что такое длина интервала

Числовые промежутки. Контекст. Определение

Введём понятие числового промежутка. Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства. Тогда как множеством решения уравнения будет не числовой промежуток, а просто несколько чисел на числовой прямой, с неравенствами, иначе говоря, любыми ограничениями значения переменной появляются числовые промежутки.

— это множество всех точек числовой прямой, ограниченное данным числом или числами (точками на числовой прямой).

Числовой промежуток любого вида (множество значений x, заключённых между некоторыми числами) всегда можно представить тремя видами математических обозначений: специальными обозначениями промежутков, цепочками неравенств (одним неравенством или двойным неравенством) или геометрически на числовой прямой. По сути, все эти обозначения имеют один смысл. Они дают ограничение(-я) для значений какого-то математического объекта, переменной величины (некоторой переменной, любого выражения с переменной, функции и т.д.).

Из вышесказанного можно понять, что так как можно по-разному ограничить область числовой прямой (есть разные типы неравенств), то и типы числовых промежутков бывают разные.

Виды числовых промежутков

Каждый тип числового промежутка имеет собственное название, особое обозначение. Для обозначения числовых промежутков используют круглую и квадратную скобку. Круглая скобка означает, что конечная, определяющая границу, точка на числовой прямой (конец) у этой скобки не входит во множество точек данного промежутка. Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток. С бесконечностью (с этой стороны промежуток не ограничен) используют круглую скобку. Иногда вместо круглых скобок можно писать квадратные, повёрнутые в обратную сторону: (a;b) ⇔]a;b[

С помощью промежутков в математике обозначается очень большое количество вещей: есть промежутки изоляции при решении уравнений, промежутки интегрирования, промежутки сходимости рядов. Промежутками принято всегда обозначать при при исследовании функции её область значений и область определения. Промежутки очень важны, например, есть теорема Больцано — Коши (можно узнать больше в «Википедии»).

Системы и совокупности неравенств

Система неравенств

Любую систему можно решать графически с использованием числовой прямой. Там, где решения составляющих систему неравенств пересекаются и будет решение самой системы.

Представим для каждого случая графическое решение.

Далее, системы неравенств можно классифицировать как равносильные, если они имеют общее множество решений. Отсюда (как можно видеть выше) следует, что более сложные системы можно упрощать (например, используя геометрическое решение).

Фигурную скобку можно условно, грубо говоря, назвать эквивалентом союза «И» для неравенств

Совокупность неравенств

Итак, все неравенства в совокупности объединяют скобкой совокупности «[«. Если значение переменной удовлетворяет хотя бы одному неравенству из совокупности, то оно принадлежит множеству решений всей совокупности. Также и с уравнениями (опять же их можно назвать частным случаем).

Источник

Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения

Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.

Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств. В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.

Виды числовых промежутков

Каждый числовой промежуток характеризуется:

Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.

Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:

Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной. Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее. Тогда неравенство вида x a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x > a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.

Рассмотрим несколько примеров.

Для наглядного примера зададим числовой луч.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Таблица числовых промежутков

Промежутки могут быть изображены в виде:

Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.

Источник

Интервальный вариационный ряд и его характеристики

п.1. Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента

Скобка \(\lfloor\ \rfloor\) означает целую часть (округление вниз до целого числа).

Скобка \(\lceil\ \rceil\) означает округление вверх, в данном случае не обязательно до целого числа.

Заметим, что поскольку шаг h находится с округлением вверх, последний узел \(a_k\geq x_\).

п.2. Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения

Например:
Продолжим анализ распределения учеников по росту.
Выше мы уже нашли узлы интервалов. Пусть, после распределения всех 100 измерений по этим интервалам, мы получили следующий интервальный ряд:

Найдем середины интервалов, относительные частоты и накопленные относительные частоты:

п.3. Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда

Расположение выборочной средней, моды и медианы в зависимости от симметрии ряда аналогично их расположению в дискретном ряду (см. §65 данного справочника).

Например:
Для распределения учеников по росту получаем:

$$ X_=\sum_^k x_iw_i=171,68\approx 171,7\ \text <(см)>$$ На гистограмме (или полигоне) относительных частот максимальная частота приходится на 4й интервал [166;174). Это модальный интервал.
Данные для расчета моды: \begin x_o=166,\ f_m=34,\ f_=11,\ f_=33,\ h=8\\ M_o=x_o+\frac><(f_m-f_)+(f_m+f_)>h=\\ =166+\frac<34-11><(34-11)+(34-33)>\cdot 8\approx 173,7\ \text <(см)>\end На кумуляте значение 0,5 пересекается на 4м интервале. Это – медианный интервал.
Данные для расчета медианы: \begin x_o=166,\ w_m=0,34,\ S_=0,22,\ h=8\\ \\ M_e=x_o+\frac<0,5-S_>h=166+\frac<0,5-0,22><0,34>\cdot 8\approx 172,6\ \text <(см)>\end \begin \\ X_=171,7;\ M_o=173,7;\ M_e=172,6\\ X_\lt M_e\lt M_o \end Ряд асимметричный с левосторонней асимметрией.
При этом \(\frac<|M_o-X_|><|M_e-X_|>=\frac<2,0><0,9>\approx 2,2\lt 3\), т.е. распределение умеренно асимметрично.

п.4. Выборочная дисперсия и СКО

Например:
Для распределения учеников по росту получаем:

п.5. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации

Подробней о том, почему и когда нужно «исправлять» дисперсию, и для чего использовать коэффициент вариации – см. §65 данного справочника.

п.6. Алгоритм исследования интервального вариационного ряда

На входе: все значения признака \(\left\,\ j=\overline<1,N>\)
Шаг 1. Построить интервальный ряд с интервалами \(\left.\right[a_,\ a_i\left.\right)\) и частотами \(f_i,\ i=\overline<1,k>\) (см. алгоритм выше).
Шаг 2. Составить расчетную таблицу. Найти \(x_i,w_i,S_i,x_iw_i,x_i^2w_i\)
Шаг 3. Построить гистограмму (и/или полигон) относительных частот, эмпирическую функцию распределения (и/или кумуляту). Записать эмпирическую функцию распределения.
Шаг 4. Найти выборочную среднюю, моду и медиану. Проанализировать симметрию распределения.
Шаг 5. Найти выборочную дисперсию и СКО.
Шаг 6. Найти исправленную выборочную дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации. Сделать вывод об однородности выборки.

п.7. Примеры

Пример 1. При изучении возраста пользователей коворкинга выбрали 30 человек.
Получили следующий набор данных:
18,38,28,29,26,38,34,22,28,30,22,23,35,33,27,24,30,32,28,25,29,26,31,24,29,27,32,24,29,29
Постройте интервальный ряд и исследуйте его.

Считаем частоты для каждого интервала. Получаем интервальный ряд:

2) Составляем расчетную таблицу:

Источник

Метод интервалов, решение неравенств

Определение квадратного неравенства

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

Если неравенство со знаком

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a 0, последовательность знаков: +, +,

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Неравенство примет вид:

В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Отобразим эти данные на чертеже:

2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3

Источник

Интервал (математика)

Термин промежуток используется в составе сложных терминов:

Кстати, в английском языке словом interval называется отрезок. А для обозначения понятия интервала используется термин open interval.

Литература

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Интервал (математика)» в других словарях:

Промежуток (математика) — Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними[1]. С использованием логических символов, это определение… … Википедия

Портал:Математика — Начинающим · Сообщество · Порталы · Награды · Проекты · Запросы · Оценивание География · История · Общество · Персоналии · Религия · Спорт · Техника · Наука · Искусство · Философия … Википедия

Регрессия (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. регрессия. Регрессия (лат. regressio обратное движение, отход), в теории вероятностей и математической статистике, зависимость среднего значения какой либо величины от некоторой другой… … Википедия

Промежутки (математика) — Промежуток, открытый промежуток, интервал множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a Википедия

Апории Зенона — … Википедия

Средняя — периодическое увлажнение пола, при котором поверхность покрытия пола влажная или мокрая; покрытие пола пропитывается жидкостями. Источник: МДС 31 12.2007: Полы жилых, общественных и производственных зданий с применением м … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

«Новая хронология» Фоменко — «Новая хронология» неакадемическая теория, утверждающая, что общепризнанная хронология исторических событий в целом неверна, и предлагающая свой вариант хронологии и вообще истории человечества. Согласно утверждениям её авторов, основана на… … Википедия

Критика естественно-научных методов в «Новой хронологии» Фоменко — «Новая хронология» неакадемическая теория, утверждающая, что общепризнанная хронология исторических событий в целом неверна, и предлагающая свой вариант хронологии и вообще истории человечества. Согласно утверждениям её авторов, основана на… … Википедия

Критика естественно-научных методов в «Новой хронологии» Фоменко — «Новая хронология» неакадемическая теория, утверждающая, что общепризнанная хронология исторических событий в целом неверна, и предлагающая свой вариант хронологии и вообще истории человечества. Согласно утверждениям её авторов, основана на… … Википедия

Новая Хронология — «Новая хронология» неакадемическая теория, утверждающая, что общепризнанная хронология исторических событий в целом неверна, и предлагающая свой вариант хронологии и вообще истории человечества. Согласно утверждениям её авторов, основана на… … Википедия

Источник

• ← Частое изображение чего является отличительной чертой художников северного возрождения натюрмортов
• кусаются мухи к чему это →