что такое дифференциал функции двух переменных

Частные производные функции двух переменных.
Понятие и примеры решений

На данном уроке мы продолжим знакомство с функцией двух переменных и рассмотрим, пожалуй, самое распространенное тематическое задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, а также полного дифференциала функции. Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на странице Математические формулы и таблицы.

Быстренько повторим понятие функции двух переменных, я постараюсь ограничиться самым минимумом. Функция двух переменных обычно записывается как что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, при этом переменные что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхназываются независимыми переменными или аргументами.

Пример: что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– функция двух переменных.

Иногда используют запись что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Также встречаются задания, где вместо буквы что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхиспользуется буква что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

С геометрической точки зрения функция двух переменных что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхчаще всего представляет собой поверхность трехмерного пространства (плоскость, цилиндр, шар, параболоид, гиперболоид и т. д.). Но, собственно, это уже больше аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, который никогда не давал списывать мой вузовский преподаватель является моим «коньком».

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас:

…да, кстати, для этой темы я таки создал маленькую pdf-книжку, которая позволит «набить руку» буквально за пару часов. Но, пользуясь сайтом, вы, безусловно, тоже получите результат – только может чуть медленнее:

Найти частные производные первого и второго порядка функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхили что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– частная производная по «икс»
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхили что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– частная производная по «игрек»

Начнем с что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхсчитается константой (постоянным числом).

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Комментарии к выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если вы где-нибудь нарисуете «штрих» без что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных(сразу откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.

(2) Используем правила дифференцирования что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхсчитается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхмы выносим за скобки. То есть в данной ситуации что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных: здесь, наоборот, выносить нечего. Так как что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхконстанта, то что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(3) Используем табличные производные что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхи что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причесываем» ответ.

Теперь что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных считается константой (постоянным числом).

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

(1) Используем те же правила дифференцирования что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. В первом слагаемом выносим константу что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхза знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– уже константа.

(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных(да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так: что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхи что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

В чём смысл частных производных?

По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную:

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– это функции, которые характеризуют скорость изменения функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхв направлении осей что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхи что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхсоответственно. Так, например, функция что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныххарактеризует крутизну «подъёмов» и «склонов» поверхности что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхв направлении оси абсцисс, а функция что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхсообщает нам о «рельефе» этой же поверхности в направлении оси ординат.

! Примечание: здесь подразумеваются направления, которые параллельны координатным осям.

В целях лучшего понимания рассмотрим конкретную точку что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхплоскости что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхи вычислим в ней значение функции («высоту»):
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– а теперь представьте, что вы здесь находитесь (НА САМОЙ поверхности).

Вычислим частную производную по «икс» в данной точке:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных
Отрицательный знак «иксовой» производной сообщает нам об убывании функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхв точке что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхпо направлению оси абсцисс. Иными словами, если мы сделаем маленький-маленький (бесконечно малый) шажок в сторону острия оси что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных(параллельно данной оси), то спустимся вниз по склону поверхности.

Теперь узнаем характер «местности» по направлению оси ординат:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных
Производная по «игрек» положительна, следовательно, в точке что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхпо направлению оси что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхфункция что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхвозрастает. Если совсем просто, то здесь нас поджидает подъём в гору.

Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Чем полученное значение больше по модулю – тем поверхность круче, и наоборот, чем оно ближе к нулю – тем поверхность более пологая. Так, в нашем примере «склон» по направлению оси абсцисс более крут, чем «гора» в направлении оси ординат.

Но то были два частных пути. Совершенно понятно, что из точки, в которой мы находимся, (и вообще из любой точки данной поверхности) мы можем сдвинуться и в каком-нибудь другом направлении. Таким образом, возникает интерес составить общую «навигационную карту», которая сообщала бы нам о «ландшафте» поверхности что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхпо возможности в каждой точке что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхобласти определения данной функции по всем доступным путям. Об этом и других интересных вещах я расскажу на одном из следующих уроков, ну а пока что вернёмся к технической стороне вопроса.

Систематизируем элементарные прикладные правила:

1) Когда мы дифференцируем по что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, то переменная что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхсчитается константой.

2) Когда же дифференцирование осуществляется по что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, то константой считается что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхлибо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.

Обозначения:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхили что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– вторая производная по «икс»
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхили что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– вторая производная по «игрек»
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхили что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхсмешанная производная «икс по игрек»
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхили что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхсмешанная производная «игрек по икс»

Со второй производной нет никаких проблем. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.

Для удобства я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Сначала найдем смешанные производные:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Как видите, всё просто: берем частную производную что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхи дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».

Аналогично:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

В практических примерах можно ориентироваться на следующее равенство:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.

Находим вторую производную по «икс».
Никаких изобретений, берем что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхи дифференцируем её по «икс» еще раз:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Аналогично:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Следует отметить, что при нахождении что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхнужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для их проверки не существует.

Вторые производные также находят широкое практическое применение, в частности, они используются в задаче отыскания экстремумов функции двух переменных. Но всему своё время:

Вычислить частные производные первого порядка функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхв точке что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Найти производные второго порядка.

Это пример для самостоятельного решения (ответы в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, вернитесь к уроку Как найти производную? А вообще, довольно скоро вы научитесь находить подобные производные «с лёту».

Набиваем руку на более сложных примерах:

Найти частные производные первого порядка функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Проверить, что что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Записать полный дифференциал первого порядка что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

Решение: Находим частные производные первого порядка:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Обратите внимание на подстрочный индекс: что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.

(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхи что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, а, значит, и их произведение что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхсчитается постоянным числом.

(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

(3) Не забываем, что что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

Теперь находим смешанные производные второго порядка:

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем полный дифференциал что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.

Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхи что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхв этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

И по неоднократным просьбам читателей, полный дифференциал второго порядка.

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

ВНИМАТЕЛЬНО найдём «однобуквенные» производные 2-го порядка:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

и запишем «монстра», аккуратно «прикрепив» квадраты что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, произведение что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхи не забыв удвоить смешанную производную:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Ничего страшного, если что-то показалось трудным, к производным всегда можно вернуться позже, после того, как поднимите технику дифференцирования:

Найти частные производные первого порядка функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Проверить, что что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Записать полный дифференциал первого порядка что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Рассмотрим серию примеров со сложными функциями:

Найти частные производные первого порядка функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.
Записать полный дифференциал что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

Решение:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. С урока Производная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных(внутренняя функция) у нас не меняется.

(2) Здесь используем свойство корней: что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, выносим константу что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхза знак производной, а корень что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхпредставляем в нужном для дифференцирования виде.

Аналогично:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Запишем полный дифференциал первого порядка:
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Найти частные производные первого порядка функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.
Записать полный дифференциал что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое

Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.

Найти частные производные первого порядка функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

(1) Используем правило дифференцирования суммы

(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхнет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхбыла дана функция что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных– важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменныхсчитается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:

– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!

На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:

– Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.

Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).

Найти частные производные первого порядка функции что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.

Дана функция двух переменных что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных. Найти все частные производные первого и второго порядков.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.

Что дальше? Дальше знакомимся с родственной темой – частными производными функции трёх переменных. После этого я рекомендую ДОБРОСОВЕСТНО (жить будет легче ;)) отработать технику дифференцирования на уроках Производные сложных функций нескольких переменных, Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? и Частные производные неявно заданной функции. И, наконец, обещанная вкусняшка – Производная по направлению и градиент функции. Стратегия и тактика знакомы – сначала учимся решать, затем вникаем в суть!

Пример 2: что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных,
что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных
.

Пример 4: Ссылка для просмотра или скачивания ниже.

Пример 6: что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных, что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть фото что такое дифференциал функции двух переменных. Смотреть картинку что такое дифференциал функции двух переменных. Картинка про что такое дифференциал функции двух переменных. Фото что такое дифференциал функции двух переменных Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *