Можете объяснить максимально простыми словами, что такое метрика пространства-времени?
Лучше всего про метрику пространства уже ответил Владимир Замятин: это формула, по которой вычисляется расстояние между двумя точками из их координат. «Пространство-время» в физике — это, с математической точки зрения, тоже пространство, только 4-хмерное и с особыми свойствами. С помощью метрики вычисляется расстояние между двумя точками этого пространства.
Только важно учесть, что, поскольку пространство-время включает в себя три пространственных координаты и одну временну́ю, это «расстояние» с точки зрения физики не есть только лишь расстояние в пространстве, но и во времени тоже. Поэтому, чтобы не путать с чисто пространственным расстоянием, такая дистанция между двумя точками пространства-времени называется интервалом.
Так, получается, метрика пространства-времени — это формула, по которой вычисляется интервал между двумя точками.
Метрика Евклидова 2-хмерного пространства (плоскости) совпадает с теоремой Пифагора: Δx² + Δy² = d², где d — расстояние между двумя точками, а Δx и Δy — разность их координат (т. е. Δx = x₂–x₁, Δy = y₂–y₁,).
Однако, пространство-время не является Евклидовым, свойства временной координаты отличаются от свойств пространственных координат: при расчёте интервалов из квадрата временной координаты вычитаются все пространственные координаты (т. е. квадрат временной координаты берётся с противоположным знаком к квадратам пространственных координат):
Пространство с такой метрикой называется пространством Минковского, и оно служит моделью для пространства-времени в физике. Особые свойства четвёртой координаты геометрическим способом объясняют парадоксы специальной теории относительности (такие, как парадокс близнецов и т. д.).
То есть, одно и то же множество можно по-разному превращать в метрическое пространство.
Открытые шары [ править ]
Для метрических пространств основное значение имеют открытые шары.
Пример открытого шара [ править ]
Свойства шаров [ править ]
Замечание: для [math]X = \mathbb[/math] это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).
Пусть [math] y \in V_(b)[/math]
Открытые множества [ править ]
Определение:
Множество [math] G \subset X [/math] называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров). [math] \tau [/math] — класс открытых множеств. [math] \tau = \< G [/math] — открытые в МП [math](X, \rho) \>[/math]
Свойства открытых множеств [ править ]
Доказательство свойства 3:
Докажем для двух множеств. Тогда, очевидно, это будет верно и для [math]n[/math] множеств. [math] G_1 = \bigcup\limits_<\alpha>V_<\alpha>; G_2 = \bigcup\limits_<\beta>V_ <\beta>[/math] [math] G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_<\alpha, \beta>(V_ <\alpha>\cap V_<\beta>) [/math] По основному свойству шаров: [math] b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow \exists V(b) \subset V_\alpha \cap V_\beta [/math] Следовательно [math] V_ <\alpha>\cap V_ <\beta>[/math] — объединение открытых шаров [math] \Rightarrow G_1 \cap G_2 [/math] — тоже объединение открытых шаров [math] \Rightarrow G_1 \cap G_2 \in \tau[/math] по 2 свойству.
Замкнутые множества [ править ]
Применяя закон де Моргана, видим что класс открытых множеств [math] \tau [/math] двойственен классу замкнутых множеств.
Последовательность [math]x_n[/math] сходится к [math]x[/math] в МП [math](X, \rho)[/math] (записывают [math] x = \lim\limits_ x_n[/math] ), если [math] \rho(x_n, x) \xrightarrow[n \to \infty]<> 0[/math]
Некоторые примеры метрических пространств:
Центральную роль в изучении МП играют шары:
На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.
Для любого МП [math](X, \rho)[/math] можно ввести метрическую топологию: выделим в [math] X [/math] семейство открытых множеств [math]\tau[/math] множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:
В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.
[math]\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)[/math]
[math]\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon \gt 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) \lt \rho(x_2, A) + \varepsilon[/math]
Замечание: в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.
Метрические пространства удовлетворяют аксиоме нормальности:
Утверждение (нормальность МП):
(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)
Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами.
Утверждение (принцип вложенных шаров):
Если в пространстве существует счетное всюду плотное множество, такое пространство называют сепарабельным.
Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Теорема Хаусдорфа об ε-сетях
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Нужно установить равносильность сходимости [math] \overline x^ <(n)>\in R^ <\infty>[/math] и ее сходимости в себе.
Смотреть что такое «МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ» в других словарях:
Метрика пространства-времени — У этого термина существуют и другие значения, см. Метрика. Схематическая двумерная иллюстрация искривления пространства времени возле массивного тела Метрика пространства времени 4 тензор, к … Википедия
метрика пространства-времени — erdvės ir laiko metrika statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. space time metric vok. Raum Zeit Metrik, f rus. метрика пространства времени, f pranc. métrique d’espace temps, f … Fizikos terminų žodynas
Метрика пространства-времени — определяет геометрические свойства четырёхмерного пространства времени (объединяющего физическое трёхмерное пространство и время) в относительности теории (См. Относительности теория). М. п. в. характеризуется инвариантной (не зависящей… … Большая советская энциклопедия
Метрика пространства-времени — (см. Метрика, Пространство Время) основной закон, определяющий геометрические свойства четырехмерного пространства времени Минковского, Римана, Шварцшильда и др. Указанная метрика играет фундаментальное значение в формулировке физических законов … Начала современного естествознания
Метрика — имеет несколько значений: В математике Метрика функция, определяющая расстояния в метрическом пространстве. Метрика альтернативное название метрического тензора, в частности Метрика пространства времени 4 тензор, который… … Википедия
Метрика Шварцшильда — Общая теория относительности … Википедия
Риманова метрика — Метрический тензор или метрика это симметричный тензор ранга 2 на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д. В частном случае… … Википедия
Путешествие во времени — Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии … Википедия
В неинерциальных системах отсчёта вид метрики пространства-времени изменяется и в общем зависит от точки пространства и момента времени.
Метрика пространства-времени задаёт искривление пространства, которое ощущает наблюдатель, который движется с ускорением. Так как за принципом эквивалентности наблюдатель никаким образом не может отличить неинерционность связанной с ним системы отсчёта от гравитационного поля, то метрика пространства-времени определяет также искривление пространства в поле массивных тел.
Пространственно-временной интервал выражается через метрику пространства-времени формулой
.
Так как метрика задаёт превращения координат, то её называют также метрическим тензором.
Метрика пространства-времени используется для установления связи между ковариантными и контравариантными записями любого 4-вектора
.
Содержание
Свойства
Метрический тензор симметричный относительно своих индексов, то есть . Это видно из общей формулы для квадрата дифференциала пространственно-временного интервала. Детерминант метрики пространства-времени, который обозначается через g, отрицательный.
Контравариантная форма метрического тензора связана с ковариантной с помощью полностью антисимметрического тензора четвёртого порядка
,
Метрический тензор, как и какой-либо симметрический тензор, возможно выбором системы отсчёта свести к диагональному виду. Однако эта операция справедлива только к определённой точке пространства-времени и, в общем случае, не может быть проведена для всего пространства-времени.
Собственное время
Квадрат дифференциала пространственно-временного интервала для одной пространственной точки равен
,
называют собственным временем для данной точки пространства.
Пространственный интервал
Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками задаётся формулой
Греческие индексы используются тогда, когда суммирование ведётся лишь по пространственным координатам. Тензор есть метрическим тензором для трёхмерного пространства.
Интегрировать определённое таким образом расстояние нельзя, так как результат зависел бы от мировой линии, по которой бы велось интегрирование. Таким образом, в общей теории относительности понятия расстояния между далёкими объектами в трёхмерном пространстве теряет смысл. Единое исключение — ситуация, в которой метрический тензор не зависит от времени.
См. также
Внешние ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Метрика пространства-времени» в других словарях:
МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ — в теории относительности, задаёт расстояния (интервалы) между точками пространства времени (событиями) и, т. о., полностью определяет геометрические свойства четырёхмерного пространства времени. (см. ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ, ТЯГОТЕНИЕ). Физический … Физическая энциклопедия
метрика пространства-времени — erdvės ir laiko metrika statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. space time metric vok. Raum Zeit Metrik, f rus. метрика пространства времени, f pranc. métrique d’espace temps, f … Fizikos terminų žodynas
Метрика пространства-времени — определяет геометрические свойства четырёхмерного пространства времени (объединяющего физическое трёхмерное пространство и время) в относительности теории (См. Относительности теория). М. п. в. характеризуется инвариантной (не зависящей… … Большая советская энциклопедия
Метрика пространства-времени — (см. Метрика, Пространство Время) основной закон, определяющий геометрические свойства четырехмерного пространства времени Минковского, Римана, Шварцшильда и др. Указанная метрика играет фундаментальное значение в формулировке физических законов … Начала современного естествознания
Метрика — имеет несколько значений: В математике Метрика функция, определяющая расстояния в метрическом пространстве. Метрика альтернативное название метрического тензора, в частности Метрика пространства времени 4 тензор, который… … Википедия
Метрика Шварцшильда — Общая теория относительности … Википедия
Риманова метрика — Метрический тензор или метрика это симметричный тензор ранга 2 на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д. В частном случае… … Википедия
Путешествие во времени — Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии … Википедия
.
.
.
.
. Это видно из общей формулы для квадрата дифференциала пространственно-временного интервала. Детерминант метрики пространства-времени, который обозначается через g, отрицательный.
,
,
есть метрическим тензором для трёхмерного пространства.