Что такое главная площадка напряжений

Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (права грань):

После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали

Рис.1. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

п с компонентами n_x, n_y, n_z. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений p_n на наклонной площадке разложен па составляющие р_x, р_y, р_z вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dF_x, dF_y, dF_z, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию р_x вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

Источник

Тензор напряжений.
Главные площадки и главное напряжение.
Виды напряжённого состояния.

Введем в произвольной точке тела декартову прямоугольную систему координат O_xyz. Рассмотрим в точке O элементарный (бесконечно малый) куб, ребра которого параллельны осям системы координат. Пусть длины ребер куба равны d_a. Нарисуем на гранях куба нормальные <σ_x, σ_y, σ_z> и касательныеxy, t_xz, t_yx, t_yz, t_zx, t_zy> напряжения, параллельные одной из осей координат (рис. 1).

Нормальные напряжения направлены наружу куба и перпендикулярны его граням, а касательные напряжения лежат в плоскостях граней куба. Индекс нормальных напряжений соответствует оси, которой они параллельны. Первая буква двойного индекса касательных напряжений совпадает с индексом нормального напряжения на той же грани. В силу третьего закона Ньютона напряжения на противоположных гранях элементарного куба равны по модулю и противоположны по направлению.

Закон парности касательных напряжений : на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны по модулю и направлены обе либо к ребру, либо от ребра:

В курсе «Сопротивление материалов» тензором напряжений называется матрица:

Главные площадки и главные напряжения.

Главными площадками напряжений называются площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения.

Виды напряженного состояния.

Виды напряженного состояния: линейное напряженное состояние (два главных напряжения равны нулю), плоское напряженное состояние (одно из главных напряжений равно нулю) и объемное напряженное состояние (все главные напряжения не равны нулю).

Источник

iSopromat.ru

Главными называют нормальные напряжения на площадках рассматриваемого элемента с нулевыми касательными напряжениями.

Для любого случая нагружения бруса всегда можно найти такое положение мысленно выделенного в нем элемента, на гранях которого касательные напряжения будут отсутствовать (т.е. τ=0)

Площадки (грани элемента) на которых касательные напряжения равны нулю называются главными.

Таким образом, главные напряжения – это нормальные напряжения на главных площадках.

Обозначение главных напряжений

Главные напряжения принято обозначать буквой σ с индексом 1, 2 и 3.

При этом наибольшее, с учетом знака, напряжение обозначается как σ₁ а наименьшее соответственно σ₃.

Другими словами, главное напряжение, расположенное на числовой оси правее других – σ₁, а то, которое левее всех σ₃.

Например, для случая объемного напряженного состояния:

При плоском напряженном состоянии:

При линейном напряженном состоянии единственное напряжение всегда обозначается как σ₁ или просто σ.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Определение главных напряжений и главных площадок

Рис. 3.6. Главные напряжения

.

Подставив это условие в уравнение (3.9), получим

.

Эти уравнения можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно направляющих косинусов. В силу известного соотношения:

направляющие косинусы не могут одновременно иметь нулевые значения. В этом случае определитель, составленный из коэффициентов системы (3.16) должен быть равен нулю:

Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение третьего порядка:

,

,

называются инвариантами напряженного состояния в точке, так как они не изменяют своей величины при изменении направления исходной системы прямоугольных координат. Можно доказать существование трех действительных корней уравнения (3.19). На основании этого можно считать, что в каждой точке тела, независимо от его формы и размеров, места приложения, вида и характера нагрузок, существует не более трех взаимно ортогональных главных напряжения.

Для определения положения главных площадок необходимо знать направляющие косинусы нормали к этой площадке. Для их определения следует воспользоваться системой уравнений (3.16). Однако равенство нулю определителя этой системы указывает на то, что не все уравнения системы являются линейно независимыми; одно из них есть следствие двух других. Чтобы сделать систему определенной, надо добавить к ней равенство (3.17). После этого число независимых уравнений становится достаточным для однозначного определения направляющих косинусов.

Источник

Главные площадки и главные напряжения.

Выражение (5.5) показывает, что является функцией угла наклона площадки α. Рассмотрим задачу об отыскании площадок, в которых возникают экстремальные для точки нормальные напряжения. Для этого найдем производную от (5.5) и приравняем её нулю:

(5.9)

Сравнив выражение в квадратных скобках с формулой (5.7), можем равенство (5.9) переписать в эквивалентной форме:

(5.10)

Из (5.10) следует, что на площадках где действуют экстремальные нормальные напряжения, касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными, а соответствующие им нормальные напряжения – главными напряжениями в точке.

Из выражения (5.9) получим тангенс двойного угла наклона нормалей главных площадок:

(5.11)

Выражение (5.11) дает два взаимно перпендикулярных направления с углами и , по которым действуют главные напряжения σ_max, σ_min.

Для определения значений главных напряжений подставим в формулу (5.5) α=α₀ (α_0-определено из решения уравнения). После преобразований (см. стр. 348, 349 учебник «Сопротивление материалов» А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин.) получим:

(5.12)

В этой формуле знак плюс соответствует максимальному главному напряжению, а минус – минимальному. Очевидно, что

(5.13)

Из приведенного вывода следует, что при любых исходных напряжениях σ_x,σ_y,τ_xy в данной точке существует параллелепипед, на гранях которого действуют только нормальные напряжения.

Приведем формулу для тангенса одиночного угла наклона искомой главной площадки, на которой действует

.

(5.14)

В формуле (5.14) положительный угол отсчитывается от оси по ходу часовой стрелки.

Угол между осью и внешней нормалью к сечению, в котором действует определяется по формуле .

Простое универсальное правило для направления . Направление σ_max всегда проходит через те две четверти осей координат, к которым сходятся стрелки касательных напряжений τ_xy,и τ_yx (см. рис. 5.6)

Экстремальные касательные напряжения

(5.15)

(5.16)

Главные деформации

В соответствии с формулами обобщенного закона Гука (см. (3.13)) деформации в направлении главных напряжений вычисляются по формулам:

(5.17)

Чистый сдвиг.

Если по граням плоского элемента действуют только касательные напряжения интенсивностью , то такой вид деформации элемента называется чистым сдвигом(рис. 5.8)

Рис.5.8 Чистый сдвиг

Таким образом, мы имеем частный случай плоского напряженного состояния: . По формулам (5.12) получаем главные напряжения:

, .

(5.18)

По формулам (5.14) находим положение главных сечений:

,

(5.19)

По формулам (5.17) находим главные деформации:

,

(5.20)

Главные деформации равны по модулю, но противоположны по знаку, следовательно, относительное изменение объема (см. 3.14) пластины равно нулю

(5.21)

Таким образом, при чистом сдвиге изменения объема не происходит, а меняется только форма пластины. Квадратная пластина переходит в ромб (рис. 5.8).

Источник