что такое гамма функция

Почему это интересно?

Многие распределения вероятностей определяются с использованием гамма-функции, я перечислю лишь некоторые: гамма-распределение, бета-распределение, распределение Дирихле, распределение хи-квадрат, т-распределение Стьюдента и так далее.

Для специалистов по данным или инженеров и исследователей машинного обучения гамма-функция, вероятно, одна из наиболее широко используемых функций, потому что она участвует во множестве распределений. Эти распределения затем используются для генеративных статистических моделей (например, латентного размещения Дирихле), стохастических процессов (таких как модели очередей), байесовском выводе и вариационном выводе. Если вы уже хорошо понимаете гамма-функцию, вы сможете лучше понять множество приложений, в которых она появляется!

1. Зачем нам нужна гамма-функция?

Потому что мы хотим генерализовать факториал!

Функция факториала определена только для дискретных точек (для положительных целых чисел — черные точки на графике выше), но мы хотим соединить черные точки. Мы хотим распространить функцию факториала на все комплексные числа. Простую формулу факториала, x! = 1 * 2 * … * x, нельзя использовать непосредственно для дробных значений, потому что она верна только для целых чисел.

Тогда математики стали искать…

“Какие функции плавно соединяют эти точки и предоставляют нам факториалы всех действительных чисел?”

Однако они не могли найти “конечные” комбинации сумм, произведений, степеней, экспонент и логарифмов, которые могли бы выразить x! для действительных чисел, пока…

2. Эйлер в XVIII веке нашел гамма-функцию

Формула выше используется для нахождения значения гамма-функции любого действительного значения z.

Мы хотим вычислить Γ(4.8). Как решить интеграл выше?
Сможете вычислить вручную? Может быть, по частям?

Для меня (и многих других) пока не существует простого и быстрого способа вычислить гамма-функцию дробей вручную (Если вам интересно решить вручную, вот хорошая стартовая точка).

Ладно, забудьте о том, чтобы сделать это аналитически. Вы сможете вычислить этот интеграл от 0 до бесконечности программным способом, добавляя член бесконечное число раз?

Есть несколько способов вычисления. Два из наиболее используемых решений — это формула Стирлинга и приближение Ланцоша.

Давайте вычислим Γ(4.8), используя готовый калькулятор.

Мы получим 17.837.

17.837 находится между 3!(= Γ(4) = 6) и 4!(= Γ(5) = 24) — как мы и ожидали.

Когда z — натуральное число, Γ(z) =(z-1)! Скоро мы это докажем.

В отличие от факториала, который принимает только положительные целые числа, мы можем подставлять в z любые действительные или комплексные числа, в том числе и отрицательные. Гамма-функция соединяет черные точки и плавно рисует кривую.

3. Как гамма-функция может интерполировать функцию факториала?

Если вы посмотрите на гамма-функцию, вы заметите две вещи.

Во-первых, это определенно возрастающая функция по отношению к z.

Во-вторых, если z — натуральное число, Γ(z+1) = z!
(Я обещаю, что мы скоро докажем это!)

Значит, можно ожидать, что гамма-функция соединит факториал.

Как гамма-функция получила члены x^z и e^-x?

Я не знаю точно, каким путем шел Эйлер, но именно он открыл натуральное число e, поэтому он, должно быть, много экспериментировал с перемножением e на другие функции, чтобы найти настоящую форму уравнения.

4. Как будет выглядеть график гамма-функции?

Когда x стремится к бесконечности ∞, первый член (x^z) также стремится к бесконечности ∞, но второй (e^-x) стремится к нулю.

Будет ли гамма-функция сходиться к конечным значениям?

Мы методично покажем, что сходится, используя правило Лопиталя. Но мы также можем увидеть ее сходимость и без особых усилий. Подумаем: мы интегрируем произведение x^z — полиномиальной возрастающей функции — и e^-x —экспоненциально убывающей функции. Так как значение e^-x уменьшается значительно быстрее, чем значение x^z, гамма-функция наверняка сходится и имеет конечные значения.

Давайте построим на каждый график, ведь лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

График x^z * e^-x

Давайте рассмотрим случай Γ(4.8).

Зеленая область под графиком со значениями от 0 до бесконечности — Γ(4.8) = 3.8!

Для создания красивого графика выше использовался код Python. Постройте такой график сами и увидите, как z меняет форму гамма-функции!

5. Свойства гамма-функции

Если усваивать что-то одно из поста, то этот раздел.

Давайте докажем это, используя интегрирование по частям и определение гамма-функции.

Докажем это, используя свойство 1:

Каково значение Γ(1)?

Таким образом, Γ(n) = (n-1)!

6. Используя свойство гамма-функции, покажем, что плотность вероятности гамма-распределения интегрируется к 1.

Для фанатов доказательств: давайте докажем фрагмент выше, выделенный красным.

Интегрируем методом подстановки.

Снова красиво доказано!

Она весьма стара, ей около 300 лет (работаете ли вы сейчас над чем-то, что будет использоваться 300 лет спустя? 😉

Интересное примечание: Эйлер ослеп в 64 года, однако больше половины своих работ он написал уже после потери зрения.

2. Несколько интересных значений в точках:

3. Вот быстрый обзор графиков гамма-функций действительных чисел:

Гамма-функция Γ(z) нарисована синим, Γ(z) + sin(πz) — зеленым. (Заметьте, пересечение в области положительных целых чисел, потому что sin(πz) равен нулю!) Обе являются истинными аналитическими продолжениями факториалов до нецелых чисел.

4. Гамма-функция также появляется в формуле объема n-мерного шара.

Источник

Гамма-функция

Оглавление

Классификация без предварительных математических знаний

В математике проблема заключалась в том, можно ли распространить это правило на другие типы чисел. Конкретно это означает:

история

Определение и элементарные формы представления

В литературе нет стандартного определения гамма-функции.

Другое представление посредством продукта напрямую мотивирует обобщение факультета. Это дает:

Глобальные свойства

Функциональное уравнение и мероморфия

Нули и полюсы

Теорема Гёльдера

Аксиоматическая характеристика

Продолжение факультета

Теорема Бора-Моллерупа

Теорема Бора-Моллерупа ( Харальд Бор и Йоханнес Моллеруп, 1922) позволяет просто охарактеризовать гамма-функцию:

Эти аксиомы являются отправной точкой для изложения Николя Бурбаки теории гамма-функции.

Теорема Виландта

Теорема Виландта о гамма-функции ( Helmut Wielandt 1939) характеризует гамма-функцию как голоморфную функцию и утверждает:

Другие формы представительства

Интегральное представление из определения также восходит к Эйлеру 1729 года; в более общем смысле оно применяется к комплексным числам с положительной действительной частью:

Из этого представления, например, можно элегантно вывести интегральные формулы Френеля.

Эрнст Эдуард Куммер дал разложение Фурье логарифмической гамма-функции в 1847 году :

Ее еще называют серией Куммера. Карл Йохан Мальмстен обнаружил похожую серию еще в 1846 году :

Функциональные уравнения и специальные значения

Гамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению

В качестве альтернативы это значение гамма-функции можно определить с помощью продукта Уоллиса :

Этот продукт можно сформировать таким образом:

Следующая дробь имеет следующее предельное значение:

Следующие выражения применимы ко всем n ∈ ℕ:

Следовательно, применяется эта формула:

Формула решается относительно Γ (3/2):

Γ ( 1 / 2 ) знак равно 2 Γ ( 3 / 2 ) знак равно π <\ Displaystyle \ Гамма (1/2) = 2 \ Гамма (3/2) = <\ sqrt <\ pi>>>

С дополнительной теоремой о гамма-функции (Эйлер 1749)

Это частный случай формулы умножения Гаусса (Gauß 1812)

Потому что применимо следующее:

В связи с дополнительным предложением применяется следующее:

Значения гамма-функции третей также могут быть представлены с помощью эллиптических интегралов первого и второго порядка:

Потому что применимо следующее:

В общем, ко всем применима следующая формула : п ∈ N <\ Displaystyle п \ в \ mathbb >

Таким образом можно определить все значения гамма-функции рациональных чисел.

Следующие дополнительные значения функции гамма-функции могут быть представлены эллиптическими интегралами первого и второго порядка:

Дальнейшие соотношения между гамма-функцией и эллиптическими интегралами:

В качестве альтернативы их можно добавить непосредственно в формулу

Связь с функцией Римана Шена

Бернхард Риман ввел гамма-функцию с ζ-функцией Римана по формуле в 1859 г.

Примерный расчет

Формула Стирлинга

Рекурсивное приближение

Из функционального уравнения

Неполная гамма-функция

В литературе этот термин не используется единообразно в отношении пределов интегрирования и нормализации (регуляризации).

Если говорить о регуляризованной гамма-функции, это уже означает, что она неполная.

обозначает обобщенную неполную гамма-функцию.

Источник