что такое контрпример в математике
Значение слова «контрпример»
Построение контрпримера — обычный способ опровержения гипотез. Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет: «Существует объект X0 из множества M, для которого свойство A не выполняется».
Часто найти контрпример вручную очень сложно. В таких случаях можно воспользоваться компьютером. Программа для нахождения контрпримера может просто перебирать элементы множества M и проверять выполнения свойства A. Более сложный, но и более эффективный, подход заключается в построении контрпримера «по частям». При этом при выборе очередной «части» сразу отбрасываются варианты, которые заведомо не ведут к опровержению рассматриваемого утверждения. Это позволяет значительно ускорить работу, зачастую на порядки.
Необходимо помнить, что отсутствие контрпримера не служит доказательством гипотезы. Доказательство такого рода можно строить, только если рассматриваемое множество конечно. В этом случае, достаточно перебрать все его элементы, и, если контрпримера среди них нет, то утверждение будет доказано.
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: раскрыться — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?
Контрпример
В математике термин «контрпример» также используется (с небольшим злоупотреблением) для обозначения примеров, которые иллюстрируют необходимость полной гипотезы теоремы. Чаще всего это делается, рассматривая случай, когда часть гипотезы не выполняется и заключение теоремы не выполняется. [ необходима цитата ]
В математике контрпримеры часто используются для доказательства границ возможных теорем. Используя контрпримеры, чтобы показать, что некоторые гипотезы ложны, математические исследователи могут избежать тупика и научиться изменять гипотезы, чтобы получить доказуемые теоремы. Иногда говорят, что математическое развитие состоит прежде всего в поиске (и доказательстве) теорем и контрпримеров. [4]
Пример прямоугольника
Другие математические примеры
Контрпримером к утверждению «все простые числа являются нечетными » является число 2, так как это простое число, но не нечетное. [2] Ни одно из чисел 7 или 10 не является контрпримером, поскольку ни одного из них недостаточно, чтобы противоречить утверждению. В этом примере число 2 фактически является единственным возможным контрпримером к утверждению, хотя одного этого достаточно, чтобы противоречить утверждению. Аналогичным образом утверждение «Все натуральные числа либо простые, либо составные » содержит число 1 в качестве контрпримера, поскольку 1 не является ни простым, ни составным.
Контрпример Витсенхаузена показывает, что не всегда верно (для задач управления ), что квадратичная функция потерь и линейное уравнение эволюции переменной состояния подразумевают оптимальные законы управления, которые являются линейными.
В философии контрпримеры обычно используются, чтобы доказать, что определенная философская позиция неверна, показывая, что она неприменима в определенных случаях. В качестве альтернативы, первый философ может изменить свое утверждение так, чтобы контрпример больше не применялся; это аналогично тому, как математик модифицирует гипотезу из-за контрпримера.
Калликл мог бы оспорить контрпример Сократа, утверждая, что, возможно, обычная чернь действительно лучше, чем дворяне, или что даже в своем большом количестве они все же не сильнее. Но если Калликл принимает контрпример, то он должен либо отозвать свое заявление, либо изменить его так, чтобы контрпример больше не применялся. Например, он может изменить свое утверждение, чтобы относиться только к отдельным людям, требуя от него думать о простых людях как о совокупности людей, а не как о толпе.
Так случилось, что он изменил свое заявление, сказав «мудрее» вместо «сильнее», утверждая, что никакое численное превосходство не может сделать людей мудрее.
В математике термин «контрпример» также используется (с небольшим злоупотреблением) для обозначения примеров, которые иллюстрируют необходимость полной гипотезы теоремы. Чаще всего это делается, рассматривая случай, когда часть гипотезы не выполняется и заключение теоремы не выполняется.
СОДЕРЖАНИЕ
По математике
В математике контрпримеры часто используются для доказательства границ возможных теорем. Используя контрпримеры, чтобы показать, что некоторые гипотезы ложны, математические исследователи могут избежать тупика и научиться изменять гипотезы, чтобы получить доказуемые теоремы. Иногда говорят, что математическое развитие состоит прежде всего в поиске (и доказательстве) теорем и контрпримеров.
Пример прямоугольника
Другие математические примеры
Контрпримером к утверждению «все простые числа являются нечетными » является число 2, так как это простое число, но не нечетное. Ни одно из чисел 7 или 10 не является контрпримером, поскольку ни одного из них недостаточно, чтобы противоречить утверждению. В этом примере число 2 фактически является единственным возможным контрпримером к утверждению, хотя одного этого достаточно, чтобы противоречить утверждению. Аналогичным образом утверждение «Все натуральные числа либо простые, либо составные » содержит число 1 в качестве контрпримера, поскольку 1 не является ни простым, ни составным.
Контрпример Витсенхаузена показывает, что не всегда верно (для задач управления ), что квадратичная функция потерь и линейное уравнение эволюции переменной состояния подразумевают оптимальные законы управления, которые являются линейными.
В философии
В философии контрпримеры обычно используются, чтобы доказать, что определенная философская позиция неверна, показывая, что она неприменима в определенных случаях. В качестве альтернативы, первый философ может изменить свое утверждение так, чтобы контрпример больше не применялся; это аналогично тому, как математик модифицирует гипотезу из-за контрпримера.
Калликл мог бы оспорить контрпример Сократа, утверждая, что, возможно, обычная чернь действительно лучше, чем дворяне, или что даже в своем большом количестве они все же не сильнее. Но если Калликл принимает контрпример, то он должен либо отозвать свое заявление, либо изменить его так, чтобы контрпример больше не применялся. Например, он может изменить свое утверждение, чтобы относиться только к отдельным лицам, требуя от него думать о простых людях как о совокупности людей, а не как о толпе.
Так случилось, что он изменил свое заявление, сказав «мудрее» вместо «сильнее», утверждая, что никакое численное превосходство не может сделать людей мудрее.
Презентация к уроку математики в 5 классе на тему «Понятие контрпримера».
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Метапредмет – Хаос и порядок КОНТРПРИМЕР ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ ОБРАЗЕЦ ЗАГОЛОВКА
Цель урока целеполагание подсказка Реши анаграмму и подумай над темой и целью урока контрпример приконтрмер
Математическая разминка Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала. 1) Делится ли произведение 8 ∙ 26 на 8, 4, 13, 16, 20? 2) Докажите, что произведение 12 ∙ 42 делится на 9. 3) Укажите несколько чисел, которые можно подставить вместо буквы b, чтобы произведение 14 ∙ b делилось на 6. 4) Делится ли сумма 50000 + 8000 + 700 + 20 на 10? 5) Подберите такие 3 числа, чтобы при подстановке каждого из них вместо буквы а сумма а + 72 была кратна 9. 6) Назовите 5 делителей разности 41 ∙ 7 – 17 ∙ 7.
Делимость суммы Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала. 238 = 220 + 18; Число 18 не делится на 22. решение б) Не выполняя деления, докажите, что число 238 не делится на 22. Подсказка. Представьте рассматриваемое число в виде суммы двух слагаемых, одно из которых делится на указанное число.
Контрпример Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи К контрпримерам прибегают не только в математике, но и в жизни. Вот пример вполне реальной ситуации. Магомед получил за контрольную работу по математике двойку и сказал маме: «Эту контрольную написали плохо все». На это мама возразила: «Как мне известно, твой друг Али получил за эту контрольную работу пятерку».
Работаем с текстом Проверка полученных результатов. Коррекция. Округлим число 7996 до разряда десятков: 7996 ≈ 8000. опровержение Опровергните утверждение: Если при округлении числа получилось число с тремя нулями на конце, то округление выполнили до разряда тысяч.
Делимость суммы (для продвинутых) Проверка полученных результатов. Коррекция. 512 + 17 = 17 ∙ 3 ∙ 51 + 17 = 17 ∙ (3 ∙ 51 +1) – число составное! доказательство а) 512 + 17; 11 + 222 + 333 = 11 ∙ (1 + 2 ∙ 22 + 3 ∙ 332) – число составное! доказательство б) 11 + 222 + 333; Докажите, что значение данного выражения есть число составное:
Делимость суммы (для продвинутых) Проверка полученных результатов. Коррекция. 358 = 340 + 18; Число 18 не делится на 17 доказательство а) Число 358 не делится на 17; Не выполняя деления, докажите, что:
Вопросы и задания Проверка полученных результатов. Коррекция.
Немного о медведях и не только… Подведение итогов, рефлексия, домашнее задание. Например выдвинуто утверждение «Все медведи являются бурыми». Для его опровержения мы формулируем противоречащее ему положение: «Некоторые медведи не являются бурыми». Затем находим в Арктике белого медведя и тем самым доказываем это положение, опровергая первоначальное утверждение. Приведите свои подобные ситуации.. Домашнее задание У: п 6.3;№№467,474,475
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-052618
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В проекте КоАП отказались от штрафов для школ
Время чтения: 2 минуты
Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разработало проект новых правил русского языка
Время чтения: 2 минуты
Минобрнауки: вузы вправе вводить QR-коды для посещения корпусов
Время чтения: 2 минуты
Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах
Время чтения: 1 минута
СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Контрпримеры в курсе математического анализа
Рассмотрение примеров задач и теорем, доказываемых при помощи контрпримера. Применение терминов «производная» и «дифференцируемая функция». Построение немецким математиком Вейерштрассом первого примера непрерывной нигде не дифференцируемой функции.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра математического анализа
«Контрпримеры в курсе математического анализа «
Выполнил: студент группы ФИ-21
Кидрячев Айсуак Анурович
Кандидат физ.-мат. наук
Каримов Руслан Халикович
1. Контрпримеры в дифференциальном исчислении
2. Контрпримеры в интегральном исчислении
1. Контрпримеры в дифференциальном исчислении
В некоторых примерах этого параграфа термин производная будет применяться и к бесконечным пределам
Однако термин дифференцируемая функция используется лишь в том случае, если функция имеет конечную производную в каждой точке своей области определения. Функция называется бесконечно дифференцируемой, если она имеет (конечную) производную любого порядка в каждой точке области определения.
Показательная функция с основанием е будет обозначаться символом е x или ехр(x).
Предполагается, что все множества, включая области определения и множества значений функций, являются подмножествами. В противном случае будет сделано соответствующее уточнение.
Пример 1. Функция, не являющаяся производной. Функция и вообще всякая функция с разрывом в виде скачка не является производной никакой функции, поскольку она не обладает свойством Коши принимать все промежуточные значения, а это свойство присуще не только непрерывным функциям, но и производным. Ниже приводится пример разрывной производной.
Пример 2. Дифференцируемая функция с разрывной производной.
разрывна в точке х = 0.
Пример 4. Дифференцируемая функция, производная которой не сохраняет знака ни в какой односторонней окрестности экстремальной точки.
имеет абсолютный минимум в точке х = 0. А ее производная
в любой односторонней окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения. Функция f не является монотонной ни в какой односторонней окрестности точки х = 0.
Пример 5. Дифференцируемая функция, производная которой положительна в некоторой точке, но сама функция не монотонна ни в какой окрестности этой точки.
имеет производную, равную
В любой окрестности нуля производная f‘(х) имеет как положительные, так и отрицательные значения.
Пример 6. Функция, производная которой конечна, но не ограничена на замкнутом интервале.
Пример 7. Функция, производная которой существует и ограничена, но не имеет (абсолютного) экстремума на замкнутом интервале.
контрпример производная дифференцируемый функция
Функция настоящего примера не является монотонной ни на каком интервале. Более того, существует пример функции всюду дифференцируемой и нигде не монотонной. Конструкция этого примера очень сложна и приводит к функции, которая всюду дифференцируема и имеет плотное множество относительных максимумов и плотное множество относительных минимумов.
Пример 9. Дифференцируемая функция, для которой теорема о среднем не имеет места. В этом примере мы снова вынуждены обратиться к комплекснозначной функции. Функция
действительного переменного х всюду непрерывна и дифференцируема. Однако не существует такого интервала [а, b], а О существует открытое покрытие множества А счетной совокупностью открытых интервалов, длины которых образуют бесконечный сходящийся ряд с суммой, меньшей е. Ядро всякого множества меры нуль пусто. Говорят, что некоторое утверждение справедливо для почти всех точек или почти всюду, если множество всех точек, для которых это утверждение не имеет места, является множеством меры нуль. Для того чтобы функция f, заданная на замкнутом конечном интервале [а, b], была интегрируема по Риману на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и почти всюду непрерывна.
Пример 1. Ограниченная функция, не интегрируемая по Риману на конечном замкнутом интервале. Характеристическая функция множества Q всех рациональных чисел, рассматриваемая на замкнутом интервале [0,1], не интегрируема по Риману на нем.
Пример 2. Функция f, для которой
хотя оба интеграла существуют в смысле Римана.
Если же x = 0, то, принимая во внимание, что для всех у (включая у = 0), имеем
Пример 3. Функция, интегрируемая по Риману и не имеющая примитивной ни на каком интервале. Если положить A = Q?[0, 1], то функция f будет интегрируема на [0, 1], так как она монотонна на этом интервале. Однако эта функция не имеет примитивной ни на каком подинтервале из [0,1], поскольку множество точек ее скачков всюду плотно в интервале [0. 1].
Пример 4. Функция, имеющая на замкнутом интервале, но не интегрируемая на нем по Риману. Функция f имеет (конечную) производную g(х) в каждой точке х некоторого замкнутого интервала l. Однако функция g не ограничена, а поэтому не интегрируема по Риману.
Два предыдущих примера (примеры 3 и 4) представляют особый интерес в связи с основной теоремой интегрального исчисления. Первый вариант этой теоремы таков: если функция f(х) (i) интегрируема на интервале [а, b] и (ii) имеет F(х) на этом интервале (F‘(х) = f(х) для ), то интеграл Римана функции f(х) можно вычислить по формуле
Наконец, третий вариант этой теоремы можно сформулировать так: если f(х) интегрируема на [а, b], а функция F(х) непрерывна на [а, b] и имеет производную F‘(х), равную f(х) во всех точках интервала [а, b], за исключением, быть может, конечного числа точек, то интеграл Римана функции f(х) можно вычислить по формуле :
Пример 5. Интегрируемая по Риману функция со всюду плотным множеством точек разрыва. Этим свойством обладает функция примера 3, которая к тому же является монотонной.
Функция также обладающая этим свойством, однако она нигде не монотонна. Для этой функции:
Пример 7. Две различные полунепрерывные функции, «расстояние» между которыми равно нулю. В этом случае расстояние d между двумя функциями f и g, интегрируемыми на [а, b], определяется как интеграл от абсолютной величины их разности:
не имеет места, а несобственный интеграл
Если опустить требование положительности функции, то простым примером, который удовлетворяет оставшимся требованиям, является интеграл
Пример 13. Сходящийся на интервале [0, +) несобственный интеграл, подинтегральная функция которого не ограничена на любом интервале вида [а, +), где а>0. Этим условиям удовлетворяет несобственный интеграл
и пусть а = 0, b = 1 и с = 2. Тогда
Но поскольку f и g имеют общую точку разрыва х =1, то интеграл
Данная курсовая работа посвящена контрпримерам в курсе математического анализа. В процессе его реализации были рассмотрены несколько теорем и задач доказываемые при помощи контрпримера. Главной проблемой является то что при встрече с некоторыми вопросами и моментами, не имея достаточного опыта, легко можно дать неправильный ответ или же неправильно представить истинную суть задачи.
В первой главе были рассмотрены контрпримеры в разделе дифференцирование. В начале главы были приведены основные понятия являющиеся существенным в данной главе. Далее были рассмотрены примеры задач и теорем доказываемые при помощи контрпримера.
Во второй главе так же в начале были рассмотрены основные понятия по теме Интеграл Римана, а далее были предложены примеры контрпримеров по данной теме.
1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа Часть I: М.: Физматлит, 2005. С. 210-234.
3. Дороговцев А. Я. Математический анализ. Краткий курс в современном изложении (2-е издание). Киев: Факт, 2005. с. 287- 305.
Подобные документы
Свойства множества Кантора. Исследование заданной функции на непрерывность. Выражение множества B (кладбище Серпинского) и D (гребёнка Кантора) через множество Кантора. Свойства и построение всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 24.06.2015
Описание сущности функции, которая была введена немецким математиком П.В. Дирихле как пример функции, свободной от аналитического задания значения. Характеристика и описание ряда ее свойств и области определения методами математического анализа.
курсовая работа [44,8 K], добавлен 23.11.2011
Функция одной независимой переменной. Свойства пределов. Производная и дифференциал функции, их приложение к решению задач. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Теорема о среднем.
конспект урока [147,7 K], добавлен 23.10.2013
Понятие производной, ее геометрический и физический смысл, дифференциал. Исследование функций и построение графиков. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств. Вычисление пределов функции.
контрольная работа [565,5 K], добавлен 16.11.2010
Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.
шпаргалка [42,3 K], добавлен 21.08.2009
Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014
контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009
Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013
Введение в математический анализ. Индивидуальные домашние задания по теме «Предел функции и непрерывность» и по теме «Производная». Комбинаторика, бином Ньютона, математическая индукция и комплексные числа. Применение производной при исследовании функции.
учебное пособие [950,8 K], добавлен 25.08.2009
Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014