что такое медиана биссектриса и высота треугольника 7 класс геометрия

Биссектриса, медиана и высота.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

\( AD=BD\)
\(CD- медиана\)

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону

\(AH \) Высота треугольника \( ABC \)

\(FE \) Высота треугольника \( HFD \)

Дано: \(BH \) медиана и высота

\( 1)\:\: AH=HC \) (так как \(BH\) медиана )
2) \(∡AHB=∡BHC=90^0 \) (так как \(BH\) высота)
3) \(BH\) общая
\(\Rightarrow ΔABH=ΔBHC\) по первому признаку.

Дано: \(BH \) медиана и высота, \(AB=7 \)

Сначала докажем равенство треугольников \(ABH \) и \( BHC \) :

\( 1)\:\: AH=HC \) (так как \(BH\) медиана )
2) \(∡AHB=∡BHC=90^0 \) (так как \(BH\) высота)
3) \(BH\) общая
\(\Rightarrow ΔABH=ΔBHC\) по первому признаку.

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны

Источник

Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

теория по математике 📈 планиметрия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний
Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС.	Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС.	Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС.

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD₁, EE₁ и CC₁.

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН₁, ВН₂ и СН₃.

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Урок 8. Геометрия 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника»

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Например, возьмём треугольник АВС.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

Например, возьмём некоторый треугольник АВС.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из его вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Изобразим треугольник АВС и отрезки АF1, BF2 и CF3, которые являются высотами нашего треугольника.

Высоты, проведённые из вершин А, В и С (или их длины) треугольника АВС можно обозначить:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

3. Высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.

Ответим на вопрос: Может ли точка пересечения высот лежать вне треугольника?

Да, когда у него один угол тупой.

А может ли точка пересечения высот лежать в вершине треугольника?

Да, может, когда у треугольника есть прямой угол.

Следовательно, треугольник АDВ равен треугольнику CDE по первому признаку равенства треугольников.

Источник

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

Доказательство

Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac>> = \dfrac = \dfrac\]

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

Доказательство

Источник

Презентация по геометрии в 7 классе на тему «Высота, медиана и биссектриса треугольника»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Высота, медиана и биссектриса треугольника Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из данной вершины к прямой, проходящей через противоположную сторону. А В С К М N S СК – высота треугольника АВС MS – высота треугольника РМN

У любого треугольника – три высоты: Высоты перпендикулярны прямым, содержащим противоположные стороны. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке – в точке О. Сделай в тетради такой же рисунок, запиши высоты треугольника АВС. Укажи прямые углы. А В С А1 В1 С1 О

Высота, медиана и биссектриса треугольника Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. А В С К М N P S СК – биссектриса треугольника АВС MS – биссектриса треугольника РМN

У любого треугольника – три биссектрисы: Биссектрисы делят углы треугольника пополам. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – в точке О. Сделай в тетради такой же рисунок, запиши биссектрисы треугольника АВС. Укажи равные углы. А В С А1 В1 С1 О

Высота, медиана и биссектриса треугольника Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны. А В С К М N P S СК – медиана треугольника АВС MS – медиана треугольника РМN

У любого треугольника – три медианы: Медианы делят противоположные стороны треугольника пополам. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке – в точке О. Сделай в тетради такой же рисунок, запиши медианы треугольника АВС. Укажи равные отрезки. А В С А1 В1 С1 О

Равнобедренный треугольник А В С Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. АВ=ВС Равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием. АВ и ВС – боковые стороны. АС – основание.

Свойство медианы равнобедренного треугольника А В С В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. D АВС – равнобедренный(АВ=ВС), АD = СD(ВD- медиана)  АВD = CBD, ВD  АC.

Образец решения задачи В А С 1.Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см. Найти боковые стороны, если основание равно 6 см. Дано:  АВС – равнобедр., АС=ВС, Р=26 см, АВ=6см. Найти: АС, ВС. Решение: Р=АВ+АС+ВС, АС=ВС  Р=АВ+2АС, 2АС=Р – АВ = 26 – 6 = 20,  АС = 20 : 2 = 10. Ответ: АС=ВС=10 см.

Образец решения задачи В А С 2.В равнобедренном треугольнике боковая сторона на 3 см больше основания, а периметр равен 27 см. Найти стороны треугольника. Дано:  АВС – равнобедр., АС=ВС, Р=27 см, АС>АВ на 3 см. Найти: АВ, АС, ВС. Решение: Р=АВ+АС+ВС, Пусть АВ=х, тогда АС=ВС=х+3. Составим уравнение: х+х+3+х+3=27  Ответ: АВ= 7 см, АС=ВС=10 м. 3х+6=27  3х=27 – 6=21  х=21 : 3 = 7  АВ= 7 см, АС=ВС= 7+3=10 см.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1106872

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В 16 регионах ввели обязательную вакцинацию для студентов старше 18 лет

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

На базе колледжей создадут программы профориентации

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Правительство предложило потратить до 1 млрд рублей на установку флагов РФ у школ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник