что такое метод размерностей при решении физических задач
Что такое метод размерностей при решении физических задач
Итак, начнем с размерностей. Они делятся на основные и производные.
Сразу оговоримся, раньше официально в качестве основной единицы использовался Кулон (Кл), а не Ампер (А). Теперь же Кулон получается из Ампера, который определяется непосредственно по силе взаимодействия двух определенных проводников с током именно, как сила взаимодействия (притяжения или отталкивания) проводников с током.
Все очень логично – сила тока 1 Ампер есть такой ток (т.е. количество переносимого в единицу времени (с) заряда (Кл) в проводниках), который вызывает силу взаимодействия величиной 1 Ньютон между двумя проводниками с током длиной в 1 метр каждый, которые находятся на расстоянии 1 метр.
Видите, как все взаимосвязано!
Считается, что основные величины размерностей – это некие эталонные величины, которые мы находим экспериментально. Причем в этих экспериментах каждый раз получаются одинаковые значения физических величин при одинаковых условиях измерений.
Например, метр – это, по сути, металлический стержень, который хранится во Франции в специальном институте («Международное бюро мер и весов» — постоянно действующая организация со штаб-квартирой, расположенной в городе Севр недалеко от Парижа) при определенной температуре (и других постоянных условиях), с которым мы должны сравнивать и измерять все остальные «метры».
Секунда, это примерно (1 / 86400) одна восьмидесятишеститысяччетырехсотая средних астрономических суток. И к тому же эти сутки меняются со временем, правда очень медленно. Но зато у нас есть всемирная служба точного времени, которая сообщает нам, когда заканчивается один час и начинается другой.
Метр, что интересно, — это и единица коэффициента трения качения, и единица длины волны излучения, и длины свободного пробега, и оптической длины пути, и фокусного расстояния, и комптоновской длины волны, и длины волны де Бройля и многих других физических величин, имеющих размерность длины.
По определению, метр равен расстоянию, которое проходит свет в вакууме за промежуток времени, равный 1 / 299 792 458 секунды. Такое определение метра (в терминах времени и скорости света) было принято на XVII Генеральной конференции по мерам и весам в 1983 году.
С практической точки зрения, для решения физических задач, эти подробности не слишком важны. Важно, что каждой физической величине соответствует своя размерность. И что эти величины с размерностями можно складывать или вычитать, только если они одинаковые.
Но их можно также умножать и делить. И при этом образуются новые физические величины (новые размерности).
Сейчас мы с вами займемся конструированием физических величин.
Дальше можете продолжить сами!
Вопрос: Может быть квадратный килограмм?
Ответ: Может. Но только физического смысла в этом нет никакого.
Ниже приведена таблица размерностей с названиями физических величин.
Таблица размерностей физических величин.
Основная размерность
МАССА
Основная размерность
ДЛИНА
Основная размерность
ВРЕМЯ
Основная размерность
СИЛА ТОКА
Основная размерность
ТЕРМО-
ДИНАМИ-
ЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА
Основная размерность
Количество вещества
Основная размерность
Сила света
Физика дома
Метод размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон сформулировал тесно связанный с методом размерностей принцип подобия (аналогии)
Метод размерностей позволяет
Как было сказано в видео, метод не позволяет определять числовые коэффициенты, входящие в формулы, но зависимости определяются очень точно.
Чтобы овладеть данным методом — необходимо уяснить его суть. И немного потренироваться.
А ниже я хочу предложить таблицу, с помощью которой работу с единицами измерений будет проводить значительно проще.
Физическая величина
Обозначение
Формула
Размерность
Размерность в СИ
В литературе можно найти каким образом через метры, время и килограммы выражаются и электрический заряд, и электрическое сопротивление, и магнитный поток, и многие другие физические величины.
Но в школе эти размерности не используются, поэтому в таблице указаны те единицы измерения, которые используются на уроках в школе.
Дешковский А., Койфман Ю.Г. Метод размерностей в решении задач
Дешковский А., Койфман Ю. Метод размерностей в решении задач //ФПВ. – 2002. – № 2. – С. 71-81.
При решении задач по физике на любом уровне необычайно важно определить наиболее приемлемый метод или методы, а уж затем перейти к «техническому» воплощению. Учителя-виртуозы (мы сознательно употребили это выражение, так как считаем во многом схожим прочтение музыкального произведения музыкантами-импровизаторами и учителями-виртуозами, нашедшими собственные, авторские подходы в трактовке и толковании физических закономерностей) уделяют много времени предварительному обсуждению проблемы. Говоря другими словами, обсуждение метода зачастую не менее важно, чем решение задачи, поскольку происходит своеобразный обмен методиками, соприкосновение различных точек зрения, что, собственно, и является целью процесса обучения. Процесс подготовки к решению задачи во многом напоминает процесс подготовки актера к спектаклю. Обсуждение ролей, характеров героев, обдумывание интонаций, музыкальных реприз и художественных декораций являются важнейшими элементами погружения актера в роль. Не случайно, что многие известные театральные работники ценят подготовительный процесс и вспоминают атмосферу репетиций и собственные находки. В процессе преподавания учитель использует различные методы или «спектр методов». Одним из общих методов решения является решение задач методом размерности. Суть данного метода заключается в том, что искомая закономерность может быть представлена в виде произведения степенных функций физических величин, от которых зависит искомая характеристика. Важным моментом в решении является нахождение этих величин. Анализ размерностей левой и правой частей соотношения позволяет определить аналитическую зависимость с точностью до постоянного множителя.
(1)
Здесь p– давление газа, т0 – масса молекулы, n – концентрация, u – скорость молекулы.
Зависимость (1) на языке размерностей имеет вид:
(2)
(3)
Сравнение размерности левой и правой части дает систему уравнений
(4)
(5)
Обратим внимание на то, что коэффициент пропорциональности нельзя определить, используя метод размерностей, но, тем не менее, мы получили неплохое приближение к известному соотношению (основное уравнение мо-лекулярно-кинетической теории).
Рассмотрим несколько задач, на примере решения которых продемонстрируем суть метода размерностей.
(6)
Представим все вышеупомянутые величины:
(7)
С учетом (7) перепишем искомую закономерность выражением
(8)
(9)
Теперь уже нетрудно записать систему уравнений:
(10)
(11)
(12)
Задача 2. Эксперименты показали, что скорость звука в газах зависит от давления и плотности среды. Сравните скорости звука в газе для двух состояний 
.
На первый взгляд кажется, что нам необходимо ввести в рассмотрение температуру газа, так как хорошо известно, что скорость звука зависит от температуры. Однако (сравните с рассуждением выше) давление может быть выражено как функция плотности (концентрации) и температуры среды. Поэтому одна из величин (давление, плотность, температура) является «лишней». Поскольку по условию задачи нам предлагается сравнить скорости разных давлений и плотностей, то разумно исключить из рассмотрения температуру. Отметим, что если бы нам надо было сделать сравнение для разных давлений и температур, то мы бы исключили плотность.
(13)
(14)
(15)
Решение (15) дает 
.
(16)
(17)
(18)
Задача 3. На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой F. Для того чтобы канат не скользил по столбу, когда на столб намотан лишь один виток, второй конец удерживается с силой f. С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если на столб намотано n витков? Как изменится сила f, если выбрать столб вдвое большего радиуса? (Сила f не зависит от толщины каната.)
(19)
(20)
(21)
(22)
Хорошо известно, что «метод размерностей» зачастую с успехом применяется в гидродинамике и аэродинамике. В некоторых случаях он позволяет «оценить решение» достаточно быстро и с хорошей степенью надежности.
Задача 4. Оцените силу сопротивления тел, движущихся в жидкости.
(23)
(24)
(25)
где 
. Коэффициент с характеризует обтекаемость тел и принимает различные значения для тел: для шара с = 0,2 – 0,4, для круглого диска с = 1,1 – 1,2, для каплеобразного тела с » 0,04. (Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. – Т. 1. – М.: Наука, 1974.)
До сих пор мы рассматривали примеры, в которых коэффициент пропорциональности оставался безразмерной величиной, однако это не означает, что мы должны всегда следовать этому. Вполне возможно сделать коэффициент пропорциональности «размерным», зависящим от размера основных величин. Например, вполне уместно представить гравитационную постоянную 
. Говоря другими словами, наличие размерности у гравитационной постоянной означает, что ее численное значение зависит от выбора основных величин. (Здесь нам кажется уместным сделать ссылку на статью Д.В.Сивухина «О международной системе физических величин», УФН, 129, 335, 1975.)
Задача 5. Определите энергию гравитационного взаимодействия двух точечных масс т1 и т2, находящихся на расстоянии r друг от друга.
(26)
(27)
Анализируя соотношение (26), найдем, что
(28)
Задача 6. Найдите силу взаимодействия между двумя точечными зарядами q1 и q2, находящимися на расстоянии r.
(29)
(30)
Проделав все преобразования, получим систему уравнений
(31)
(32)
(33)
В соотношении (33) отсутствует безразмерный коэффициент 4π, который был введен по историческим причинам.
Задача 7. Определите напряженность гравитационного поля бесконечного цилиндра радиусом r0 и плотностью r на расстоянии R (R > r0) от оси цилиндра.
(34)
(35)
Составим систему уравнений:
(36)
(37)
Отметим, что замена переменной позволила упростить решение задачи.
Решить же предложенную задачу методом размерностей без замены переменной весьма сложно.
Рассмотрим задачу, которую можно решить, применяя принцип разбиения «одинаковой» размерности на «разные».
Задача 8. Оцените дальность полета и высоту тела, брошенного под углом a к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебречь.
. (38)
(39)
(40)
(41)
Данный метод является более сложным, однако хорошо работает, если имеется возможность различить величины, измеряемые одной и той же единицей измерения. Например: инерционная и гравитационная масса («инерционные» и «гравитационные» килограммы), вертикальное и горизонтальное расстояние («вертикальные» и «горизонтальные» метры), сила тока в одной и другой цепи и т.п.
Суммируя все вышеизложенное, отметим:
1. Метод размерностей может быть использован в случае, если искомая величина может быть представлена в виде степенной функции.
2. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу и получить ответ с точностью до коэффициента.
3. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.
4. Анализ размерностей при решении задач широко используется в научных исследованиях.
5. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.