что такое диполь и дипольный момент

Электрический диполь

Электрическим диполем (диполем) называют систему, состоящую из двух равных, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя).

Основной характеристикой диполя (рис. 12.5) является его электрический момент (дипольный момент) — вектор, равный произведению заряда на плечо диполя l, направленный от отрицательного заряда к положительному:

(12.19)

Единицей электрического момента диполя является кулон-метр. Поместим диполь в однородное электрическое поле напряженностью (рис. 12.6).

На каждый из зарядов диполя действуют силы и , эти силы равны по модулю, противоположно направлены и создают момент пары сил. Как видно из рисунка, он равен

М = qElsin a = pEsin a, (12.20) или в векторной форме . (12.21)

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует момент силы, зависящий от электрического момента и ориентации диполя, а также напряженности поля.

Рассмотрим теперь диполь в неоднородном электрическом поле. Предположим, что диполь расположен вдоль силовой линии (рис. 12.7). На него действуют силы

и

где Е₊ и Е_ — напряженности поля соответственно в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов (на рис. 12.7 Е_— > Е₊). Значение равнодействующей этих сил

где dE/dx — производная от напряженности электрического поля по направлению оси ОХ, являющаяся мерой неоднородности электрического поля вдоль соответствующего направления. Из (12.23)следует, что

тогда формулу (12.22) можно представить в виде

(12.24)

Итак, на диполь действует сила, зависящая от его электрического момента и степени неоднородности поля dE/dx. Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует еще и момент силы. Таким образом, свободный диполь ориентируется вдоль силовых линий и втягивается в область больших значений напряженности поля.

До сих пор рассматривался диполь, помещенный в электрическое по­ле, однако сам диполь также является источником поля. На основании (12.18) запишем выражение для электрического потенциала поля, со­зданного диполем, в некоторой точке А, удаленной от зарядов соответ­ственно на расстояния гиг, (рис. 12.8):

(12.25)

Обычно предполагают, что l

(12.28)

Учитывая эти равенства, выполним тригонометрические преобразования:

(12.29)

Подставляя (12.29) в (12.28), имеем

(12.30)

Как видно из (12.30), разность потенциалов двух точек поля диполя, равноотстоящих от него (при данных e и r), зависит от синуса половинного угла, под которым видны эти точки от диполя (рис. 12.10), и проекции электрического момента диполя р cos a на прямую, соединяющую эти точки (рис. 12.11). Эти замечания справедливы в рамках тех ограничений, которые были сделаны при выводе формулы (12.27).

Пусть диполь, создающий электрическое поле, находится в центре равностороннего треугольника ABC (рис. 12.12). Тогда на основании (12.30) можно получить, что напряжения на сторонах этого треугольника относятся как проекции вектора на его стороны:

Источник

3.2. Электрический диполь

Чтобы понять механизм поведения диэлектриков в поле на микроскопическом уровне, нам надо сначала объяснить, как может электрически нейтральная система реагировать на внешнее электрическое поле. Простейший случай — полное отсутствие зарядов — нас не интересует. Мы знаем наверняка, что в диэлектрике имеются электрические заряды — в составе атомов, молекул, ионов кристаллической решетки и т. д. Поэтому мы рассмотрим следующую по простоте конструкции электронейтральную систему — два равных по величине и противоположных по знаку точечных заряда +q и –q, находящихся на расстоянии l друг от друга. Такая система называется электрическим диполем.

Электрический диполь — это система, состоящая из двух точечных равных по величине и противоположных по знаку зарядов, находящихся на расстоянии l друг от друга (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Электрический диполь

Линии напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности электрического диполя выглядят следующим образом (рис. 3.7, 3.8, 3.9)

Рис. 3.7. Линии напряженности электрического поля электрического диполя

Рис. 3.8. Эквипотенциальные поверхности электрического диполя

Рис. 3.9. Линии напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности

Основной характеристикой диполя является электрический дипольный момент. Введем вектор l, направленный от отрицательного заряда (–q) к положительному (+q), тогда вектор р, называемый электрическим моментом диполя или просто дипольным моментом, определяется как

Рассмотрим поведение «жесткого» диполя — то есть расстояние которого не меняется — во внешнем поле Е (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Силы, действующие на электрический диполь, помещенный во внешнее поле

Пусть направление дипольного момента составляет с вектором Е угол . На положительный заряд диполя действует сила, совпадающая по направлению с Е и равная F₁ = +qE, а на отрицательный — противоположно направленная и равная F₂ = –qE. Вращающий момент этой пары сил равен

Так как ql = р, то М = рЕ sin или в векторных обозначениях

(Напомним, что символ

означает векторное произведение векторов а и b.) Таким образом, при неизменном дипольном моменте молекулы () механический момент, действующий на нее, пропорционален напряженности Е внешнего электрического поля и зависит от угла между векторами р и E.

Под действием момента сил М диполь поворачивается, при этом совершается работа

которая идет на увеличение его потенциальной энергии. Отсюда получаем потенциальную энергию диполя в электрическом поле

если положить const = 0.

Из рисунка видно, что внешнее электрическое поле стремится повернуть диполь таким образом, чтобы вектор его электрического момента р совпал по направлению с вектором Е. В этом случае , а, следовательно, и М = 0. С другой стороны, при потенциальная энергия диполя во внешнем поле принимает минимальное значение , что соответствует положению устойчивого равновесия. При отклонении диполя от этого положения снова возникает механический момент, который возвращает диполь в первоначальное положение. Другое положение равновесия, когда дипольный момент направлен против поля является неустойчивым. Потенциальная энергия в этом случае принимает максимальное значение и при небольших отклонениях от такого положения возникающие силы не возвращают диполь назад, а еще больше отклоняют его.

На рис. 3.11 показан опыт, иллюстрирующий возникновение момента электрических сил, действующих на диэлектрик в электрическом поле. На удлиненный диэлектрический образец, расположенный под некоторым углом к силовым линиям электростатического поля, действует момент сил, стремящийся развернуть этот образец вдоль поля. Диэлектрическая палочка, подвешенная за середину внутри плоского конденсатора, разворачивается перпендикулярно его пластинам после подачи на них высокого напряжения от электростатической машины. Появление вращающего момента обусловлено взаимодействием поляризовавшейся палочки с электрическим полем конденсатора.

Рис. 3.11. Момент электрических сил, действующих на диэлектрик в электрическом поле

В случае неоднородного поля на рассматриваемый диполь будет действовать еще и равнодействующая сила F_paвн, стремящаяся его сдвинуть. Мы рассмотрим здесь частный случай. Направим ось х вдоль поля Е. Пусть диполь под действием поля уже повернулся вдоль силовой линии, так что отрицательный заряд находится в точке с координатой x, а положительный заряд расположен в точке с координатой х + l. Представим себе, что величина напряженности поля зависит от координаты х. Тогда равнодействующая сила F_paвн равна

Такой же результат может быть получен из общего соотношения

где энергия П определена в (3.8). Если Е увеличивается с ростом x, то

и проекция равнодействующей силы положительна. Это значит, что она стремиться втянуть диполь в область, где напряженность поля больше. Этим объясняется известный эффект, когда нейтральные кусочки бумаги притягиваются к наэлектризованной расческе. В плоском конденсаторе с однородным полем они остались бы неподвижными.

Рассмотрим несколько опытов, иллюстрирующих возникновение силы, действующей на диэлектрик, помещенный в неоднородное электрическое поле.

На рис. 3.12 показано втягивание диэлектрика в пространство между обкладками плоского конденсатора. В неоднородном электростатическом поле на диэлектрик действуют силы, втягивающие его в область более сильного поля.

Рис. 3.12. Втягивание жидкого диэлектрика в плоский конденсатор

Это демонстрируется при помощи прозрачного сосуда, в который помещен плоский конденсатор, и налито некоторое количество жидкого диэлектрика — керосина (рис.3.13). Конденсатор присоединен к высоковольтному источнику питания — электростатической машине. При ее работе на нижнем краю конденсатора, в области неоднородного поля, на керосин действует сила, втягивающая его в пространство между пластинами. Поэтому уровень керосина внутри конденсатора устанавливается выше, чем снаружи. После выключения поля уровень керосина между пластинами падает до его уровня в сосуде.

Рис. 3.13. Втягивание керосина в пространство между обкладками плоского конденсатора

В реальных веществах нечасто встречаются диполи, образованные только двумя зарядами. Обычно мы имеем дело с более сложными системами. Но понятие электрического дипольного момента применимо и к системам со многими зарядами. В этом случае дипольный момент определяется как

где , — величина заряда с номером i и радиус-вектор, определяющий его местоположение, соответственно. В случае двух зарядов мы приходим к прежнему выражению

Пусть наша система зарядов электрически нейтральна. В ней есть положительные заряды, величины которых и местоположения мы обозначим индексом «+». Индексом «–» мы снабдим абсолютные величины отрицательных зарядов и их радиус-векторы. Тогда выражение (3.10) может быть записано в виде

В (3.11) в первом слагаемом суммирование ведется по всем положительным зарядам, а во втором — по всем отрицательным зарядам системы.

Электрическая нейтральность системы означает равенство полного положительного заряда и суммы абсолютных величин всех отрицательных зарядов

Введем теперь понятие «центр зарядов» — положительных R + и отрицательных R –

Выражения (3.13) аналогичны формулам для центра масс в механике, и потому мы назвали их центрами положительных и отрицательных зарядов, соответственно. С этими обозначениями и с учетом соотношения (3.12) мы записываем электрический дипольный момент (3.11) системы зарядов в виде

где l-вектор, проведенный из центра отрицательных зарядов в центр положительных зарядов. Смысл нашего упражнения заключается в демонстрации, что любую электрически нейтральную систему зарядов можно представить как некий эквивалентный диполь.

Дополнительная информация

Источник

Теоретически электрический диполь определяется членом первого порядка мультипольного разложения ; он состоит из двух равных и противоположных зарядов, бесконечно близких друг к другу, хотя реальные диполи имеют разделенный заряд.

СОДЕРЖАНИЕ

Элементарное определение

и направлена ​​от отрицательного заряда к положительному. Некоторые авторы могут разделить d пополам и использовать s = d / 2, поскольку эта величина представляет собой расстояние между любым зарядом и центром диполя, что приводит к коэффициенту два в определении.

Энергия и крутящий момент

На объект с электрическим дипольным моментом действует крутящий момент τ, когда он помещен во внешнее электрическое поле. Крутящий момент стремится выровнять диполь с полем. Диполь, расположенный параллельно электрическому полю, имеет меньшую потенциальную энергию, чем диполь, находящийся с ним под некоторым углом. Для пространственно однородного электрического поля E энергия U и крутящий момент определяются выражением τ <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ tau>>>

Диполь, ориентированный параллельно или антипараллельно направлению увеличения неоднородного электрического поля (градиент поля), будет испытывать крутящий момент, а также силу в направлении своего дипольного момента. Можно показать, что эта сила всегда будет параллельна дипольному моменту независимо от со- или антипараллельной ориентации диполя.

Выражение (общий случай)

Это выражение эквивалентно предыдущему выражению в случае нейтральности заряда и N = 2. Для двух противоположных зарядов, обозначая расположение положительного заряда пары как r ₊ и расположение отрицательного заряда как r _— :

показывая, что вектор дипольного момента направлен от отрицательного заряда к положительному, поскольку вектор положения точки направлен наружу от начала координат к этой точке.

Дипольный момент особенно полезен в контексте общей нейтральной системы зарядов, например пары противоположных зарядов или нейтрального проводника в однородном электрическом поле. Для такой системы зарядов, представленной в виде массива пар противоположных зарядов, соотношение электрического дипольного момента выглядит следующим образом:

Потенциал и поле электрического диполя.

Идеальный диполь состоит из двух противоположных зарядов с бесконечно малым разделением. Мы вычисляем потенциал и поле такого идеального диполя, начиная с двух противоположных зарядов на расстоянии d> 0 и принимая предел при d → 0.

Два близко расположенных противоположных заряда ± q имеют потенциал вида:

где разделение зарядов:

Результат для дипольного потенциала также может быть выражен как:

который связывает дипольный потенциал с точечным зарядом. Ключевым моментом является то, что потенциал диполя падает быстрее с расстоянием R, чем потенциал точечного заряда.

Электрическое поле диполя представляет собой отрицательный градиент потенциала, приводящий к:

Таким образом, хотя два близко расположенных противоположных заряда не совсем идеальный электрический диполь (потому что их потенциал на коротких расстояниях не диполь), на расстояниях, намного больших, чем их разделение, их дипольный момент p появляется непосредственно в их потенциале и поле.

Плотность дипольного момента и плотность поляризации

Дипольный момент множества зарядов,

определяет степень полярности массива, но для нейтрального массива это просто свойство вектора массива без информации об абсолютном расположении массива. Дипольный момент плотность массива р ( г ) содержит как местоположение массива и его дипольный момент. Когда приходит время вычислить электрическое поле в некоторой области, содержащей массив, уравнения Максвелла решаются, и информация о массиве зарядов содержится в плотности поляризации P ( r ) уравнений Максвелла. В зависимости от того, насколько детально требуется оценка электрического поля, более или менее информация о массиве зарядов должна быть выражена через P ( r ). Как поясняется ниже, иногда достаточно точно взять P ( r ) = p ( r ). Иногда требуется более подробное описание (например, дополнение плотности дипольного момента дополнительной квадрупольной плотностью), а иногда даже более сложные версии P ( r ).

Формулировка уравнений Максвелла, основанная на разделении зарядов и токов на «свободные» и «связанные» заряды и токи, приводит к введению D- и P- полей:

с ρ _b в качестве связанного заряда, под которым понимается разница между полной и свободной плотностями заряда.

Кстати, в отсутствие магнитных эффектов уравнения Максвелла указывают, что

Предположим, что заряды разделены на свободные и связанные, а потенциал разделен на

Далее обсуждается, как несколько различных описаний дипольного момента среды связаны с поляризацией, входящей в уравнения Максвелла.

Среда с зарядовой и дипольной плотностями

Как описано ниже, модель для плотности поляризационного момента p ( r ) приводит к поляризационному

ограничен той же моделью. Для плавно изменяющегося распределения дипольного момента p ( r ) соответствующая плотность связанного заряда просто

В качестве первого примера, связывающего дипольный момент с поляризацией, рассмотрим среду, состоящую из непрерывной плотности заряда ρ ( r ) и непрерывного распределения дипольного момента p ( r ). Потенциал в позиции r равен:

интеграл поляризации можно преобразовать:

где объемное интегрирование распространяется только до ограничивающей поверхности и не включает эту поверхность.

Потенциал определяется общим зарядом, который, как показано выше, состоит из:

Короче говоря, плотность дипольного момента p ( r ) играет роль плотности поляризации P для этой среды. Обратите внимание, что p ( r ) имеет ненулевую дивергенцию, равную плотности связанного заряда (как моделируется в этом приближении).

Можно отметить, что этот подход может быть расширен для включения всех мультиполей: диполя, квадруполя и т. Д. Используя соотношение:

плотность поляризации оказывается равной:

Поверхностный заряд

Выше было отложено обсуждение первого члена в выражении для потенциала, обусловленного диполями. Интегрирование расходимости приводит к поверхностному заряду. Рисунок справа дает интуитивное представление о том, почему возникает поверхностный заряд. На рисунке показан однородный массив идентичных диполей между двумя поверхностями. Внутри головы и хвосты диполей смежны и сокращаются. Однако на ограничивающих поверхностях отмены не происходит. Вместо этого на одной поверхности головки диполя создают положительный поверхностный заряд, а на противоположной поверхности хвосты диполя создают отрицательный поверхностный заряд. Эти два противоположных поверхностных заряда создают чистое электрическое поле в направлении, противоположном направлению диполей.

Этой идее придается математическая форма с использованием приведенного выше потенциального выражения. Если не брать в расчет бесплатную оплату, есть вероятность:

Используя теорему о дивергенции, член дивергенции превращается в поверхностный интеграл:

Если ограничивающая поверхность является сферой, а точка наблюдения находится в центре этой сферы, интегрирование по поверхности сферы равно нулю: положительный и отрицательный вклады поверхностного заряда в потенциал сокращаются. Однако, если точка наблюдения смещена от центра, может возникнуть чистый потенциал (в зависимости от ситуации), потому что положительные и отрицательные заряды находятся на разных расстояниях от точки наблюдения. Поле, обусловленное поверхностным зарядом, равно:

который в центре сферической ограничивающей поверхности не равен нулю ( поля отрицательных и положительных зарядов на противоположных сторонах центра складываются, потому что оба поля указывают одинаково), а вместо этого:

В частности, если ввести электрическую восприимчивость через приближение:

где E в этом случае и в дальнейшем представляет внешнее поле, индуцирующее поляризацию.

Всякий раз, когда χ ( r ) используется для моделирования скачка ступеньки на границе между двумя областями, ступенька создает слой поверхностного заряда. Например, интегрирование по нормали к ограничивающей поверхности от точки внутри одной поверхности до другой точки снаружи:

обязательно включает вклад поверхностного заряда.

Физически более реалистичное моделирование p ( r ) привело бы к быстрому падению плотности дипольного момента, но плавно до нуля на границе ограничивающей области, вместо того, чтобы делать внезапный шаг к нулевой плотности. Тогда поверхностный заряд не будет концентрироваться на бесконечно тонкой поверхности, а вместо этого, будучи дивергенцией плавно изменяющейся плотности дипольного момента, будет распределяться по тонкому, но конечному переходному слою.

Диэлектрическая сфера в однородном внешнем электрическом поле

Приведенные выше общие замечания о поверхностном заряде конкретизируются на примере диэлектрического шара в однородном электрическом поле. Обнаружено, что сфера принимает поверхностный заряд, связанный с дипольным моментом ее внутренней части.

а внутри сферы потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Пропуская некоторые детали, решение внутри сферы таково:

находясь вне сферы:

Как следствие, потенциал:

который является потенциалом из-за приложенного поля и, кроме того, диполя в направлении приложенного поля (направление z ) дипольного момента:

или на единицу объема:

ведущее к полю внутри сферы:

Этот пример линейного диэлектрика показывает, что рассмотрение диэлектрической проницаемости эквивалентно модели однородного дипольного момента и приводит к нулевому заряду везде, кроме поверхностного заряда на границе сферы.

Общие СМИ

Если наблюдение ограничено областями, достаточно удаленными от системы зарядов, можно сделать мультипольное разложение точной плотности поляризации. При усечении этого разложения (например, с сохранением только дипольных членов или только дипольных и квадрупольных членов и т. Д. ) Результаты предыдущего раздела восстанавливаются. В частности, усекая расширение на дипольном члене, результат неотличим от плотности поляризации, создаваемой однородным дипольным моментом, ограниченным областью заряда. Для точности этого дипольного приближения, как показано в предыдущем разделе, плотность дипольного момента p ( r ) (которая включает не только p, но и местоположение p ) служит P ( r ).

Электрические дипольные моменты элементарных частиц

Дипольные моменты молекул

Дипольные моменты можно найти в обычных молекулах, таких как вода, а также в биомолекулах, таких как белки.

ϵ знак равно 1 + k ⟨ M Tot 2 ⟩ <\ displaystyle \ epsilon = 1 + k \ left \ langle <\ mathcal > _ <\ text > ^ <2>\ right \ rangle>

Следовательно, в диэлектрическую проницаемость (и проводимость) входят оба члена. Этот подход можно обобщить для вычисления частотно-зависимой диэлектрической функции.

Источник