что такое дифференцирование функции
Дифференцирование функции, нахождение производной
Если вам нужно решить задачу, в рамках которой требуется вычислить производную какой-либо функции с одной переменной, советуем внимательно прочесть эту статью. Здесь приводятся общие положения теории дифференцирования, имеющие отношение к вычислению производной. Для этого могут быть использованы разные способы, ведь исходная функция может быть задана явно или неявно, в параметрическом виде, быть элементарной, основной или сложной, значит, в каждой ситуации бывает нужен свой подход.
Таблица дифференцирования функции
Мы собрали всю информацию, которую нужно знать для правильного дифференцирования функции, и представили ее в табличном виде:
Степенная фунция y = x p
y = a x a x ‘ = a x · ln a
В частности, при a = e имеем
log a x ‘ = 1 x · ln a
В частности, при a = e имеем
y = ln x ln x ‘ = 1 x
Производная сложной функции
( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x )
Производная неявно заданной функции
Производная обратной функции
Обратные тригонометрические функции
Производная параметрически заданной функции
y = f ( x ) y ‘ = y · ( ln ( f ( x ) ) ) ‘
Пояснения таблицы
Содержимое таблицы требует небольших пояснений. Например, в наиболее простом случае для дифференцирования нам пригодится определение производной, т.е. вычисление соответствующего предела. Это действие носит название непосредственного дифференцирования.
Если вам приходится работать с основной элементарной функцией, то следует использовать таблицу основных производных. В ней приводятся все готовые значения, доказанные на основании определения. Это очень удобно, и мы советуем вам держать такую таблицу под рукой.
Что такое дифференцирование функции
При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.
Производной функции y = f ( x ) по переменной x в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, то есть
Производная характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности заданной точки.
Приведем таблицу производных основных элементарных функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые и явно заданные.
Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет 
Существуют такие точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема. Так, функция y =| x | в точке x =0 непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 3.6). Такие точки называются угловыми или точками излома функции. Данный случай показывает, что обратное утверждение к теореме 3.9 неверно.
Среди явных функций особое место занимают обратные функции, производная которых находится с помощью следующей теоремы.
Теорема 3.10. Если строго монотонная функция y = f ( x ) дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция x = φ ( y ) также дифференцируема на этом интервале, при этом:
По определению производной можно записать:
Среди явных функций выделяют класс сложных функций.
Теорема 3.11. Чтобы продифференцировать сложную функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней, считая внутреннюю функцию независимой переменной, затем продифференцировать внутреннюю функцию по независимому переменному и результаты дифференцирования перемножить, то есть
Решение. Согласно формуле (3.31) и с учетом табли 
чных формул (3.17), (3.19), (3.29) имеем:
где t – параметр. Производную такой функции несложно получить:
Пример 3.9. Найти производную функции 
.
Решение. Согласно формуле (3.32) и с учетом табличных формул (3.18), (3.19) имеем:
Помимо таблицы производных имеют место правила дифференцирования.
Теорема 3.12. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:
Данная теорема может быть обобщена для произвольного конечного числа функций-слагаемых.
Решение. Согласно формулам (3.33) и (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.20), (3.23) имеем:
Теорема 3.13. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции–сомножителя, то есть
Решение. Согласно формуле (3.34) и с учетом табличных формул (3.22), (3.24) имеем:
Теорема 3.14. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, то есть
Решение. Согласно формуле (3.35) и с учетом табличных формул (3.17), (3.29) имеем:
Решение. Согласно формуле (3.31) дифференцирования сложной функции и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.17) и (3.18) имеем:
Дифференциалом функции y = f ( x ) в точке x называется главная часть приращения этой функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента:
Формула (3.39) применяется для вычисления приближенных значений функций.
Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:
Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:
Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Таблица производных функций
10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Что такое производная и зачем она нужна
Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:
Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:
Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.
Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.
Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.
Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.
Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.
Производные основных элементарных функций
Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Приведем несколько формул, которых достаточно для решения большинства задач.
Правила дифференцирования: доказательство и примеры
Чтобы успешно решать задачи на дифференцирование, нужно уметь находить разные виды производных. Данная статья посвящена основным правилам дифференцирования, которые постоянно используются на практике. С помощью самого определения производной функции мы сформулируем доказательства всех этих правил и подробно рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как они применяются при решении задач.
Сформулируем основные проблемы дифференцирования:
Разберем все эти случаи по порядку.
Как вынести постоянный множитель за знак производной
Для начала нам нужно доказать следующую формулу:
Используя определение производной, запишем следующее:
Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение.
Решение
Вынесем множитель за знак производной и получим:
Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.
Решение
Решение
Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.
Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:
Как вычислить производную суммы и производную разности
Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:
Решение
Первым делом упрощаем данную функцию.
После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:
Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:
Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:
Как вычислить производную произведения функций
Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: f x · g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) ‘ + f ( x ) · g ‘ ( x )
Попробуем доказать его.
Это и есть результат, который нам нужно было доказать.
Решение
y ‘ = ( t g x · a r c sin x ) ‘ = ( t g x ) ‘ · a r c sin x + t g x · ( a r c sin x ) ‘
Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:
Решение
Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.
Решение
У нас получится следующее:
y ‘ = ( ( 1 + x ) · sin x · ln x ) ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + 1 + x · sin x · ln x ‘
1 + x · sin x ‘ = ( 1 + x ) ‘ · sin x + 1 + x · ( sin x ) ‘
С помощью этого правила и таблицы производных получим:
Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:
y ‘ = 1 + x · sin x · ln x ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + ( 1 + x ) · sin x · ( ln x ) ‘ = = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x
Ответ: y ‘ = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x
Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.
Решение
Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)
Сразу отметим, что g ( x ) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:
Решение
После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:
Возьмем задачу на применение всех изученных правил.
Решение
Поясним, как это получилось.
Вычисляем третье слагаемое:
Теперь собираем все, что у нас получилось:
В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.
После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.