозначения натуральных чисел, а также научимся определять с помощью него длины отрезков.

Определение

Луч- это часть прямой ограниченная с одной стороны точкой, называемой началом луча.

Начертим луч с началом в точке О так, чтобы он шел слева направо, и отметим на нем точку А не очень далеко от начала.

Отрезок ОА назовем единичным отрезком.

Далее отложим от точки А следующий отрезок АВ, равный отрезку ОА.

Затем отложим от точки В отрезок ВС, также равный единичному отрезку.

Продолжим процесс, уже не называя точки.

Так мы получили шкалу, которую называют координатным лучом.

В самом деле, для шкалы нам необходимы были такие объекты, как штрих, деление, цена деления, посмотрим, чем они представлены в данном случае.

В роли штрихов выступают точки.

Изображая координатный луч, можно точки обозначать как небольшие штрихи, это ничуть не делает рисунок менее точным.

Делением в данном случае является отрезок между любыми соседними точками.

Этот отрезок всегда равен единичному по построению, ведь мы всегда откладывали отрезок, равный единичному.

Ценой деления в данном случае является единица.

Может быть немного непривычно, что единица идет без наименования, ведь на других шкалах обычно цена деления 1 кг, 1 см, 1 км/ч.

Но здесь идет измерение натуральных чисел, поэтому просто единица.

Так что координатный луч вполне можно считать шкалой.

Если же говорить про более конкретное определение, то вот оно.

Нередко к этому определению добавляют помимо единичного отрезка еще два объекта: точку начала отсчета и направление увеличения чисел.

А на координатном луче точка начала отсчета и точка начала луча всегда совпадают.

Направление задавать тоже нет необходимости, ведь у луча только одно вполне определенное направление: от начала.

Единичный отрезок же необходим, ведь без него не будет одинакового расстояния между соседними точками и смысла в луче не будет.

Отметим важный момент: в одном координатном луче всегда один единичный отрезок.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Координаты

Мы уже поговорили про координатный луч, но важно понять, почему он “координатный” и как определены координаты в данном случае.

Обычно можно услышать слово “координаты” в географическом контексте.

Когда мы узнаем координаты, а это два числа, то можем однозначно сказать, про какую точку на карте идет речь.

Другими словами, в географическом смысле, координаты являются числами, определяющими положение точки на карте.

В случае с координатным лучом все даже проще.

Координата точки на координатном луче соответствует количеству единичных отрезков между этой точкой и точкой начала отсчета.

Посмотрим еще раз на рисунок из прошлой главы:

Точка А находится на расстоянии одного единичного отрезка от точки начала отсчета.

Точке А соответствует число 1

Точка В находится на расстоянии двух единичных отрезков от точки начала отсчета.

И точке В соответствует число 2

Аналогично каждой следующей точке соответствует число на единицу больше.

Число, соответствующее точке на координатном луче, называют координатой этой точки.

Заметим теперь, как соответствуют друг другу натуральный ряд и координатный луч.

За исключением точки начала отсчета, каждой точке соответствует натуральное число.

Если смотреть от начала отсчета, то координата следующей точки после данной равна следующему натуральному числу после координаты данной точки.

И также мы знаем, что координата точки P равняется 276

Тогда мы сможем сказать координату точки Q, это будет следующее натуральное число после числа 276, то есть ответ: 277

Аналогичная логика работает и в другую сторону.

Координата точки, идущей перед данной, является предыдущим натуральным числом по отношению к координате данной точки.

Допустим, точки E и R соседние.

Также известно, что R находится дальше от точки начала отсчета, чем Е; а также известна координата точки R, она равна 315

Чтобы найти координату точки Е достаточно взять предыдущее натуральное число от числа 315, это будет число 314

Эти примеры показывают, как натуральный ряд ложится на координатный луч.

Отметим, что именно луч идеально соответствует натуральным числам, ведь и луч, и натуральный ряд ограничены с одной стороны (с начала), но продолжаются бесконечно.

Если же нам надо найти координату точки безотносительно соседних точек, то достаточно отсчитать количество единичных отрезков между данной точкой и точкой начала отсчета.

Найдем координату точки Н.

Между ей и точкой О (началом отсчета) 4 единичных отрезка, значит, координата точки Н равна 4

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Основы динамической метеорологии Учебное пособие (стр. 18 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

Поскольку движения в атмосфере рассматриваются в определенной системе координат, определим некоторые из них.

2.1. Абсолютная (инерциальная) и правая локальная декартова система координат

Основная система уравнений гидротермодинамики базируется на фундаментальных физических законах. Все уравнения принято относить к воздушной частице единичной массы. Легко представить себе, что она движется вместе с воздушным потоком. Движение можно относить к «неподвижным» звездам или рассматривать его по отношению к земной поверхности. Для характеристики движения в первом и во втором случае его можно рассматривать в разных системах отсчета, то есть в разных системах координат. Рассмотрим инерциальную (абсолютную) и правую локальную декартову системы координат [4, 12, 14, 15].

Инерциальная (абсолютная) декартова система координат рассматривается по отношению к неподвижным звездам. Её центр жестко связан с центром Земли. Ось Х имеет фиксированные направление в экваториальной плоскости, ось Y также расположена в экваториальной плоскости и перпендикулярна оси Х. она тоже фиксирована. Положение точки в этой системе определяется абсциссой х, ординатой у, аппликатой z. Вектор угловой скорости вращения Земли совпадает с направлением оси Z с юга на север (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Абсолютная, правая локальная декартова и сферическая системы координат

Правая (или правовращающаяся) локальная декартова координат, движение в которой определяется по отношению к поверхности Земли. В этой системе бывает важным знать относительную скорость и относительное ускорение частицы воздуха по отношению к земной поверхности. Ось Z в этой системе направлена по местной вертикали вверх, которая определяется локальным направлением силы тяжести. Ось Х направлена по касательной вдоль широтного круга на восток, а ось Y – по касательной вдоль меридиана на север. Декартова система координат является ортогональной и имеет некоторые преимущества перед другими системами отсчёта. Во-первых, сохраняет проекции, соответствующие отношению площадей на местности и на карте. Во-вторых, она позволяет просто выполнять векторные операции, в-третьих, в ней производные выражаются с помощью простых соотношений.

В силу связанности этой системы с вращающей Землей скорости движения в ней являются относительными. Для правой локальной декартовой системы координат проекции угловой скорости вращения Земли на оси координат определяются формулами:

;

;

.

Независимыми координатами здесь являются Х, Y, Z и t, где t-время.

2.2. Сферическая система координат

При решении некоторых задач теоретической метеорологии и прогноза погоды более удобной является сферическая система координат [4, 14, 15]. В этой системе положение точки в пространстве определяется её расстоянием до начала координат, которое помещается в центр Земли, то есть радиус-вектором , который можно представить в виде суммы проекций следующим образом: . А также полярным углом и и долготой л. Полярный угол и – это угол между радиус-вектором и полярной осью, который отсчитывается с севера на юг. Это направление считается положительным. Угол л – это угол между меридиональной плоскостью, проходящей через току и зафиксированной плоскостью меридиана, которая может проходить через гринвичский меридиан. Практически и и л представляют собой широтную и долготную координаты, направленные на юг и на восток. Восточная долгота считается положительной.

2.3. Локальная изобарическая система координат

Локальная изобарическая система координат – это система пространственных координат, в которой в качестве вертикальной координаты принято атмосферное давление [15]. Её называют системой координат (x, y, p, t) (рис. 2.2). Независимыми переменными являются , , , .

Полная производная в изобарической системе координат определяется по формуле:

Однако индекс внизу обычно опускают:

где – аналог вертикальной скорости, который определяется формулой:

Сопоставление декартовых и изобарических координат можно представить следующим образом:

Рис. 2.2. Локальная правая декартова и изобарическая системы координат

2.4. Натуральная система координат

Натуральная система координат – это ортогональная криволинейная система координат, в которой координатными линиями являются линии тока, обозначаемые буквой S, и нормали к ним – n (рис. 2.3). Как было указано ранее, линия тока – это кривая, в каждой точке которой в момент времени t скорости движения совпадают с касательными к ним [4, 15, 16]:

Рис. 2.3. Натуральная система координат

Здесь – скорость, – линия тока, – нормаль к линии тока, – угол между направлением скорости и осью абсцисс.

Это правая система координат, для которой кратчайший поворот от положительного направления к положительному направлению совершается против часовой стрелки, то есть справа налево. Угол между осью ОХ декартовой системы координат и касательной к линии тока отсчитывается против часовой стрелки и характеризует направление скорости ветра от точки к точке, те есть .

Кривизна линии тока определяется частной производной от по :

Она характеризует поворот линии тока на единицу длины её дуги.

Кривизна нормалей к линиям тока выражается производной от угла по :

Источник