что такое критерий в математике

Критерий

Критерий [criterion] — признак, на основании которого производится оценка (например, оценка качества системы, ее функционирования), сравнение альтернатив (т.е. эффективности различных решений, например, инвестиционных проектов), классификация объектов и явлений. Частным случаем К., особенно широко распространенным в экономических задачах, является критерий оптимальности.

Смотреть что такое «Критерий» в других словарях:

Критерий — признак, на основе которого производится оценка состояния ядерной и радиационной безопасности ядерных установок судов и иных плавсредств. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

КРИТЕРИЙ — [гр. kriterion] существенный, отличительный признак, на основании которого производится оценка, определение или классификация чего л. Словарь иностранных слов. Комлев Н.Г., 2006. КРИТЕРИЙ или критериум, лат. criterium, от греч. kriterion, от… … Словарь иностранных слов русского языка

критерий — См … Словарь синонимов

КРИТЕРИЙ — КРИТЕРИЙ, критерия, муж. (греч. kriterion средство для решения) (книжн.). Признак, на основании которого производится оценка, определение, классификация чего нибудь, мерило. Верный критерий. Критерий истины. Этот признак служит критерием (чего… … Толковый словарь Ушакова

КРИТЕРИЙ — (греч. criterion) показатель, признак, на основании которого формируется оценка качества экономического объекта, процесса, мерило такой оценки. Например, критерий эффективности характеризует уровень эффективности системы, а критерий оптимальности … Экономический словарь

критерий — Правило или условие, позволяющее разделять множество объектов на интересующие исследователя подмножества. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 107. Теория управления. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.]… … Справочник технического переводчика

КРИТЕРИЙ — F критерий значимости для проверки гипотезы равенства стандартных отклонений σ1 = σ2 двух независимых выборок из нормальной совокупности соответственно объема n1 и n2. Если s21 и s22 выборочные оценки соответственно σ21, σ22,… … Геологическая энциклопедия

критерий — критерий. Произносится [критэрий] и [критерий] … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

критерий — То, что является важным для вас в конкретном контексте. Краткий толковый психолого психиатрический словарь. Под ред. igisheva. 2008. критерий … Большая психологическая энциклопедия

Источник

Математика

In the coming weeks, this wiki’s URL will be migrated to the primary fandom.com domain. Read more here

Необходимое и достаточное условие

Содержание

Необходимое условие

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие

Суждение Q является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) Q следует (истинность) X, то есть в случае истинности Q проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение Q называется признаком (элементов) M.

Необходимое и достаточное условие

Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Пример

Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — студент».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».

Из того что Вася студент, еще не следует что он получает стипендию, но это условие необходимо, то есть если Вася не студент, то он заведомо не получает стипендию.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

См. также

cs:Nutná a postačující podmínka he:תנאי שקול

Источник

Критерий (логика)

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Содержание

Необходимое условие

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие

Суждение Q является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) Q следует (истинность) X, то есть в случае истинности Q проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение Q называется признаком (элементов) M.

Необходимое и достаточное условие

Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Пример

Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — студент».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».

Из того, что Вася — студент, еще не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не студент, то он заведомо не получает стипендию.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Критерий (логика)» в других словарях:

Критерий — (др. греч. κριτήριον способность различения, средство суждения, мерило) признак, основание, правило принятия решения по оценке чего либо на соответствие предъявленным требованиям (мере). Особо выделяют критерии истинности знания.… … Википедия

Критерий (философия) — Критерий (гр. kriterion признак для суждения) признак, основание, мерило оценки чего либо. Особо выделяют критерии истинности знания. Различают логические (формальные) и эмпирические (экспериментальные) критерии истинности. Формальным критерием… … Википедия

ЛОГИКА В РОССИИ — эволюция современной (математической) логики в России. Кон. 19 в. и нач. 20 в. знаменуют выход логики за рамки силлогистики и появление логиков новаторов, таких как П.С. Порецкий, М.В. Каринский, Л.В. Рутковский, СИ. Поварнин, и др. Казанский… … Философская энциклопедия

ЛОГИКА — (от греч. logos слово, понятие, рассуждение, разум), или Формальная логика, наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л., правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или… … Философская энциклопедия

ЛОГИКА ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ — см. в ст. Диалектика. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. ЛОГИКА ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ … Философская энциклопедия

логика многозначная — ЛОГИКА МНОГОЗНАЧНАЯ обобщение классической двузначной логики С2 Логика высказываний), посредством которого к обычным истинностным значениям «истина» и «ложь» добавляются другие истинностные значения. Именно на этом пути была впервые… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ — центральный раздел логики, в котором изучается субъектно предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними. Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний. В рамках данного раздела любое высказывание… … Философская энциклопедия

Критерий Поста — одна из центральных теорем в теории булевых функций, устанавливающая необходимое и достаточное условие для того, чтобы некоторый набор булевых функций обладал достаточной выразительностью, чтобы представить любую булеву функцию. Впервые… … Википедия

Логика — (греч. logike̅́) наука о приемлемых способах рассуждения. Слово «Л.» в его современном употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч. lógos, от которого оно происходит. В духе традиции с понятием Л … Большая советская энциклопедия

КРИТЕРИЙ ИСТИНЫ — (от др. греч. κριτήριον – мерило, средство суждения) – способ, с помощью к рого устанавливается истинность знания и отличается истина от заблуждения. Решение вопроса о К. и. по существу зависит от трактовки проблемы истины. Впервые термин К. и.… … Философская энциклопедия

Источник

6.1 Параметрические критерии

В группу параметрических критериев методов математической статистики входят методы для вычисления описательных статистик, построения графиков на нормальность распределения, проверка гипотез о при­надлежности двух выборок одной совокупности. Эти методы основыва­ются на предположении о том, что распределение выборок подчиняется нормальному (гауссовому) закону распределения. Среди параметрических критериев статистики нами будут рассмотрены критерий Стьюдента и Фишера.

6.1.1 Методы проверки выборки на нормальность

Чтобы определить, имеем ли мы дело с нормальным распределением, можно применять следующие методы:

1) в пределах осей можно нарисовать полигон частоты (эмпирическую функцию распределения) и кривую нормального распределения на основе данных исследования. Исследуя формы кривой нормального распределения и графика эмпирической функции распределения, можно выяснить те параметры, которыми последняя кривая отличается от первой;

2) вычисляется среднее, медиана и мода и на основе этого определяется отклонение от нормального распределения. Если мода, медиана и среднее арифметическое друг от друга значительно не отличаются, мы имеем дело с нормальным распределением. Если медиана значительно отличается от среднего, то мы имеем дело с асимметричной выборкой.

3) эксцесс кривой распределения должен быть равен 0. Кривые с положительным эксцессом значительно вертикальнее кривой нормального распределения. Кривые с отрицательным эксцессом являются более покатистыми по сравнению с кривой нормального распределения;

4) после определения среднего значения распределения частоты и стандартного oтклонения находят следующие четыре интервала распределения сравнивают их с действительными данными ряда:

а) — к интервалу должно относиться около 25% частоты совокупности,

б) — к интервалу должно относиться около 50% частоты совокупности,

в) — к интервалу должно относиться около 75% частоты совокупности,

г) — к интервалу должно относиться около 100% частоты совокупности.

6.1.2 Критерий Стьюдента ( t-критерий)

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности».

При использовании критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух неза­висимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и экспериментальная (опытная) группа, количество испытуемых в группах может быть различно.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой матери­ал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными.

Статистика критерия для случая несвязанных, независимых выборок равна:

(1)

где , — средние арифметические в эксперименталь­ной и контрольной группах,

— стан­дартная ошибка разности средних арифметических. Находится из формулы:

, (2)

где n ₁ и n ₂ соответственно величины первой и второй выборки.

Если n ₁= n ₂, то стандартная ошибка разности средних арифметических будет считаться по формуле:

(3)

где n величина выборки.

Подсчет числа степеней свободы осуществля­ется по формуле:

Далее необходимо срав­нить полученное значение t _эмп с теоретическим значением t—рас­пределения Стьюдента (см. приложение к учеб­никам статистики). Если t _эмп t _крит, то гипотеза H ₀ принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

Таблица 1. Результаты эксперимента

Первая группа (экспериментальная) N ₁=11 человек

Вторая группа (контрольная)

12 14 13 16 11 9 13 15 15 18 14

13 9 11 10 7 6 8 10 11

Общее количество членов выборки: n ₁=11, n ₂=9.

Расчет средних арифметических: Х_ср=13,636; Y _ср=9,444

Стандартное отклонение: s _x=2,460; s _y =2,186

По формуле (2) рассчитываем стандартную ошибку разности арифметических средних:

Считаем статистику критерия:

Сравниваем полученное в эксперименте значение t с табличным значением с учетом степеней свободы, равных по формуле (4) числу испытуемых минус два (18).

Табличное значение t_крит равняется 2,1 при допущении возможности риска сделать ошибочное сужде­ние в пяти случаях из ста (уровень значимости=5 % или 0,05).

Если полученное в эксперименте эмпирическое значение t превы­шает табличное, то есть основания принять альтернативную гипотезу (H₁) о том, что учащиеся экспериментальной группы показывают в среднем более высокий уровень знаний. В эксперименте t=3,981, табличное t=2,10, 3,981>2,10, откуда следует вывод о преимуществе эксперимен­тального обучения.

Здесь могут возникнуть такие вопросы:

1. Что если полученное в опыте значение t окажется меньше табличного? Тогда надо принять нулевую гипотезу.

2. Доказано ли преимущество экспериментального метода? Не столько доказано, сколько показано, потому что с самого начала допускается риск ошибиться в пяти случаях из ста (р=0,05). Наш эксперимент мог быть одним из этих пяти случаев. Но 95% возможных случаев говорит в пользу альтернативной гипотезы, а это достаточно убедительный аргумент в статистическом доказательстве.

3. Что если в контрольной группе результаты окажутся выше, чем в экспериментальной? Поменяем, например, местами, сделав средней арифметической эксперимен­тальной группы, a — контрольной:

Отсюда следует вывод, что новый метод пока не про­явил себя с хорошей стороны по разным, возможно, при­чинам. Поскольку абсолютное значение 3,9811>2,1, принимается вторая альтернативная гипотеза (Н₂) о пре­имуществе традиционного метода.

В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.

Вычисление значения t осуществляется по формуле:

(5)

Sd вычисляется по следующей формуле:

(6)

Если t _эмп t _крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

Пример 2. Изучался уровень ориентации учащихся на художественно-эстети­ческие ценности. С целью активизации формирования этой ориентации в экспериментальной группе проводились бе­седы, выставки детских рисунков, были организованы по­сещения музеев и картинных галерей, проведены встречи с музыкантами, художниками и др. Закономерно встает вопрос: какова эффективность проведенной работы? С целью проверки эффективности этой работы до начала эксперимента и после давался тест. Из методических со­ображений в таблице 2 приводятся результаты небольшо­го числа испытуемых. [2]

Таблица 2. Результаты эксперимента

до начала экспери­мента (Х)

Вначале произведем расчет по формуле:

Затем применим формулу (6), получим:

И, наконец, следует применить формулу (5). Получим:

Число степеней свободы: k =10-1=9 и по таблице При­ложения 1 находим t_крит =2.262, экспериментальное t=6,678, откуда следует возможность принятия альтерна­тивной гипотезы (H₁) о достоверных различиях средних арифметических, т. е. делается вывод об эффективности экспериментального воздействия.

6.1.3 F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выбороч­ных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления F_эмп нуж­но найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, что­бы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фи­шера такова:

(8)

где — дисперсии первой и второй выборки соответственно.

Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значе­ние F_эмп всегда будет больше или равно единице.

Чис­ло степеней свободы определяется также просто:

В Приложе­нии 1 критические значения критерия Фишера находятся по величинам k ₁ (верхняя строчка таблицы) и k ₂ (левый столбец таблицы).

Если t _эмп> t _крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

Пример 3. В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. [3] Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос — есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Решение. Для критерия Фишера необходимо сравнить дис­персии тестовых оценок в обоих классах. Резуль­таты тестирования представлены в таблице:

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем:

Тогда по формуле (8) для расчета по F критерию Фишера находим:

6.2 Непараметрические критерии

Сравнивая на глазок (по процентным соотношениям) результаты до и после какого-либо воздействия, исследователь приходит к заключению, что если наблюдаются различия, то имеет место различие в сравниваемых выборках. Подобный подход категорически неприемлем, так как для процентов нельзя определить уровень достоверности в различиях. Проценты, взятые сами по себе, не дают возможности делать статистически достоверные выводы. Чтобы доказать эффективность какого-либо воздействия, необходимо выявить статистически значимую тенденцию в смещении (сдвиге) показателей. Для решения подобных задач исследователь может использовать ряд критериев различия. Ниже будет рассмотрены непараметрические критерии: критерий знаков и критерий хи-квадрат.

6.2.1 Критерий знаков ( G-критерий)

Критерий предназначен для срав­нения состояния некоторого свойства у членов двух зави­симых выборок на основе измерений, сделанных по шка­ле не ниже ранговой.

Нулевая гипотеза формулируются следующим обра­зом: в состоянии изучаемого свойства нет значимых различий при первичном и вторичном измерениях. Альтернативная гипотеза: законы распределения величин X и У различны, т. е. состояния изучаемого свойства существенно раз­личны в одной и той же совокупности при первичном и вторичном измерениях этого свойства.

Ста­тистика критерия (Т) определяется следую­щим образом:

Пример 4. Учащиеся выполняли контрольную ра­боту, направленную на проверку усвоения некоторого понятия. Пятнадцати учащимся затем предложили электронное пособие, составленное с целью фор­мирования данного понятия у учащихся с низким уров­нем обучаемости. После изучения пособия учащиеся снова выполняли ту же контрольного работу, которая оценивалась по пятибалльной системе.

Результаты двукратного выполнения ра­боты представляют измерения по шкале по­рядка (пятибалльная шкала). В этих условиях возмож­но применение знакового критерия для выявления тенденции изменения состояния знаний учащихся после изучения пособия, так как выполняются все допуще­ния этого критерия.

Результаты двукратного выполнения работы (в бал­лах) 15 учащимися запишем в форме таблицы (см. табл. 1). [4]

Источник

Что такое критерий в математике

Не секрет, что изучение признаков и свойств равнобедренного треугольника или параллелограмма натыкается на стойкое непонимание учащимися, когда какую формулировку надо давать. Всю жизнь я думал, что это связано исключительно с тупостью контингента. И только сейчас обнаружил, что это связано и с моей тупостью и однобокой грамотностью.
Роясь в массе разработок для дошкольников и младших школьников (мой основной интерес – наглядная геометрия), я обнаружил, что проблема непонимания на уроках, возможно, кроется в различии понимания термина «признак» математиками и … всеми остальными.
Вот пример занятия, после которого, как мне кажется, я об стенку разобьюсь, но отличать признаки от свойств на уроках геометрии уже не научу Вот пример занятия в первом классе по предмету «Окружающий мир», после которого, как мне кажется, я об стенку разобьюсь, но отличать признаки от свойств на уроках геометрии уже не научу:

— Посмотрите вокруг. Как много разных предметов окружает нас в нашей жизни! Большие и маленькие, светлые и темные, деревянные и металлические. И люди вокруг нас отличаются друг от друга. Взрослые и малыши, высокие и низкие, мальчики и девочки. Вот две книги на моем столе. У них, казалось бы, так много общего. Назовите, чем они похожи? (материал, форма) И все-таки они разные. Чем они отличаются друг от друга? (размер)
Вы сказали о материале, форме, размере этих книг. Как назвать эти понятия одним словом? (признаки) А что такое признак предмета?
Признак – это отличительная черта, та особенность, которая отличает этот предмет от сотен и тысяч ему подобных.
— А по каким признакам можно сгруппировать предметы? (цвет, форма и т.д.)

На доске рисунок: а) апельсин. б) кастрюля.
— Расскажите, какой это предмет?
— по размеру
— по цвету
— по форме
— О чем еще можно рассказать?
— по вкусу
— по запаху
— назначению
— Назовите 3 признака мяча: круглый – форма, разноцветный – цвет, игрушка – назначение, резиновый – материал.
— Угадайте, о каком предмете идет речь:
— большой, серый, каменный (гора). Какие признаки я назвала?
— Коричневый, лохматый, имеет 4 лапы (собака). Какие признаки я назвала?
— Большой, красный, 4 колеса, кабина (трактор)

На уроках, чтобы объяснить, чем отличается свойство от признака, кажется, можно обойти противоречия с нематематической терминологией, вводя не очень-то распространённое понятие «характеристика», которое дети будут понимать как «перечисление черт объекта, отвечающих на вопрос «Какой?»». При этом одна и та же характеристика может играть роль необходимого условия (свойства) или достаточного условия (признака) в зависимости от того, служит она для описания наблюдаемого объекта или для идентификации его в некотором множестве объектов.
Это можно подать, например, в виде игры, когда двое учащихся становятся друг к другу спиной. Перед ними одинаковые наборы фигур. Первому предлагается взять фигуру и, не произнося её название, описать такие её черты, по которым второй найдет её в своём наборе. Для первого называемые характеристики будут свойствами наблюдаемой им фигуры, а для второго – признаками в нематематическом смысле, по которым эту фигуру нужно идентифицировать. При этом достаточный для идентификации признак (или совокупность признаков) можно будет назвать характеристическим признаком и объяснить, что математики именно его и только его и называют признаком. Первый ученик вполне обоснованно назовёт соответствующее свойство аналогично – характеристическим свойством.

Всё. Вроде волки сыты, овцы целы. Кардинальная переделка терминологии не требуется ни математикам, ни нематематикам.

Не намудрил я. Выскажитесь, пожалуйста.

Источник