что такое линейный фильтр

Линейный фильтр

Линейный фильтр — динамическая система, применяющая некий линейный оператор ко входному сигналу для выделения или подавления определённых частот сигнала и других функций по обработке входного сигнала. Линейные фильтры широко применяются в электронике, цифровой обработке сигналов и изображений, в оптике, теории управления и других областях.

Наиболее часто они используются для того, чтобы подавить нежелательные частоты входного сигнала или для того чтобы выделить нужную полосу частот в сигнале. Существует большое количество различных типов и модификаций линейных фильтров, в статье описаны наиболее распространённые.

Несмотря на природу фильтра — механическую, оптическую, электронную, программную или электрическую, а также на частотный диапазон, в котором они работают, математическая теория линейных фильтров универсальна и может быть применена к любому из них.

Содержание

Классификация по передаточной функции

Импульсная переходная функция

Линейные фильтры разделяются на два больших класса по виду импульсной переходной функции: фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры) и фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры). До недавнего времени практическое использование имели только аналоговые БИХ-фильтры, однако с развитием цифровой техники КИХ-фильтры стали применяться повсеместно.

Частотные характеристики

По виду частотной характеристики фильтры подразделяются на:

Полосовые и режекторные фильтры могут быть сконструированы путём последовательного соединения фильтров низких и высоких частот.

Проектирование фильтров

Линейные фильтры всех видов могут быть однозначно описаны с помощью их амплитудной и фазо-частотной характеристик, либо импульсной характеристики. С математической точки зрения непрерывные БИХ-фильтры описываются линейными дифференциальными уравнениями, а их импульсные характеристики — функции Грина для этих уравнений. Непрерывные фильтры также могут быть описаны с помощью преобразования Лапласа импульсной характеристики (в случае дискретных фильтров используется Z-преобразование).

Для проектирования фильтров широко применяются графические способы, например, с помощью диаграмм Боде или Найквиста, а также проектирование на комплексной плоскости, путём размещения нулей и полюсов передаточной функции фильтра.

Существует ряд различных типов фильтров по виду частотной характеристики, обеспечивающих качественное выполнение тех или иных задач.

Наиболее распространённые типы БИХ-фильтров:

КИХ-фильтры могут быть осуществлены с помощью свёртки сигнала с импульсной характеристикой фильтра.

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Линейный фильтр» в других словарях:

линейный фильтр — сетевой фильтр фильтр в цепи питания — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы сетевой фильтрфильтр в цепи питания EN line filter … Справочник технического переводчика

линейный фильтр — tiesinis filtras statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. linear filter vok. lineares Filter, n rus. линейный фильтр, m pranc. filtre linéaire, m … Automatikos terminų žodynas

заградительный линейный фильтр — užtvarinis linijos filtras statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. line trap vok. Liniensperrfilter, n rus. заградительный линейный фильтр, m pranc. filtre d arrêt de ligne, m … Radioelektronikos terminų žodynas

Фильтр Гаусса — Линейные электронные фильтры Фильтр Баттерворта Фильтр Чебышева Эллиптический фильтр Фильтр Бесселя Фильтр Гаусса Фильтр Лежандра Фильтр Габора … Википедия

Фильтр Лежандра — Линейные электронные фильтры Фильтр Баттерворта Фильтр Чебышева Эллиптический фильтр Фильтр Бесселя Фильтр Гаусса Фильтр Лежандра Фильтр Габора … Википедия

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой — (Рекурсивный фильтр, БИХ фильтр) или IIR фильтр (IIR сокр. от infinite impulse response бесконечная импульсная характеристика) линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть… … Википедия

Фильтр Калмана — Фильтр Калмана эффективный рекурсивный фильтр, оценивающий вектор состояния динамической системы, используя ряд неполных и зашумленных измерений. Назван в честь Рудольфа Калмана. Фильтр Калмана широко используется в инженерных и… … Википедия

Фильтр Габора — Пример двухмерного фильтра Габора Фильтр Габора линейный электронный фильтр, импульсная переходная характеристика которого определяется в виде гармонической функции, помноженной на гауссиан. При цифровой обработке изображений этот фильтр… … Википедия

Гребенчатый фильтр — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Гребенчатый фильтр в обработке сигналов электронный фильтр, при прохождении сигнала че … Википедия

Решетчатый фильтр — Спектры различных решётчатых фильтров Гребенчатый фильтр в обработке сигналов электронный фильтр, при прохождении сигнала через который к нему добавляется он сам с какой то задержкой, в результате чего получается фазовая компенсация. АЧХ… … Википедия

Источник

Фильтрация изображений

8.1. Введение

Фильтрация изображений аналогична такому разглядыванию мира через стеклянную пластину, хотя и позволяет добиться гораздо большего разнообразия эффектов, чем эксперименты с разными пластинами. Под фильтрацией изображений понимают операцию, имеющую своим результатом изображение того же размера, полученное из исходного по некоторым правилам. Обычно интенсивность (цвет) каждого пикселя результирующего изображения обусловлена интенсивностями (цветами) пикселей, расположенных в некоторой его окрестности в исходном изображении.

Правила, задающие фильтрацию (их называют фильтрами ), могут быть самыми разнообразными. В этой лекции мы рассмотрим простейшие фильтры. Заметим, что, согласно предложенному определению, операция, заключающаяся в последовательном применении двух или более фильтраций, тоже является фильтрацией. Таким образом, можно говорить о составных фильтрах, соответствующих комбинациям простых. Изучив основные типы фильтров в данной лекции, мы будем иметь дело с применением фильтров, составленных из них, для решения разнообразных задач в последующих лекциях. Фильтрация изображений является одной из самых фундаментальных операций компьютерного зрения, распознавания образов и обработки изображений. Фактически, с той или иной фильтрации исходных изображений начинается работа подавляющего большинства методов. Рассматриваемые в этой лекции фильтры имеют, таким образом, чрезвычайную важность с точки зрения их применения в различных приложениях.

8.2. Линейные фильтры

Определение

( 8.1)

( 8.2)

Выбор конкретного способа нужно производить с учетом конкретного фильтра и особенностей конкретного приложения.

Разобрав общее определение линейных фильтров, перейдем к примерам.

Источник

Фильтрация изображений

8.1. Введение

Фильтрация изображений аналогична такому разглядыванию мира через стеклянную пластину, хотя и позволяет добиться гораздо большего разнообразия эффектов, чем эксперименты с разными пластинами. Под фильтрацией изображений понимают операцию, имеющую своим результатом изображение того же размера, полученное из исходного по некоторым правилам. Обычно интенсивность (цвет) каждого пикселя результирующего изображения обусловлена интенсивностями (цветами) пикселей, расположенных в некоторой его окрестности в исходном изображении.

Правила, задающие фильтрацию (их называют фильтрами ), могут быть самыми разнообразными. В этой лекции мы рассмотрим простейшие фильтры. Заметим, что, согласно предложенному определению, операция, заключающаяся в последовательном применении двух или более фильтраций, тоже является фильтрацией. Таким образом, можно говорить о составных фильтрах, соответствующих комбинациям простых. Изучив основные типы фильтров в данной лекции, мы будем иметь дело с применением фильтров, составленных из них, для решения разнообразных задач в последующих лекциях. Фильтрация изображений является одной из самых фундаментальных операций компьютерного зрения, распознавания образов и обработки изображений. Фактически, с той или иной фильтрации исходных изображений начинается работа подавляющего большинства методов. Рассматриваемые в этой лекции фильтры имеют, таким образом, чрезвычайную важность с точки зрения их применения в различных приложениях.

8.2. Линейные фильтры

Определение

( 8.1)

( 8.2)

Выбор конкретного способа нужно производить с учетом конкретного фильтра и особенностей конкретного приложения.

Разобрав общее определение линейных фильтров, перейдем к примерам.

Источник

Оптимальная линейная фильтрация: от метода градиентного спуска до адаптивных фильтров

Развивая тему конспектов по магистерской специальности «Communication and Signal Processing» (TU Ilmenau), продолжить хотелось бы одной из основных тем курса «Adaptive and Array Signal Processing». А именно основами адаптивной фильтрации.

Для кого в первую очередь была написана эта статья:

1) для студенческой братии родной специальности;
2) для преподавателей, которые готовят практические семинары, но ещё не определились с инструментарием — ниже будут примеры на python и Matlab/Octave;
3) для всех, кто интересуется темой фильтрации.

Что можно найти под катом:

1) сведения из теории, которые я постарался оформить максимально сжато, но, как мне кажется, информативно;
2) примеры применения фильтров: в частности, в рамках эквалайзера для антенной решетки;
3) ссылки на базисную литературу и открытые библиотеки (на python), которые могут быть полезны для исследований.

В общем, добро пожаловать и давайте разбирать всё по пунктам.

Задумчивый человек на фото — знакомый многим, я думаю, Норберт Винер. Фильтр его имени мы, по большей части, и будем изучать. Однако, нельзя не упомянуть и о нашем соотечественнике — Андрее Николаевиче Колмогорове, чья статья 1941 года также внесла значительный вклад в развитие теории оптимальной фильтрации, которая даже в англоязычных источниках так и называется Kolmogorov-Wiener filtering theory.

Что рассматриваем?

Сегодня мы рассматриваем классический фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ, FIR — finite impulse response), описать который можно следующей простой схемой (рис. 1).

Рис.1. Схема КИХ-фильтра для изучения фильтра Винера.[1. c.117]

Запишем в матричном виде, что именно будет на выходе данного стенда:

Наверное вы уже догадались, что стремиться мы будем к наименьшей разнице между заданным и отфильтрованным сигналом, то есть к наименьшей ошибке. А значит перед нами вырисовывается оптимизационная задача.

Что будем оптимизировать?

Оптимизировать, а точнее минимизировать мы будем не просто ошибку, среднюю квадратичную ошибку (MSE — Mean Sqared Error):

где обозначает функцию издержек (cost function) от вектора коэффициентов фильтра, а обозначает мат. ожидание.

Квадрат в данном случае очень приятен, так как он означает, что перед нами задача выпуклого программирования (я нагуглил только такой аналог английскому convex optimization), что, в свою очередь, подразумевает единственный экстремум (в нашем случае минимум).

У нашей функции ошибки есть каноническая форма [1, c.121]:

где — это дисперсия ожидаемого сигнала, — это вектор кросс-корреляции между входным вектором и ожидаемым сигналом, а — это матрица автокорреляции входного сигнала.

Как мы уже отметили выше, если мы ведем речь о выпуклом программировании, то и экстремум (минимум) у нас будет один. А значит, чтобы найти минимальное значение функции издержек (минимальную среднюю квадратичную ошибку), достаточно найти тангенс угла наклона касательной или, иначе говоря, частную производную по нашей исследуемой переменной:

В оптимальном случае (), ошибка должна быть, конечно же, минимальной, а значит приравниваем производную к нулю:

Собственно, вот она, наша печка, от которой мы будем плясать дальше: перед нами система линейных уравнений.

Как будем решать?

Нужно отметить сразу, что оба решения, которые мы рассмотрим ниже, в данном случае являются теоретическими и учебными, так как и заранее известны (то есть у нас была предполагаемая возможность собрать достаточную статистику для вычисления оных). Однако, разбор таких вот упрощенных примеров — это лучшее, что можно придумать для понимания основных подходов.

Аналитическое решение

Решать эту задачу можно, так сказать, в лоб — с помощью обратных матриц:

Такое выражение называется уравнением Винера-Хопфа (Wiener–Hopf equation) — оно нам ещё пригодится в качестве некого эталона.

Конечно, если быть совсем дотошным, то, наверное, правильнее было бы записать это дело в общем виде, т.е. не с , а с (псевдо-инвертирование):

Однако, автокорреляционная матрица не может быть не-квадратной или сингулярной, поэтому вполне справедливо считаем, что никакого противоречия нет.

Из данного уравнения аналитически можно вывести, чему будет равняться минимальное значение функции издержек (т.е. в нашем случае MMSE — minimum mean square error):

Хорошо, одно решение есть.

Решение итеративным методом

Однако, да, решать систему линейных уравнений можно и без инвертирования автокорреляционной матрицы — итеративно (to save computations). Для этой цели рассмотрим родной и понятный метод градиентного спуска (method of steepest/gradient descent).

Суть алгоритма можно свести к следующему:

Отсюда и название: gradient — градиентный или steepest — пошаговый descent — спуск.

Градиент в нашем случае уже известен: по сути, мы нашли его, когда дифференцировали функцию издержек (поверхность же вогнутая, сравните с [1, с. 220]). Запишем как будет выглядеть формула для итеративного обновления искомой переменной (коэффициентов фильтра) [1, с. 220]:

где — это номер итерации.

Теперь давайте поговорим о выборе величины шага.

Перечислим очевидные предпосылки:

Относительно фильтра Винера ограничения, конечно, уже были давно найдены [1, с.222-226]:

где — это наибольшее собственное число автокорреляционной матрицы .

Кстати говоря, собственные числа и вектора — это отдельная интересная тема в контексте линейной фильтрации. Под это дело есть даже целый Eigen filter (см. Приложение 1).

Но и это, к счастью, не все. Есть и оптимальное, адаптивное решение:

где — это отрицательный градиент. Как видно из формулы, шаг пересчитывается в каждую итерацию, то есть адаптируется.

Окей, под второе решение мы тоже подготовили почву.

А нельзя ли на примерах?

Наглядности ради проведем небольшое моделирование. Использовать будем Python 3.6.4.

Скажу сразу, данные примеры — это часть одного из домашних заданий, каждое из которых предлагается студентам для решения в течении двух недель. Часть я переписал под python (в целях популяризации языка среди радиоинженеров). Возможно, вы встретите в Сети ещё какие-то варианты от других бывших студентов.

Наш линейный фильтр мы применим для задачи выравнивания канала (channel equalization), основной целью которого является нивелировать различные воздействия этого самого канала на полезный сигнал.

Исходники одним файлом можно скачать здесь или здесь (да, было у меня такое хобби — Википедию править).

Модель системы

Допустим, есть антенная решетка (её мы уже рассматривали в статье про MUSIC).

Рис. 3. Ненаправленная линейная антенная решетка (ULAA — uniform linear antenna array) [2, с. 32].

Определим исходные параметры решетки:

В данной работе мы будем рассматривать что-то вроде широкополосного канала с замираниями, характерной чертой которого является многолучевое распространение. Для таких случаев обычно применяют подход, при котором каждый луч моделируется с помощью задержки определенной величины (рис. 4).

Рис. 4. Модель широкополосного канала при n фиксированных задержках.[3, c. 29]. Как вы понимаете, конкретные обозначения роли не играют — далее мы будем использовать немного другие.

Модель принимаемого сигнала для одного сенсора выразим следующим образом:

В данном случае обозначает номер отсчета, — это отклик канала по l-ому лучу, L — количество регистров задержки, s — передаваемый (полезный) сигнал, — аддитивный шум.

Для нескольких сенсоров формула примет вид:

где и — имеют размерность , размерность равна , а размерность равняется .

Предположим, что каждый сенсор принимает сигнал тоже с какой-то задержкой, в силу падения волны под каким-то углом. Матрица в нашем случае будет сверточной матрицей для вектора откликов по каждому лучу. Думаю, в коде будет более понятно:

Далее зададим исходные данные для полезного сигнала и шума:

Источник

Содержание

Импульсная характеристика и передаточная функция

Проектирование фильтра состоит из поиска возможной передаточной функции, которая может быть реализована в пределах определенных практических ограничений, продиктованных технологией или желаемой сложностью системы, с последующим практическим дизайном, реализующим эту передаточную функцию с использованием выбранной технологии. Сложность фильтра может быть указана в соответствии с порядком выполнения фильтра.

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой

Рассмотрим физическую систему, которая действует как линейный фильтр, например система пружин и масс, или аналоговую электронную схему, которая включает конденсаторы и / или индукторы (наряду с другими линейными компонентами, такими как резисторы и усилители ). Когда такая система подвергается воздействию импульса (или любого сигнала конечной длительности), она отвечает выходным сигналом, который длится дольше времени входного сигнала, в конечном итоге экспоненциально затухая тем или иным образом, но никогда полностью не достигая нуля (математически говоря ). Говорят, что такая система имеет бесконечную импульсную характеристику (БИХ). Интеграл свертки (или суммирование) выше распространяется на все время: T (или N) должно быть установлено на бесконечность.

Фильтры с конечной импульсной характеристикой

Например, предположим, что у кого-то есть фильтр, который при представлении импульса во временном ряду:

выводит серию, которая реагирует на этот импульс в момент времени от 0 до времени 4 и не имеет дальнейшего ответа, например:

Проблемы реализации

Цифровой БИХ-фильтр обычно может аппроксимировать желаемый отклик фильтра, используя меньшую вычислительную мощность, чем КИХ-фильтр, однако это преимущество чаще оказывается ненужным, учитывая возрастающую мощность цифровых процессоров. Простота конструирования и описания КИХ-фильтров делает их предпочтительнее для разработчика фильтров (программиста), когда доступны большие вычислительные мощности. Еще одно преимущество КИХ-фильтров состоит в том, что их импульсный отклик можно сделать симметричным, что подразумевает отклик в частотной области с нулевой фазой на всех частотах (без учета конечной задержки), что абсолютно невозможно с любым БИХ-фильтром.

Частотная характеристика

Фильтры во временной области чаще всего просят следовать заданной частотной характеристике. Затем математическая процедура находит передаточную функцию фильтра, которая может быть реализована (с некоторыми ограничениями), и аппроксимирует желаемый отклик с точностью до некоторого критерия. Общие характеристики отклика фильтра описаны ниже:

Передаточные функции FIR

БИХ передаточные функции

Примеры реализации

Математика проектирования фильтров

Было разработано множество различных конструкций аналоговых фильтров, каждая из которых пытается оптимизировать некоторые характеристики отклика системы. Для практических фильтров иногда желательна индивидуальная конструкция, которая может предложить лучший компромисс между различными критериями проектирования, которые могут включать количество компонентов и стоимость, а также характеристики отклика фильтра.

Цифровые фильтры гораздо более гибкие для синтеза и использования, чем аналоговые фильтры, где ограничения конструкции позволяют их использовать. Примечательно, что нет необходимости учитывать допуски компонентов, и могут быть получены очень высокие уровни добротности.

Цифровые фильтры КИХ могут быть реализованы путем прямого свертки желаемой импульсной характеристики с входным сигналом. Их можно легко сконструировать, чтобы получить согласованный фильтр для импульсов любой произвольной формы.

Все фильтры нижних частот с непрерывным временем второго порядка имеют передаточную функцию, заданную следующим образом:

Все полосовые фильтры с непрерывным временем второго порядка имеют передаточную функцию, заданную следующим образом:

Источник