Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.
Символ
Название
Тип знака
>
больше
строгий знак (число на границе не включается )
строгий знак (число на границе не включается )
≥
больше или равно
нестрогий знак (число на границе включается )
≤
меньше или равно
нестрогий знак (число на границе включается )
Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.
В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».
Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.
Рассмотрим пример линейного неравенства.
Как решить линейное неравенство
Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».
При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.
Правило переноса в неравенствах
Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.
Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.
Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.
Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».
При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:
Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».
Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.
Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».
Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.
Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.
Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.
В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».
Правило умножения или деления неравенства на число
Рассмотрим другое неравенство.
Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.
Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».
При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.
Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.
Рассмотрим другое неравенство.
Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.
Линейными называются неравенства левая и правая часть которых представляет собой линейные функции относительно неизвестной величины. К ним относятся, например, неравенства:
2х-1-х+3; 7х0;
5>4 – 6x9-x 0 либо ax + b 0 либо ax + b 44 является математической моделью задачи о периметре параллелограмма. Если в этом неравенстве заменить переменную х на, например, число 16, то получим верное числовое неравенство 14 + 32 > 44. В таком случае говорят, что число 16 является решением неравенства 14 + 2х > 44.
Решением неравенства называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Следовательно, каждое из чисел 15,1; 20;73 выступают решением неравенства 14 + 2х > 44, а число 10, например, не является его решением.
Решить неравенство означает установить все его решения или доказать, что решений не существует.
Формулировка решения неравенства сходна с формулировкой корня уравнения. И все же не принято обозначать «корень неравенства».
Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения. Точно так же свойства числовых неравенств помогут решать неравенства.
Если какое-либо слагаемое переместить из одной части неравенства в другую, заменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, эквивалентное данному.
Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, эквивалентное данному.
Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, эквивалентное данному.
Используя эти правила вычислим нижеследующие неравенства.
1) Разберем неравенство2x – 5 > 9.
Это линейное неравенство, найдем его решение и обсудим основные понятия.
2x – 5 > 9 2x > 14 (5 перенесли в левую часть с противоположным знаком), далее поделили все на 2 и имеем x > 7. Нанесем множество решений на ось x
Нами получен положительно направленный луч. Отметим множество решений либо в виде неравенства x > 7, либо в виде интервала х(7; ∞). А что выступает частным решением этого неравенства? Например, x = 10 – это частное решение этого неравенства, x = 12 – это тоже частное решение этого неравенства.
Частных решений много, но наша задача – найти все решения. А решений, как правило, бесчисленное множество.
Раз уж ты читаешь эту тему, то ты наверняка уже знаком с темой «Линейные уравнения».
Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение.
Без усвоенной этой темы спокойное плавание в линейных неравенствах не гарантировано.
А если тебе все с ними понятно, вперед, покорять неравенства.
Линейные неравенства — коротко о главном
Линейными неравенствами называются неравенства вида:
где \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) – любые числа, причем \( \displaystyle a\ne 0\); \( \displaystyle x\) — неизвестная переменная.
Правила преобразования неравенств:
Правило 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).
Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.
Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак \( \displaystyle >\) на знак \( \displaystyle 12\)
Дальше мы делим обе части составленного неравенства на \( \displaystyle 3\) и получаем:
Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем \( \displaystyle 4\) яблока.
Ну вот и справились с неравенством! Сейчас я введу формализованное определение линейного неравенства и будем разбираться с ним дальше.
После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.
Что такое линейное неравенство?
В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.
Их различия заключаются в:
Считается, что неравенства a · x + b > 0 и a · x > c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0 · x + 5 > 0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а = 0 не подойдет.
Как решить линейное неравенство
Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.
Используя равносильные преобразования
Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.
Весь выше прописанный алгоритм записывается так:
Весь алгоритм запишем в краткой форме:
Ответ: неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.
Методом интервалов
Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.
Метод интервалов – это:
Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.
Графическим способом
Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.
Построение графика функции y = a · x + b производится:
Неравенства, сводящиеся к линейным
Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.
Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.
7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0
Это приводит решение к линейному неравенству.
Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.
Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:
-х+3; 7х
0;
(7; ∞). А что выступает частным решением этого неравенства? Например, x = 10 – это частное решение этого неравенства, x = 12 – это тоже частное решение этого неравенства.
