что такое математическое ожидание в теории вероятности

Случайные величины. Дискретная случайная величина.
Математическое ожидание

Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам, которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности*, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности.

* Иногда используют что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности, а также греческие буквы

Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей, где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.

В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем); при этом случайная величина что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностиможет принять одно из следующий значений:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности.

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности, либо что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностимальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах).

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂

Тем не менее, ваши гипотезы?

Коль скоро речь идёт о множестве действительных чисел, то случайная величина что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностиможет принять несчётно много значений из некоторого числового промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.

Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы:

1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно.

…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры!

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную.

Закон распределения дискретной случайной величины

– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности
Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностиобязательно примет одно из значений что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности, то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

или, если записать свёрнуто:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Найти что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.

Решение: так как случайная величина что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностиможет принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Разоблачаем «партизана»:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– таким образом, вероятность выигрыша что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностиусловных единиц составляет 0,4.

Контроль: что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности, в чём и требовалось убедиться.

Ответ: что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностирублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностирублей составляет:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

И для что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Проверка: что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ: искомый закон распределения выигрыша:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Следующее задание для самостоятельного решения:

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Составить закон распределения случайной величины что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностипринимает значения что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностис вероятностями что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностисоответственно. Тогда математическое ожидание что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностиданной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

или в свёрнутом виде:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– количества выпавших на игральном кубике очков:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностиочка

В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности, таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения.

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.

Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

Случайная величина что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятностизадана своим законом распределения вероятностей:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Найти что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности, если известно, что что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Выполнить проверку.

Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.

Пример 3. Решение: по условию что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– вероятность попадания в мишень. Тогда:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– вероятность промаха.

Составим что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– закон распределения попаданий при двух выстрелах:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– ни одного попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– одно попадание. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Ответ: что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Примечание: можно было использовать обозначения что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности– это не принципиально.

Пример 4. Решение: игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности
Вычислим математическое ожидание:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности
Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.

Пример 5. Решение: по определению математического ожидания:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности
поменяем части местами и проведём упрощения:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности
таким образом:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Выполним проверку:
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности
что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности, что и требовалось проверить.

Ответ: что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

Каждая, отдельно взятая величина полностью определяется своей функцией распределения. Также, для решения практических задач хватает знать несколько числовых характеристик, благодаря которым появляется возможность представить основные особенности случайной величины в краткой форме.

К таким величинам относят в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины в теории вероятностей. Обозначается как что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности.

Самым простым способом математическое ожидание случайной величины Х(w), находят как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере Р исходном вероятностном пространстве что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Еще найти математическое ожидание величины можно как интеграл Лебега от х по распределению вероятностей РХ величины X:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

где что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности— множество всех возможных значений X.

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

при этом интегрируемость X в смысле (*) соответствует конечности интеграла

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

если X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

при этом существование математического ожидания равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла.

Свойства математического ожидания случайной величины.

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Алгоритм вычисления математического ожидания.

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению приравнять отличную от нуля вероятность.

2. Складываем произведение каждой пары xipi.

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых имеют положительный знак.

Пример: Найти математическое ожидание по формуле:

Найти математическое ожидание по формуле:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Математическое ожидание M[X] равно:

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть фото что такое математическое ожидание в теории вероятности. Смотреть картинку что такое математическое ожидание в теории вероятности. Картинка про что такое математическое ожидание в теории вероятности. Фото что такое математическое ожидание в теории вероятности

Источник

Математическое ожидание случайной величины

Содержание

Математическое ожидание случайной величины [ править ]

Определение:
Математическое ожидание (англ. mean value) [math] \left( E\xi \right) [/math] — мера среднего значения случайной величины, равная [math]E\xi = \sum \xi(\omega) \cdot p(\omega)[/math]
Доказательство:[math]\triangleright[/math][math]\sum\limits_a \sum\limits_ <\omega|\xi(\omega) = a>\xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_<\omega|\xi(\omega)=a>p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)[/math][math]\triangleleft[/math]

Пример [ править ]

Пусть наше вероятностное пространство — «честная кость»

[math] E\xi = 1\cdot \dfrac<1><6>+2\cdot \dfrac<1> <6>\dots +6\cdot \dfrac<1> <6>= 3.5[/math]

Свойства математического ожидания [ править ]

Утверждение (о матожидании случайной величины на событии вероятности нуль):

Линейность математического ожидания [ править ]

Использование линейности [ править ]

Рассмотрим три задачи.

Пример 1 [ править ]

Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.

Получаем ответ [math]E(\xi+\eta)=2E(\xi)=6[/math]

Пример 2 [ править ]

Итоговый результат: [math]E(\xi)=<\sum_^n \limits>E(\xi^i)=\dfrac [/math]

Пример 3 [ править ]

Пусть [math] \xi [/math] — случайная величина, которая возвращает количество инверсий в перестановке.

Очевидно, что вероятность любой перестановки равна [math] \dfrac<1> [/math]

Докажем, что количество инверсий в этих двух перестановках равно [math] \dfrac <2>[/math]

Примеры распределений [ править ]

Распределение Бернулли [ править ]

Случайная величина [math]\xi[/math] имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: [math]1[/math] и [math]0[/math] с вероятностями [math]p[/math] и [math]q \equiv 1-p[/math] соответственно. Таким образом:

[math]P(\xi = 1) = p[/math] [math]P(\xi = 0) = q[/math]

Тогда несложно догадаться, чему будет равно математическое ожидание:

[math]E(\xi) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p[/math]

Гипергеометрическое распределение [ править ]

Гипергеометрическое распределение в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из [math]N[/math] элементов. Предположим, что [math]D[/math] из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся [math]N-D[/math] этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из [math]n[/math] элементов. Пусть [math]a[/math] — случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности [math]a[/math] имеет вид:

где [math]C_n^k \equiv \dfrac[/math] обозначает биномиальный коэффициент.

Формула математического ожидания для гипергеометрического распределения имеет вид:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *