что такое множитель и произведение в математике

Умножение

В этом разделе познакомимся с умножением и узнаем, что сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением.

Например, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 можно записать по-другому: 6 • 4 = 24

Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых.

Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз.

Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое.

Результат умножения показывает, какое число получается.

6 • 4 значит, что число 6 повторяют 4 раза: 6 + 6 + 6 + 6 = 24

Числа при умножении

Результат умножения, или Произведение

Чтение числовых выражений

Этот пример можно прочитать по-разному.

Умножение на 1

4 • 1 = 4, потому что это значит, что число 4 повторяют только 1 раз.

23 • 1 = 23, потому что это значит, что число 23 повторяют только 1 раз.

Умножение на 0

8 • 0 = 0, потому что это значит, что число 8 повторяют 0 раз.

26 • 0 = 0, потому что это значит, что число 26 повторяют 0 раз.

Умножение на 10

8 • 10 = 80, потому что число 8 повторяют 10 раз.

15 • 10 = 150, потому что число 15 повторяют 10 раз.

Связь деления и умножения

8 • 3 = 24, потому что 8 повторяют 3 раза.

24 : 3 = 8, потому что в 24 по 3 содержится 8 раз.

24 : 8 = 3, потому что в 24 по 8 содержится 3 раза.

В несколько раз больше

Решим задачу:

В магазине было 2 лисички, а котят в 4 раза больше. Сколько было котят?

Это значит, что котят было 4 раза по 2.

Заменяем сложение умножением и получаем:

Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?

Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?

Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Что такое множитель и разложение на простые множители

Дадим определение понятию «множитель» и разберемся что такое множитель. Какие множители бывают и почему некоторые из множителей — простые.

Определение множителя

В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.

Определения множителя как компонента умножения

Сейчас немного расширим понятие множителя.

Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?

Пример 1

Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения . Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.

Пример 2

Рассмотрим теперь выражение: . Это выражение можно представить в виде произведения . Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).

Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.

Простые множители

Пример 1

Разложите число 65 на простые множители.

Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число . И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.

Пример 2

Разложите число 270 на простые множители.

Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — . Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: . Получившееся число опять делится на 3: . И снова число 15 делится на 3: . Получили простое число 5. Делим .

Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:

Разложение числа на простые множители в столбик.

Разложение числа на простые множители в строчку записывается так: .

Про разложение многочлена на множители поговорим в отдельной теме.

Источник

Умножение натуральных чисел

Умножение — это арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых.

Пример. Во дворе посадили 3 ряда ёлок, по 4 ёлки в каждом ряду. Сколько ёлок посадили во дворе?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти сумму 3 слагаемых, каждое из которых равно 4.

Складывая 3 раза по 4 ёлки, мы получим общее количество ёлок во всех трёх рядах.

Умножить – значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Для записи умножения используется знак х (косой крест) или · (точка), который ставится между числами. Например:

Эта запись означает, что 4 надо умножить на 3. Справа от записи умножения ставится знак = (равно), после которого записывается полученный результат:

Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых.

Пример. Умножить 6 на 5 — это значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно шести:

Сократим запись, заменив сложение на умножение:

Оба выражения равны:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 5 = 30,

но для краткости записей лучше всегда использовать умножение, когда число одинаковых слагаемых больше двух.

Множимое, множитель и произведение

Множимое — это число, которое умножают. Множитель — это число, на которое умножают. Например, в записи:

4 — это множимое, 3 — множитель. Множимое является числом, которое выступает в качестве слагаемого. Множитель — это число, которое указывает количество одинаковых слагаемых.

Произведение — это число, которое получается в результате умножения. Например, в записи:

12 — это произведение. При этом сама запись 4 · 3 тоже называется произведением.

Множимое и множитель иначе называются множителями или сомножителями.

Проверка умножения

Умножение двух чисел можно проверить делением, для этого произведение делят на один из сомножителей, если частное окажется равно другому сомножителю, то умножение выполнено верно.

Источник

Умножение или произведение натуральных чисел, их свойства.

Умножение натурального числа.

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:
Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Рассмотрим пример:

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел, а числа m и n называют множителями.

Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел.
Числа 7 и 12 называются множителями.

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m⋅n=n⋅m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅b) ⋅c=a⋅(b⋅c)

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умно­жить на про­из­ве­де­ние двух чисел, можно его сна­ча­ла умно­жить на пер­вый мно­жи­тель, а затем по­лу­чен­ное про­из­ве­де­ние умно­жить на вто­рой.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a⋅1=a или 1⋅a=a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или 0⋅6=0
a⋅0=0 или 0⋅a=0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.

Источник

Правила умножения натуральных чисел

Что такое умножение

Умножение — такое арифметическое действие, когда сложение одинаковых чисел происходит искомое количество раз.

Умножение имеет широкую матрицу для применения.

Множимое — число, которое будет использоваться в математическом действии.

Множитель — число раз, сколько нужно данное число (множимое) повторить, для выполнения операции.

Произведение — итог действия, результат математической операции.

Знак умножения в алгебре обозначается (∙) точкой в середине строки. Допустимо в печати использование крест (х), в компьютерной печати нередко используется звездочка (*).

Описание основных правил, порядок действий

Чтобы произвести умножение в алгебре, нужно помнить и понимать смысл самой математической операции.

25 х 4 = 25 + 25 + 25 + 25 = 100

Множимое число 25 умножаем на множитель 4 — понимаем это как сумма четырех чисел 25, или как сумма, где 25 сложили 4 раза. 100 — произведение арифметической операции.

При умножении на число с нулями (десять, сто, тысяча, десять тысяч, миллион) достаточно в произведении к множителю дописать нули.

Познакомимся с алгоритмом умножения в столбик. Это поможет в решении многих примеров, в том числе с дробями. Ученик действует по принципу пишу, затем умножаю единицы, затем десятки, наконец сотни.

Решите пример 25 ∙ 16 с помощью столбика.

Чтобы произвести умножение столбиком, действуем последовательно.

Законы с примерами, как проверить результат

В умножении, как и в делении, сложении и вычитании, есть свои нормы и порядки.

Переместительный закон умножения

От перестановки слагаемых сумма чисел не меняется. Этот же закон действует и для умножения. Если множитель и множимое поменять местами, полученное произведение чисел не изменится.

Переместительный закон гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется.

a ∙ b = b ∙ a

Разберем переместительный закон на примере задачи.

У садовника в трех корзинах было по 14 груш. Сколько всего было груш в корзинах?

Решение: 14 ∙ 3 = 42 (груши) или 3 ∙ 14 = 42 (груши).

Ответ: 42 груши у садовника было в корзинах.

В многоэтажном доме 75 квартир. В каждой квартире проживает 5 жильцов. Сколько всего жильцов в этом многоэтажном доме?

Решение: 75 ∙ 5 = 375 (жильцов) или 5 ∙ 75 = 375 (жильцов).

Ответ: 375 жильцов всего проживает в многоэтажном доме.

Сочетательный закон умножения

Сочетательный закон умножения объясняет, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

То есть фактически при решении уравнения есть возможность менять множители местами. Воспользоваться этой формулой необходимо, например, когда операцию внутри скобок провести легче, чем предложенное прямое уравнение.

71 · 25 · 4 = 71 · (25 · 4) = 710

В данном случае найти произведение 25 · 4 не составит труда у школьников, тогда как умножение 71 на 25 довольно длительная и проблематичная операция.

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения действует относительно двух других важных операций: сложение и вычитание.

а ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ с

Если нужно умножить число на сумму чисел, допускается умножить число отдельно на каждое из этих чисел и затем произвести сложение.

5 ∙ (12 + 16) = 5 ∙ 28 = 140

5 ∙ 12 + 5 ∙ 16 = 60 + 80 = 140

Как мы можем убедиться из этого примера, при одинаковом произведении произвести операцию в данном случае через сумму отдельных произведений a ∙ b + a ∙ с проще.

а ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ с

Для умножения числа на множитель, который представляет собой операцию вычитания, нужно умножить число отдельно на каждое из чисел в скобках, а затем произвести вычитание.

В данной арифметической операции к итогу 144 также можно прийти двумя способами. Решение примера по математике зависит от предложенных в задании компонентов и логической мысли ученика.

Источник