что такое интервальный счет
СОДЕРЖАНИЕ
Вступление
Эта обработка обычно ограничивается реальными интервалами, поэтому количество форм
Как и в случае традиционных вычислений с действительными числами, сначала необходимо определить простые арифметические операции и функции на элементарных интервалах. Из этих основных элементов можно вычислить более сложные функции.
Пример
Ошибка в этом случае не влияет на вывод (нормальный вес), но это не всегда так. Если мужчина был немного тяжелее, диапазон ИМТ может включать пороговое значение 25. В этом случае точность шкалы была недостаточной, чтобы сделать окончательный вывод.
Интервальная арифметика явно указывает диапазон возможных результатов. Результаты больше не указываются в виде чисел, а в виде интервалов, которые представляют неточные значения. Размер интервалов аналогичен планкам погрешностей при выражении степени неопределенности.
Несколько интервалов
В этом случае мужчина может иметь нормальный вес или иметь избыточный вес; измерения веса и роста были недостаточно точными, чтобы сделать окончательный вывод. Это демонстрирует способность интервальной арифметики правильно отслеживать и распространять ошибки.
Операторы интервалов
Для практических приложений это можно еще упростить:
Умножение можно интерпретировать как площадь прямоугольника с разными краями. Интервал результатов охватывает все возможные области, от наименьшей до наибольшей.
Обозначение
Для уменьшения обозначения интервалов в формулах можно использовать скобки.
Элементарные функции
Также могут быть определены интервальные функции помимо четырех основных операторов.
Исходя из этого, можно легко определить следующие основные характеристики интервальных функций:
Интервальные расширения общих функций
Для реального выражения его естественное расширение интервала достигается за счет использования интервального расширения каждого из его подвыражений, функций и операторов.
Комплексная интервальная арифметика
Основные алгебраические операции с вещественными интервальными числами (действительными отрезками) могут быть расширены до комплексных чисел. Поэтому неудивительно, что комплексная интервальная арифметика похожа на обычную комплексную арифметику, но не то же самое. Можно показать, что, как и в случае с вещественной интервальной арифметикой, нет распределенности между сложением и умножением комплексных интервальных чисел, за исключением некоторых особых случаев, а обратные элементы не всегда существуют для комплексных интервальных чисел. Два других полезных свойства обычной комплексной арифметики не соблюдаются в комплексной интервальной арифметике: аддитивные и мультипликативные свойства обычных комплексных сопряжений не выполняются для комплексных интервальных сопряжений.
Интервальные методы
Методы классического численного анализа нельзя однозначно перевести в интервальные алгоритмы, так как зависимости между численными значениями обычно не учитываются.
Арифметика с округленными интервалами
Проблема зависимости
Так называемая проблема зависимости является серьезным препятствием для применения интервальной арифметики. Хотя интервальные методы могут очень точно определять диапазон элементарных арифметических операций и функций, это не всегда верно для более сложных функций. Если интервал встречается несколько раз в вычислении с использованием параметров, и каждое вхождение берется независимо, это может привести к нежелательному расширению результирующих интервалов.
Таким образом, подходящий интервал для расчета
и дает правильные значения.
Зависимость проблемы, вызывающая завышение диапазона значений, может доходить до большого диапазона, не позволяя делать более значимые выводы.
Дополнительное увеличение диапазона связано с решением областей, не принимающих форму интервального вектора. Множество решений линейной системы
Линейные интервальные системы
может быть определено переменной, если разделение разрешено. Поэтому одновременно Икс я <\ displaystyle x_ > 
1 / [ а я я ] <\ displaystyle 1 / [a_
Итак, теперь мы можем заменить на [ Икс j ] <\ displaystyle [x_
Интервальный метод Ньютона
Биссекция и крышки
Различные методы интервалов дают консервативные результаты, поскольку не учитываются зависимости между размерами различных расширений интервалов. Однако проблема зависимости становится менее значительной для более узких интервалов.
тогда действительно для диапазона значений
Таким образом, для описанных выше расширений интервалов выполняется следующее:
Поскольку часто это подлинное надмножество правой части, это обычно приводит к улучшенной оценке. [ ж ] ( [ Икс ] ) <\ Displaystyle [е] ([\ mathbf <х>])>
заявка
Анализ ошибок округления
Интервальная арифметика используется при анализе ошибок для контроля ошибок округления, возникающих при каждом вычислении. Преимущество интервальной арифметики в том, что после каждой операции есть интервал, который надежно включает истинный результат. Расстояние между границами интервалов напрямую дает текущий расчет ошибок округления:
Анализ толерантности
Параметры, для которых невозможно выделить точные цифры, часто возникают при моделировании технических и физических процессов. Процесс производства технических компонентов допускает определенные допуски, поэтому некоторые параметры колеблются в определенных интервалах. Кроме того, многие фундаментальные константы точно неизвестны.
Арифметика с нечеткими интервалами
можно аппроксимировать последовательностью
Компьютерное доказательство
История
Рождение современной интервальной арифметики ознаменовалось появлением в 1966 году книги Рамона Э. Мура « Интервальный анализ ». Идея пришла ему в голову весной 1958 года, а через год он опубликовал статью о компьютерной интервальной арифметике. Его заслуга заключалась в том, что, исходя из простого принципа, он предоставлял общий метод автоматического анализа ошибок, а не только ошибок, возникающих в результате округления.
Независимо в 1956 году Мечислав Вармус предложил формулы для вычислений с интервалами, хотя Мур нашел первые нетривиальные приложения.
Журнал Reliable Computing (первоначально Interval Computations ) издается с 1990-х годов и посвящен надежности компьютерных вычислений. В качестве ведущего редактора Р. Бейкер Кирфотт, помимо своей работы по глобальной оптимизации, внес значительный вклад в унификацию обозначений и терминологии, используемых в интервальной арифметике.
Реализации
Существует множество программных пакетов, позволяющих разрабатывать численные приложения с использованием интервальной арифметики. Обычно они предоставляются в виде программных библиотек. Существуют также компиляторы C ++ и Fortran, которые обрабатывают интервальные типы данных и подходящие операции в качестве расширения языка, поэтому интервальная арифметика поддерживается напрямую.
Еще одна библиотека классов C ++ была создана в 1993 году в Гамбургском технологическом университете под названием Profil / BIAS (оптимизированная во время выполнения программа для быстрой интервальной библиотеки, базовая интервальная арифметика), которая сделала обычные интервальные операции более удобными для пользователя. Он подчеркнул эффективное использование оборудования, портативность и независимость конкретного представления интервалов.
Коллекция библиотек C ++ Boost содержит шаблонный класс для интервалов. Его авторы стремятся использовать интервальную арифметику на стандартном языке C ++.
Библиотека функционального языка OCaml была написана на ассемблере и C.
Стандарт IEEE 1788
Минимальное подмножество стандарта, IEEE Std 1788.1-2017, было одобрено в декабре 2017 года и опубликовано в феврале 2018 года. Это должно быть проще в реализации и может ускорить производство реализаций.
Конференции и семинары
Ежегодно в мире проводится несколько международных конференций или семинаров. Основной конференцией, вероятно, является SCAN (Международный симпозиум по научным вычислениям, компьютерной арифметике и проверенным численным вычислениям), но есть также SWIM (небольшой семинар по интервальным методам), PPAM (Международная конференция по параллельной обработке и прикладной математике), REC (Международный Практикум по надежным инженерным вычислениям.
СОДЕРЖАНИЕ
Вступление
Эта обработка обычно ограничивается реальными интервалами, поэтому количество форм
Как и в случае традиционных вычислений с действительными числами, сначала необходимо определить простые арифметические операции и функции на элементарных интервалах. Из этих основных элементов можно вычислить более сложные функции.
Пример
Ошибка в этом случае не влияет на вывод (нормальный вес), но это не всегда так. Если мужчина был немного тяжелее, диапазон ИМТ может включать пороговое значение 25. В этом случае точность шкалы была недостаточной, чтобы сделать окончательный вывод.
Интервальная арифметика явно указывает диапазон возможных результатов. Результаты больше не указываются в виде чисел, а в виде интервалов, которые представляют неточные значения. Размер интервалов аналогичен планкам погрешностей при выражении степени неопределенности.
Несколько интервалов
В этом случае мужчина может иметь нормальный вес или иметь избыточный вес; измерения веса и роста были недостаточно точными, чтобы сделать окончательный вывод. Это демонстрирует способность интервальной арифметики правильно отслеживать и распространять ошибки.
Операторы интервалов
Для практических приложений это можно еще упростить:
Умножение можно интерпретировать как площадь прямоугольника с разными краями. Интервал результатов охватывает все возможные области, от наименьшей до наибольшей.
Обозначение
Для уменьшения обозначения интервалов в формулах можно использовать скобки.
Элементарные функции
Также могут быть определены интервальные функции помимо четырех основных операторов.
Исходя из этого, можно легко определить следующие основные характеристики интервальных функций:
Интервальные расширения общих функций
Для реального выражения его естественное расширение интервала достигается за счет использования интервального расширения каждого из его подвыражений, функций и операторов.
Комплексная интервальная арифметика
Основные алгебраические операции с вещественными интервальными числами (действительными отрезками) могут быть расширены до комплексных чисел. Поэтому неудивительно, что комплексная интервальная арифметика похожа на обычную комплексную арифметику, но не то же самое. Можно показать, что, как и в случае с вещественной интервальной арифметикой, нет распределенности между сложением и умножением комплексных интервальных чисел, за исключением некоторых особых случаев, а обратные элементы не всегда существуют для комплексных интервальных чисел. Два других полезных свойства обычной комплексной арифметики не соблюдаются в комплексной интервальной арифметике: аддитивные и мультипликативные свойства обычных комплексных сопряжений не выполняются для комплексных интервальных сопряжений.
Интервальные методы
Методы классического численного анализа нельзя однозначно перевести в интервальные алгоритмы, так как зависимости между численными значениями обычно не учитываются.
Арифметика с округленными интервалами
Проблема зависимости
Так называемая проблема зависимости является серьезным препятствием для применения интервальной арифметики. Хотя интервальные методы могут очень точно определять диапазон элементарных арифметических операций и функций, это не всегда верно для более сложных функций. Если интервал встречается несколько раз в вычислении с использованием параметров, и каждое вхождение берется независимо, это может привести к нежелательному расширению результирующих интервалов.
Таким образом, подходящий интервал для расчета
и дает правильные значения.
Зависимость проблемы, вызывающая завышение диапазона значений, может доходить до большого диапазона, не позволяя делать более значимые выводы.
Дополнительное увеличение диапазона связано с решением областей, не принимающих форму интервального вектора. Множество решений линейной системы
Линейные интервальные системы
может быть определено переменной, если разделение разрешено. Поэтому одновременно Икс я <\ displaystyle x_ > 1 / [ а я я ] <\ displaystyle 1 / [a_
Итак, теперь мы можем заменить на [ Икс j ] <\ displaystyle [x_
Интервальный метод Ньютона
Биссекция и крышки
Различные методы интервалов дают консервативные результаты, поскольку не учитываются зависимости между размерами различных расширений интервалов. Однако проблема зависимости становится менее значительной для более узких интервалов.
тогда действительно для диапазона значений
Таким образом, для описанных выше расширений интервалов выполняется следующее:
Поскольку часто это подлинное надмножество правой части, это обычно приводит к улучшенной оценке. [ ж ] ( [ Икс ] ) <\ Displaystyle [е] ([\ mathbf <х>])>
заявка
Анализ ошибок округления
Интервальная арифметика используется при анализе ошибок для контроля ошибок округления, возникающих при каждом вычислении. Преимущество интервальной арифметики в том, что после каждой операции есть интервал, который надежно включает истинный результат. Расстояние между границами интервалов напрямую дает текущий расчет ошибок округления:
Анализ толерантности
Параметры, для которых невозможно выделить точные цифры, часто возникают при моделировании технических и физических процессов. Процесс производства технических компонентов допускает определенные допуски, поэтому некоторые параметры колеблются в определенных интервалах. Кроме того, многие фундаментальные константы точно неизвестны.
Арифметика с нечеткими интервалами
можно аппроксимировать последовательностью
Компьютерное доказательство
История
Рождение современной интервальной арифметики ознаменовалось появлением в 1966 году книги Рамона Э. Мура « Интервальный анализ ». Идея пришла ему в голову весной 1958 года, а через год он опубликовал статью о компьютерной интервальной арифметике. Его заслуга заключалась в том, что, исходя из простого принципа, он предоставлял общий метод автоматического анализа ошибок, а не только ошибок, возникающих в результате округления.
Независимо в 1956 году Мечислав Вармус предложил формулы для вычислений с интервалами, хотя Мур нашел первые нетривиальные приложения.
Журнал Reliable Computing (первоначально Interval Computations ) издается с 1990-х годов и посвящен надежности компьютерных вычислений. В качестве ведущего редактора Р. Бейкер Кирфотт, помимо своей работы по глобальной оптимизации, внес значительный вклад в унификацию обозначений и терминологии, используемых в интервальной арифметике.
Реализации
Существует множество программных пакетов, позволяющих разрабатывать численные приложения с использованием интервальной арифметики. Обычно они предоставляются в виде программных библиотек. Существуют также компиляторы C ++ и Fortran, которые обрабатывают интервальные типы данных и подходящие операции в качестве расширения языка, поэтому интервальная арифметика поддерживается напрямую.
Еще одна библиотека классов C ++ была создана в 1993 году в Гамбургском технологическом университете под названием Profil / BIAS (оптимизированная во время выполнения программа для быстрой интервальной библиотеки, базовая интервальная арифметика), которая сделала обычные интервальные операции более удобными для пользователя. Он подчеркнул эффективное использование оборудования, портативность и независимость конкретного представления интервалов.
Коллекция библиотек C ++ Boost содержит шаблонный класс для интервалов. Его авторы стремятся использовать интервальную арифметику на стандартном языке C ++.
Библиотека функционального языка OCaml была написана на ассемблере и C.
Стандарт IEEE 1788
Минимальное подмножество стандарта, IEEE Std 1788.1-2017, было одобрено в декабре 2017 года и опубликовано в феврале 2018 года. Это должно быть проще в реализации и может ускорить производство реализаций.
Конференции и семинары
Ежегодно в мире проводится несколько международных конференций или семинаров. Основной конференцией, вероятно, является SCAN (Международный симпозиум по научным вычислениям, компьютерной арифметике и проверенным численным вычислениям), но есть также SWIM (небольшой семинар по интервальным методам), PPAM (Международная конференция по параллельной обработке и прикладной математике), REC (Международный Практикум по надежным инженерным вычислениям.
Интервальная арифметика
Интервальная арифметика — способ работы с floating-point арифметикой, который для вещественных интервалов определяет операции, аналогичные обычным арифметическим. Этот способ удобен для работы с величинами, значения которых известны только приближённо, то есть определён конечный интервал, в котором эти значения содержатся.
Содержание
Операции над интервалами [ править ]
Здесь и далее [math] \underline <\odot>[/math] и [math] \overline <\odot>[/math] — выполнение операции [math] \odot [/math] по правилам вещественной арифметики с округлением в меньшую и большую сторону соответственно.
Из определения видно, что интервал-сумма содержит всевозможные суммы чисел из интервалов-слагаемых и определяет границы множества таких сумм. Аналогично трактуются прочие действия. Отметим, что операция деления определена только в том случае, когда интервал-делитель не содержит нуля.
Вырожденные интервалы, у которых начало и конец совпадают, можно отождествить с обычными вещественными числами.
Применение в вычислительной геометрии [ править ]
Допустим, нам нужно точно определить знак некоторого выражения (это может потребоваться, например, при вычислении предиката «левый поворот»). Будем использовать для его вычисления интервальную арифметику. Все исходные переменные, входящие в него, будут вырожденными интервалами. При выполнении одной из элементарных операций, описанных выше, будем вычислять нижнюю границу с округлением вниз, а верхнюю — с округлением вверх. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам неизвестны, но они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах. Если левая и правая границы интервала для всего выражения оказались одного знака, то и само выражение однозначно будет иметь тот же знак. В противном случае требуются дополнительные действия.
В Microsoft Visual C++ и GCC режим округления и другие настройки вещественной арифметики можно изменить с помощью функции _controlfp (MSDN рекомендует использовать более безопасную версию _controlfp_s, но GCC ее не поддерживает).
Проблемы и ограничения [ править ]
Предполагается, что мы можем управлять округлением в операциях над вещественными числами. Стандарт IEEE 754 гарантирует такую возможность, но не все современные языки/архитектуры его выполняют. Например, согласно этому материалу, вещественная арифметика в Java не соответствует стандарту IEEE 754 (в частности, не позволяет указывать правила округления). Поэтому на Java нельзя реализовать требуемую интервальную арифметику с использованием только примитивных типов double/float.
Интервальный счет
Метод интервального счета неоправданно игнорируется в нашей стране. Меня это удивляло всегда, ведь этот метод — ключ к пониманию состава числа, который, в свою очередь, выводит на понимание умножения, облегчает вычисления при операциях с дробями (особенно НОЗ, НОК, НОД), и далее : корни квадратного уравнения, формулы сокращенного умножения и т.п. Я уже молчу о том, что он существенно ускоряет устный счет. Но сам по себе он ничего не дает (как и любая вещь, собственно), надо добавить к нему несколько законов и научиться наблюдать и задаваться вопросами.
Сначала поговорим про скорость счета:
— допустим, ребенок выучил ряды интервального счета и ему надо умножить 2 на 7
конечно, можно вспоминать последовательность в двойке
но если знать переместительный закон, то пример трансформируется в 7 умножить на 2 — а это уже совсем просто, ведь ответ в интервальном счете на 7 в начале ряда
— если вы часто практикуетесь в вычислениях, то какие-то основные часто встречающиеся результаты ребенок просто начинает помнить в отрыве от интервального счета (или таблицы умножения) и поиск ответа уже не требует времени, ответ просто помнится, а не вычисляется
— если проводить наблюдения над рядами интервалов и числовым рядом, то начинаешь понимать и запоминать, что не все числа из числового ряда встречаются в таблице Пифагора и числа не встречающиеся (равно и как встречающиеся) уже «опознаешь» быстрее
Дальше еще интереснее:
Итак, берем Таблицу Пифагора (про ее закономерности есть много статей). Но одна из особенностей нигде практически не упоминается. Если быть более точной, то упоминается не до конца.
Например, говорится, что числа зеркально повторяют друг друга относительно диагонали — и число 6 есть и в 2 и в 3. Что понятно, мы же знаем переместительный закон 2*3=6 как и 3*2=6
Но есть одинаковые числа не только в двух столбцах, а, например, в четырех.
какие же это числа? 12, 16, 18, 24 и т.п.
Возьмем число 12.
Оно есть в 3 и 4 — ведь 3*4 = 4*3 = 12
Оно есть и в 6 — ведь 6*2=2*6 = 12
Ребенок, привыкший задаваться вопросами, не успокоится, и будет копать дальше (при желании, таким вопросом ребенка может «осчастливить» родитель). И докопает, что 4 в первом примере и 6 во втором сами являются результатом умножения 4 = 2*2, а 6 = 2*3
Таким образом, первый пример мы можем записать как 3*2*2 = 12
а второй : 2*3*2 = 12
и если мы применим сочетательный закон, то получим что число 12 ВСЕГДА состоит из множителей 2 2 3. Вопрос только в том, в какой последовательности мы их сочетаем при умножении.
Так ребенок выходит на понятия простых и составных чисел и имеет возможность наблюдать их до второго десятка. Этого достаточно, чтобы озадачиться вопросом и через проверку понять, что простые и составные числа есть не только в первом, но и во втором десятке, а так же предположить (и проверить), что и в третьем десятке, и так далее ( в том числе, в трехзначных и более числах) есть простые и составные числа.
Учить интервальный счет можно, в принципе, до 14, когда начинает повторяться 7, но можно и 15 использовать, т.к. в вычислениях часто кольцуется 15-45-60-90, когда мы не 5 используем в основании, а именно 15.
Дальше 15 нет особого смысла учить, особенно если вы знакомы с распределительным законом, хорошо запомнили пары и тройки чисел и используете это активно при устном счете. Так же при частых вычислениях какие-то часто встречающиеся числа запомнятся сами.
Я не претендую в посте на научность, и не призываю ни за, ни против. Это лишь мой собственный опыт (я считала и решала примеры лучше всех в классе именно благодаря такому подходу к наблюдению над интервальными рядами, числовому ряду и таблицей Пифагора) как ученицы и как человека, обучающего счету других детей (только школьникам очень сильно мешает в освоении устного счета раннее введение письменных алгоритмов вычислений).
Надеюсь, что этот краткий пост поможет вам и подтолкнет вас к интересным наблюдениям и своим выводам! Если нужно написать с чего начинать и как, маякните, можно будет может вебинар сделать? Иногда поговорить легче, чем пост написать)
На фото — работа по интервальному счету с числовым рядом.