что такое интервал аппроксимации

Что такое аппроксимация

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Многие термины, используемые точными науками, находят свое применение и в обыденной жизни.

Сегодня рассмотрим один из них, термин «аппроксимация».

Узнаем, что такое аппроксимация в математике и в каких ситуациях это понятие можно использовать, исключая точные науки.

Аппроксимация в математике — это …

Как правило, суть термина раскрывается, если его перевести на родной язык. В переводе с латинского «proxima» – это «ближайшая», более широкое толкование перевода – «приближение».

Следовательно, аппроксимация – это метод вычислений, используемый в математике, заключающийся в том, что сложные математические объекты при расчетах (других исследованиях) заменяются более простыми (но максимально похожими).

Пример: при расчетах, в которых используются иррациональные числа (бесконечные десятичные дроби), эти числа заменяются рациональными числами (конечными дробями), приближенными по количественному значению. Этот метод называется диофантовым приближением и является примером применение метода аппроксимации.

Знакомое нам всем число π (пи) – это бесконечная десятичная дробь. π = 3,1415926535897932 …. При вычислениях, в которых используется число «пи», принято брать не дробь целиком (но это и невозможно, ведь она бесконечна), а только 2 цифры после запятой.

Таким образом, принято считать, что π = 3,14. И это тоже применение метода аппроксимации.

В геометрии метод аппроксимации используется в действиях с кривыми: для удобства вычислений они заменяются ломаными. Как это выглядит, можно посмотреть на схеме:

Кривая (синий цвет) для проведения каких-либо вычислений аппроксимируется в ломаную, каждое из звеньев которой имеет вершины с координатами, максимально приближенными к координатам кривой.

Термин «аппроксимация» схож по сути со следующими математическими понятиями:

Применение термина «аппроксимация» в иных областях

Суть термина применительно к философским категориям остается той же, что и в математике – это указание на приблизительный характер какого-либо процесса, явления.

Аппроксимация в экономике – это метод, используемый в моделировании экономических ситуаций, а именно – замена сложных производственных или иных экономических объектов более простыми (при сохранении основных входных и выходных параметров этих объектов).

Данный метод позволяет решать сложные задачи с помощью «пожертвования» деталями, что делает алгоритм решения (это что?) более простым.

Приведу простой пример: для построения кривых спроса (что это?) и предложения используются показатели цены и количества проданных товаров. Это наглядно изображено на рисунке ниже:

На самом деле на спрос и предложение влияние оказывают и другие факторы.

При проведении анализа эти факторы не учитывают, принимая во внимание только цену и проданный товар, следовательно, построенные кривые являются аппроксимацией более сложных кривых. Но для оценки данной экономической ситуации полученные аппроксимированные графики являются достаточными.

Аппроксимация в повседневной жизни – это обобщение ряда событий, имеющих одинаковый посыл. Например, на вопрос: «Как дела?», мы чаще всего отвечаем: «Нормально, все в порядке».

Это аппроксимация оценки своей жизни, своей деятельности за недавний отрезок времени. На самом деле происходило и плохое, и хорошее, но в целом – «все по среднему», мы не вдаемся в подробности и не рассказываем, что произошло за, допустим, последнюю неделю.

Или еще пример: вчера весь день светило солнце, несколько раз «занавешиваясь» облачками. Но на вопрос о погоде мы ответим, что было солнечно, и не будем рассказывать о ее небольших изменениях, потому что они были недолгими, и не существенными.

Краткое резюме

Мы рассмотрели применение термина «аппроксимация» в различных областях. Следует отметить, что практическое использование аппроксимации в алгебре и геометрии очень специфично, поэтому в этой статье детального разъяснения нет.

Для тех, кто хочет подробней узнать про аппроксимацию функций привожу 2 ссылки: первая – лекция общего характера, другая – монография по этой же теме с прикладным уклоном.

Читайте наш блог, это познавательно!

Автор статьи: Елена Копейкина

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (2)

Мне думается, математики, социологи, маркетологи и проч. знают этот термин. Всем же прочим просто не нужно такое специфическое слово. Ну как его использовать вне профессиональной сферы?

Происхождение этого слова я вижу от английского «approximately», что означает «приблизительно». Оно в свою очередь от другого слова, кстати очень распространенный термин в авиации — «approach», то есть приближение, подход.

Источник

Аппроксимация

Добавлено в закладки: 0

Что такое аппроксимация – это научный метод, который можно использовать в разных областях познания. В дословном переводе он означает «приближение», и под ним подразумевается замена одних объектов, которые изучаются, на другие, схожие с исходными и более простые.

Метод аппроксимации дает возможность проводить исследования разных характеристик объектов, например, их качественных и числовых свойств.

Это достигается тем, что эти свойства сводятся к характеристикам объектов, которые уже известны, или гораздо легче определяются.

Рассмотрим, более детально, ч то значит аппроксимация. Аппроксима́ция, или приближе́ние являются научным методом, состоящим в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, однако более простыми.

Аппроксимация дает возможность исследовать качественные свойства и количественные характеристики объекта, сводя задачу к изучению более удобных или более простых объектов (к примеру, таких, свойства которых легко вычисляются или свойства которых известны уже). В теории чисел изучают диофантовы приближения, в частности, приближения рациональными иррациональных чисел. В геометрии рассматривают аппроксимации кривых ломаными. Определенные разделы математики целиком посвящены в сущности аппроксимации, к примеру, теория приближения функций, количественные методы анализа.

В переносном смысле употребляют в философии как способ приближения, указание на неокончательный, приблизительный характер. К примеру, в таком смысле термин «аппроксимация» употреблялся активно Сёреном Кьеркегором (1813—1855) в «Заключительном ненаучном послесловии…»

Остаточный член

Остаточный член — разница меж аппроксимирующей функцией и заданной функцией. Оценка остаточного члена тем самым является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации. Данный термин используется, к примеру, в формуле ряда Тейлора.

Примеры

Когда функция будет применяться лишь для интерполяции, то достаточно аппроксимировать точки полиномом, скажем, пятой степени:

Гораздо сложней обстоит дело, когда изменения с граничными условиями. Тут уже качество итога зависит от профессионализма исследователя.

Для оптимального выбора параметров уравнений используют обычно способ наименьших квадратов.

Мы надеемся, что да ли наиболее полное определение и понятие термина аппроксимация, привели ее примеры

Источник

Аппроксимация синуса: полиномы Чебышёва vs. ряды Маклорена

В комментариях к моей статье про быстрое вычисление синуса был задан вопрос: «А чем не устроило разложение в ряд Тейлора?»

Теперь более подробно.

При приближении синуса (и не только) полиномами Чебышёва используют следующее выражение:

При этом коэффициенты А₀, А₁ и т.д. рассчитываются заранее для какого-то участка функции.

При помощи рядов Маклорена синус вычисляется по следующей формуле:

Для удобства вычислений можно вынести повторяющиеся фрагменты за скобки. Например, так:

Для примера найдём значения синуса на интервале от 0 до обоими методами, и постоим их графики вместе с графиком «настоящего» синуса.
Речь по прежнему идёт о скорости аппроксимации, поэтому оба метода будем сравнивать при примерно одинаковом количестве вычислений. То ест возьмём полином Чебышёва 2-й степени (с тремя членами), и с тем же количеством членов возьмём ряд Маклорена (получится степень 5):

Картинка кликабельна

График многочлена Чебышёва представляет собой фрагмент параболы, и пересекает график синуса в трёх точках, являющимися корнями многочлена.

График ряда Маклорена, начиная с левого края, почти совпадает с графиком синуса, и расхождение с ним начинается заметно на глаз только в правой трети диаграммы.

Графики ошибок аппроксимации выглядят так:

На них видно, что ошибка приближения полиномом Чебышёва в разы больше таковой у ряда Маклорена.

Теперь давайте посмотрим, как ошибки аппроксимации зависят от количества членов аппроксимирующей функции.

Графики ошибок аппроксимации рядами Маклорена разной длины выглядят так:

Графики ошибок аппроксимации полиномами Чебышёва имеют следующий вид:

Графики ошибок выглядят по разному, но в обоих случаях величина ошибки падает с увеличением количества членов ряда. При этом точность полинома Чебышёва уже на порядки хуже таковой у рядов Маклорена.

На следующей диаграмме показана сравнительная точность аппроксимации обоими методами в зависимости от количества членов ряда (полинома). Точность выражена в «дробных битах», численно равных минус логарифму ошибки по основанию 2:

Вычисления производились с использованием 80-битных числе с плавающей запятой (тип long double). Результаты аппроксимации сравнивались со значением синуса, полученными стандартной функцией sinl() из библиотеки С компилятора gcc.

Приближение при помощи рядов Маклорена (зелёная линия) даёт большую точность по сравнению с полиномами Чебышёва (синяя линия). Точность не растёт выше какого-то предела, это связано с ошибками округления при вычислениях.

Однако для аппроксимации полиномами Чебышёва полный период (от 0 до можно разбить не на 4, как это делалось до сих пор, а, например, на 512 равных интервалов. На диаграмме этот случай представлен серой линией. Точность в 53.94 бита уже при 6 членах (полином 5-й степени) превышает таковую у ряда Маклорена в 51.62 бита при 10 членах ряда.

Вместо вывода. Пока что не существует идеального способа вычисления синуса, иначе не было такого их разнообразия. Подходящий способ выбирается как компромисс, исходя из заданных условий.

Источник

Линейная аппроксимация

При обработке экспериментальных данных часто возникает необходимость аппроксимировать их линейной функцией.

Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция – нахождение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

В случае если между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции.

Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами, а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию ).

Аппроксимация линейной функцией

Любая линейная функция может быть записана уравнением

Аппроксимация заключается в отыскании коэффициентов a и b уравнения таких, чтобы все экспериментальные точки лежали наиболее близко к аппроксимирующей прямой.

С этой целью чаще всего используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем: сумма квадратов отклонений значения точки от аппроксимирующей точки принимает минимальное значение:

Решение поставленной задачи сводится к нахождению экстремума указанной функции двух переменных. С этой целью находим частные производные функции функции по коэффициентам a и b и приравниваем их к нулю.

Решаем полученную систему уравнений

Определяем значения коэффициентов

Для вычисления коэффициентов необходимо найти следующие составляющие:

Тогда значения коэффициентов будут определены как

Пример реализации

Для примера реализации воспользуемся набором значений, полученных в соответствии с уравнением прямой

y = 8 · x — 3

Рассчитаем указанные коэффициенты по методу наименьших квадратов.
Результат сохраняем в форме двумерного массива, состоящего из 2 столбцов.
При следующем запуске программы добавим случайную составляющую к указанному набору значений и снова рассчитаем коэффициенты.

Построение графика функции

Для наглядности построим график функции, полученный аппроксимацией по методу наименьших квадратов. Подробнее о построении графика функции описано здесь.

Аппроксимация с фиксированной точкой пересечения с осью y

В случае если в задаче заранее известна точка пересечения искомой прямой с осью y, в решении задачи останется только одна частная производная для вычисления коэффициента a.

В этом случае текст программы для поиска коэффициента угла наклона аппроксимирующей прямой будет следующий (имя функции getApprox() заменено на getApproxA() во избежание путаницы).

Источник

4. Аппроксимация

В главе 3 была рассмотрена задача интерполяции, которая заключается в определении промежуточных значений функции по известному дискретному набору значений функции. Аппроксимация – это определение параметров аналитической функции, описывающей набор точек, полученных в результате эксперимента.

4.1. Задача аппроксимации

Предположим, имеется набор из n точек (x_i y_i), полученных в результате эксперимента, и необходимо аппроксимировать (описать) эти данные некоторой функцией f(x). Если исходные данные были получены с высокой точностью и количество точек не очень большое, то можно аппроксимировать данные функцией, которая проходит через все узловые точки. На практике экспериментально полученные данные всегда обладают погрешностью, часто довольно значительной, тогда при аппроксимации можно провести кривую таким образом, чтобы ее отклонение от всех точек было минимальным, но при этом она не обязательно будет проходить через каждую точку (рис.4.1). Такая аппроксимация сгладит погрешность первоначальных данных.

y1 x1 y2 x2 … … yi xi … … yn xn

Рис.4.1. Задача аппроксимации

Представим аппроксимирующую функцию в виде суммы произведений коэффициентов с₀, с₁, …, с_m и базисных функций g₀, g₁, …, g_m:

, (4. 1)

Выбор базисных функций, то есть зависимости, которой можно описать реальные данные – это отдельная задача, часто решаемая методом проб и последовательных приближений. В этом случае исходные данные, представленные в графической форме (семейства точек или кривые), сопоставляются с семейством графиков ряда типовых функций, используемых обычно для целей аппроксимации. Однако во многих случаях базисная функция известна, и требуется только найти ее коэффициенты.

Во многих случаях в качестве базисной функции выбирают степенной полином:

, (4.2)

4.2. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Для определения неизвестных коэффициентов составим систему линейных уравнений. В общем случае система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) – это система из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(4. 3)

Систему линейных алгебраических уравнений можно записать в матричной форме:

(4.4)

(4.5)

где A – матрица системы, X – столбец неизвестных, B – столбец свободных членов:

, , (4.6)

Решение системы линейных алгебраических уравнений сводиться к нахождению значений элементов столбца неизвестных X (корней системы) по известным A и B. Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных алгебраических уравнений является условие , то есть определитель матрицы A не равен нулю. В случае равенства нулю определителя матрица A называется вырожденной, и при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет бесчисленное множество решений.

Если матрица системы квадратная, и ее определитель не равен нулю, систему можно решить одним из следующих методов.

Метод Крамера

При небольшой размерности системы m для решения часто используют метод Крамера:

(4.7)

где – определитель матрицы системы, – определитель матрицы системы, где вместо i-го столбца стоит столбец правых частей.

Для больших матриц решение методом Крамера является слишком долгим и трудоемким.

Метод Гаусса

Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных, когда система уравнений (матрица A) приводится к равносильной системе треугольного вида (прямой ход метода Гаусса). Затем из полученной треугольной матрицы последовательно, начиная с последних по номеру, находятся все переменные системы (обратный ход метода Гаусса).

Метод обратной матрицы

Если , то существует обратная матрица . Тогда решение СЛАУ можно записать в виде:

(4.8)

То есть, решение СЛАУ можно свести к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей. Нахождение обратной матрицы – трудоемкая операция, однако, при наличии вычислительных библиотек, предоставляющих вычисление обратной матрицы (иногда несколькими способами), такой вариант может быть менее сложен и более эффективен для самостоятельной реализации.

4.3. Пример использование СЛАУ для решения задачи аппроксимации

Систему линейных алгебраических уравнений можно применить и для решения задачи аппроксимации. Например, аппроксимируем n имеющихся точек (x_i y_i) параболой:

(4.9)

Тогда в столбец неизвестных можно записать искомые коэффициенты с₀, с₁, с₂, в столбец свободных членов – известные значения y₀,…, y_n, а в матрицу системы – вычисленные значения для каждого y_i при каждом коэффициенте с₀, с₁, с₂:

, , (4.10)

4.4. Метод наименьших квадратов (МНК)

Для переопределенных СЛАУ (количество уравнений больше количества неизвестных m > n) система не имеет единственного точного решения, но можно найти “оптимальный” вектор X. В этом случаем для решения СЛАУ используется метод наименьших квадратов (МНК). При помощи этого метода коэффициенты аппроксимирующей функции вычисляются таким образом, чтобы среднеквадратичное отклонение экспериментальных данных от найденной аппроксимирующей функции (сумма квадратов отклонений между векторами и уравнения (4.5)) было наименьшим:

, где (4.11)

Для вывода решения системы линейных уравнений методом наименьших квадратов перепишем выражение (4.5), с добавлением вектора погрешности :

(4.12)

(4.13)

Теперь задача сводится к минимизации квадрата нормы вектора погрешности :

(4.14)

(4.15)

(4.16)

Для нахождения минимума необходимо вычислить частную производную по X уравнения (4.16) и приравнять ее к 0:

(4.17)

Отсюда находим значение вектора X:

(4.18)

Таким образом, метод наименьших квадратов сводится к нахождению обратной матрицы.

Взвешенный метод наименьших квадратов

Если в полученных экспериментально данных разные измерения (точки) имеют разные погрешности, можно использовать взвешенный метод наименьших квадратов. Во взвешенном МНК разные уравнения системы (разные точки экспериментально полученных данных) получают разный вес w_i, обычно пропорциональный погрешности каждой точки . Взвешенный метод наименьших квадратов можно записать в матричном виде:

(4.19)

где W — диагональная матрица весов:

(4.20)

Источник