что такое баланс мощностей
Баланс мощностей
При решений электротехнических задач, часто нужно проверить правильность найденных значений. Для этого в науке ТОЭ, существует так называемый баланс мощностей.
Баланс мощностей – это выражение закона сохранения энергии, в электрической цепи. Определение баланса мощностей звучит так: сумма мощностей потребляемых приемниками, равна сумме мощностей отдаваемых источниками. То есть если источник ЭДС в цепи отдает 100 Вт, то приемники в этой цепи потребляют ровно такую же мощность.
Или 
Проверим это соотношение на простом примере.
Для начала свернем схему и найдем эквивалентное сопротивление. R2 и R3 соединены параллельно.
Найдем по закону Ома ток источника и напряжение на R23, учитывая, что r1 и R23 соединены последовательно, следовательно, сила тока одинаковая.
Теперь проверим правильность с помощью баланса мощностей.
Небольшое различие в значениях связано с округлениями в ходе расчета.
С помощью баланса мощностей, можно проверить не только простую цепь, но и сложную. Давайте проверим сложную цепь из статьи метод контурных токов.
Как видите независимо от сложности цепи, баланс сошелся, и должен сойтись в любой цепи!
Уравнение баланса мощностей для цепей постоянного тока
Баланс мощностей
При решений электротехнических задач, часто нужно проверить правильность найденных значений. Для этого в науке ТОЭ, существует так называемый баланс мощностей.
Баланс мощностей – это выражение закона сохранения энергии, в электрической цепи. Определение баланса мощностей звучит так: сумма мощностей потребляемых приемниками, равна сумме мощностей отдаваемых источниками. То есть если источник ЭДС в цепи отдает 100 Вт, то приемники в этой цепи потребляют ровно такую же мощность.
Проверим это соотношение на простом примере.
Для начала свернем схему и найдем эквивалентное сопротивление. R2 и R3 соединены параллельно.
Найдем по закону Ома ток источника и напряжение на R23, учитывая, что r1 и R23 соединены последовательно, следовательно, сила тока одинаковая.
Теперь проверим правильность с помощью баланса мощностей.
Небольшое различие в значениях связано с округлениями в ходе расчета.
С помощью баланса мощностей, можно проверить не только простую цепь, но и сложную. Давайте проверим сложную цепь из статьи метод контурных токов.
Как видите независимо от сложности цепи, баланс сошелся, и должен сойтись в любой цепи!
Розрахунок балансу потужностей
Рівняння балансу потужностей для складної схеми буде мати вигляд:
— порядковий номер вітки,
n –
кількість джерел в електричному колі,
m
–кількість віток.
Алгебраїчна сума потужностей всіх джерел енергії повинна дорівнювати арифметичній сумі потужностей всіх споживачів енергії. При цьому, якщо напрямок струму співпадає з напрямком дії ЕРС, потужність джерела необхідно рахувати додатньою і записувати в рівнянні із знаком “+”. У протилежному випадку цю потужність рахують від¢ємною і записують із знаком “-“.
Запишемо для цього кола рівняння балансу потужностей:
Відносна похибка розрахунку складає
, що менше дозволеної 3% похибки.
Лінійні електричні кола однофазного змінного струму
Окремі теоретичні положення
Миттєве значення ЕРС
По такому самому закону будуть змінюватись викликані нею струми і напруги в вітках електричного кола.
Наявність в електричному колі реактивних опорів, індуктивності та ємності призводять до зсуву фаз між струмами та напругами, а саме – миттєва напруга на активному опорі дорівнює и= і·R і
Якщо в вітках електричного кола присутні активні і реактивні опори, то перший та другий закони Кірхгофа в колах змінного струму можна застосовувати тільки для миттєвих значень, а розрахунок миттєвих значень струмів та напруг, навіть в простих колах, є досить громіздкою задачею.
При послідовному з’єднанні елементів в електричному колі, що містить активні та реактивні опори, діюче значення струму джерела розраховується по формулі:
– діюче значення напруги на затискачах джерела,
Z
,
R
екв,
X
екв – повний опір, еквівалентні активний та реактивний опори кола відповідно.
В колах з паралельним з’єднанням елементів струм джерела дорівнює:
,
g
екв,
в
екв
–
повна провідність, еквівалентні активна та реактивна провідності кола відповідно.
Кут зсуву фаз між напругою та струмом джерела розраховується за формулами:
Баланс потужностей в електричному колі змінного струму має вигляд:
2.2. Символічний метод (метод комплексних амплітуд) розрахунку електричних кіл змінного струму
Розрахунок електричних кіл змінного струму спрощується, якщо синусоїдні величини зображувати векторами або комплексними числами.
” в кожний момент часу буде дорівнювати миттєвому значенню ЕРС,
Так само зображуються і решта синусоїдних величин в колі (струми, напруги), які викликані дією ЕРС Оскільки всі вектори при однаковій частоті будуть обертатися з однією і тією ж швидкістю, то їх взаємне розташування в часі не змінюється. Тому такі вектори можна розглядати в системі координат в певний момент часу, як правило при t
=0, як сукупність нерухомих векторів, яка називається векторною діаграмою. Векторна діаграма дає змогу досить просто розраховувати електричні параметри в електричних колах графічним методом.
Але метод векторних діаграм, як і всі графічні методи особливо в складних колах, призводить до похибок в розрахунках.
Прояв електромагнітних явищ, які обумовлюються реактивними елементами кола (зсув по фазі між струмом та напругою), в символічному методі врахований, а саме, спад напруги на індуктивному опорі помножується на оператор повороту на 90˚, тобто на j =
Такі символічні зображення величин, що змінюються в часі синусоїдно, та зображення опорів комплексними числами дають можливість співвідношення між синусоїдними величинами та інтегро-диференціальні рівняння, складені за законами Кірхгофа в колах змінного струму, замінити простими алгебраїчними співвідношеннями комплексних чисел або рівняннями з комплексними коефіцієнтами. Після такої заміни в символічній формі запису виконуються необхідні розрахунки, а потім, якщо необхідно, виконують зворотній перехід до оригіналів, тобто до записів виразів миттєвих значень величин.
Докладніше розрахунок параметрів електричних кіл змінного струму розглянемо на конкретних прикладах №4 і №5.
Приклад №.4
Послідовно з конденсатором, ємність якого С
=318,47 мкФ, включені дві котушки індуктивностей з параметрами
L
1=0,034 Гн,
R
1= 3 Ом,
L
2= 25,92 мГн,
R
2=1 Ом.
– діюче значення струму;
– діюче значення напруг на окремих елементах кола;
– повну, активну та реактивну потужності електричної енергії, що споживаються електричним колом;
– побудувати векторну діаграму струму та напруг;
– записати вираз миттєвих значень струму.
Схема електричного кола згідно умови задачі представлена на рис.2.2.
Аналізуючи умову задачі, з’ясовуємо, що кутова частота підведеної напруги (див. запис миттєвого значення напруги) = 314 рад/сек. На такій частоті опори реактивних елементів електричного кола дорівнюють:
Зверніть увагу, що при розрахунках опорів величини ємності та індуктивностей переводяться в основні одиниці виміру згідно системи СІ (С
Розрахунок простих електричних кіл, а дане коло є просте, можна виконати так:
–діюче значення підведеної напруги, а
Z
екв – еквівалентний опір електричного кола.
Діюче значення напруги дорівнює
Еквівалентний опіp при послідовному з’єднанні елементів розраховується за формулою:
Тоді діюче значення струму дорівнює:
Але за цим методом необхідно окремо розраховувати ще й кут зсуву між струмом і напругою, який залежить від характеру загального опору.
Вираз для миттєвого значення струму:
Активна потужність, що споживається електричним колом, розраховується за формулою:
= 110·11,38·sin65,55˚ = 1138,542 ВАр.
Ці самі потужності розраховуються ще і за такими формулами:
Для побудови векторної діаграми необхідно розрахувати по закону Ома діючі значення спадів напруг на окремих елементах електричного кола:
Векторну діаграму будуємо в такій послідовності:
1. Орієнтуючись на числові значення струму та спадів напруг вибираємо масштаби для векторів струму та напруг:
– 1см. довжини вектора струму буде відповідати 2 А,
– 1см. довжини векторів напруг буде відповідати 20В.
3 Відносно вектора струму відкладаємо вектора спадів напруг на окремих елементах електричного кола. Вектор напруги на ємності орієнтують під кутом 90˚ відносно вектора струму в сторону відставання. Вектора напруг на активних опорах співпадають по напрямку з вектором струму, а вектори спадів напруг на індуктивностях випереджають вектор струму на кут 90˚.В результаті складання векторів напруг:
Векторна діаграма має вигляд як на рис.2.3.
Приклад 5
Задачу, яка задана в прикладі №4, розрахуємо символічним методом.
Якщо застосувати символічний метод, то розрахунок зводиться до таких дій над комплексними числами:
1. Записуємо комплексним числом діюче значення напруги, миттєве значення якої
2. Опори елементів кола також зображуємо комплексними числами.
Повні комплексні опори котушок індуктивностей та
3. Еквівалентний опір кола в символічному зображенні має вигляд
4. Діюче комплексне значення струму визначається за формулою
5. Комплексна потужність розраховується за формулою:
В цьому виразі дійсна частина комплексного числа дорівнює величині активної потужності, а уявна частина – величині реактивної потужності.
Приклад №6
Параметри електричного кола, яке зображене на рис.2.4, задані у вигляді комплексних чисел:
– накреслити принципову схему електричного кола;
– розрахувати комплексні струми в вітках електричного кола і записати вирази їх миттєвих значень;
– скласти і розрахувати баланс потужностей в електричному колі;
– побудувати векторну діаграму струмів та топографічну діаграму напруг.
Аналізуючи вирази опорів, записаних в символічній формі, приходимо до висновку, що в ділянці кола «ab
» паралельно між собою включені резистор з активним опором
R
1= 34Ом та ідеальна котушка індуктивності, індуктивний опір якої
XL
2=8,5Ом а ділянка електричного кола
«вс»
складається із двох паралельно включених віток, кожна з яких має активні і реактивні елементи. В одній із віток послідовно включені резистор з опором
R
3 = 2 Ом та конденсатор з реактивним ємнісним опором
XС
3=5 Ом і відповідно в іншій паралельній вітці включені
R
4 =3 Ом та
XL
4 =4 Ом.
Отже схема електрична принципова буде мати вигляд як на рис.2.5.
Дане електричне коло є простим, оскільки в ньому присутнє тільки одне джерело напруги. Такі кола, як правило, розраховуються шляхом еквівалентних перетворень схеми і зведенням її до одного еквівалентного опору Zекв, рис.2.6.
В електричному колі, яке складається тільки із джерела струму та одного еквівалентного опору (рис.2.6,б) струм І
1 розраховується по закону Ома. Оскільки розрахунки будемо виконувати символічним методом то закон Ома записується так:
Загальний еквівалентний комплексний опір електричного кола дорівнює:
= + = 2+j8 +5,268-j0,346= 7,268+j7,654 = 10,555 e
При виконанні розрахунків доцільно операції „додавання” та „віднімання” комплексних чисел виконувати в алгебраїчній формі запису, а при множенні та діленні комплексних чисел переводити комплексні числа в показникову форму. Як виконується перехід від однієї форми запису до іншої викладено в додатку № 1 в теоретичних відомостях про комплексні числа.
Отже діюче комплексне значення струму в нерозгалуженій частині кола дорівнює:
Величини струмів в паралельних вітках можна визначати різними шляхами. Наводимо один із них.
Розраховуємо напруги на паралельних вітках між вузлами «a
Тоді струми в паралельних вітках розраховуються за законом Ома для окремих ділянок електричного кола:
Перевірку правильності розрахунку можна виконати по I закону Кірхгофа або по балансу потужностей.
Рівняння, складені по першому закону Кірхгофа для вузлів «а
» і «
b
» даного кола, мають вигляд:
Виконавши розрахунок кола символічним методом визначаємо діючі значення струмів в вітках:
Повна потужність енергії, яку джерело віддає в електричне коло, в символічному методі розраховується за формулою:
= 127e j0 ·12,032е+j46,481 = 1528,064 e j46,481.
Якщо даний вираз комплексної потужності перевести в алгебраїчну форму, то дійсна частина комплексної потужності буде дорівнювати активній потужності, а уявна частина — реактивній потужності.
З іншого боку, активна потужність, яка використовується споживачами дорівнює
а реактивна потужність, яка використовується споживачами
Приклад розрахований правильно. Похибка розрахунку складає менше дозволених 3%.
Побудова векторної діаграми
Перед побудовою векторної діаграми необхідно розрахувати діючі значення спадів напруг на окремих елементах кола (по закону Ома).
Побудову векторної діаграми (рис.2.7) виконуємо в такому порядку:
1. Проаналізувавши величини діючих значень струмів та напруг вибираємо зручні для побудови масштаби, а саме: 1 см. довжини вектора струму відповідає 2 А, а 1см. довжини вектора напруги відповідає 10 В.
2. На площині в довільному напрямку (як правило, горизонтально ) креслимо вісь дійсних чисел. Приймемо потенціал вузла „с” електричного кола рівним нулю і позначимо його на осі дійсних чисел Vс=
0
.
З точки „
с
” відкладаємо вектор вхідної напруги. Оскільки початкова фаза заданої вхідної напруги дорівнює нулю, то вектор вхідної напруги, довжина якого в вибраному масштабі дорівнює 12,7 см, буде співпадати по напрямку з віссю дійсних чисел.
Починаємо побудову векторної діаграми від вузла „с” електричного кола.
Оскільки напруги на активних опорах співпадають по фазі із струмами, які протікають по відповідних опорах, а напруги на реактивних опорах випереджають або відстають (залежно від характеру реактивного опору) на кут від своїх струмів, то вектор напруги R
Трифазні кола
Теоретичні положення
,
В
,
С
і, відповідно, «кінцями».
X
,
Y
,
Z
. Всередині статора розташований ротор на обмотки якого подається постійний струм і таким чином створюється магнітне поле. Якщо ротор обертати з кутовою швидкістю проти руху годинникової стрілки то з такою ж кутовою швидкістю буде обертатися магнітне поле і в обмотках статора
АX
,
ВY
,
СZ
будуть наводитись три ЕРС. Величини амплітуд ЕРС будуть однаковими і максимум кожної буде наступати в часі пізніше на періоду обертання від попередньої.
Створена при цьому система ЕРС буде симетричною з прямою послідовністю фаз і записується так:
Примітка.Термін «фаза» в трифазних колах має два різних значення:
а) поняття, що характеризує стадію, момент періодичного процесу;
б) назву частини електричного трифазного кола.
Фази трифазного генератора можуть бути з’єднані за схемою «трикутник» або «зірка». За такими схемами з’єднуються і споживачі, а разом із генератором вони створюють одне трифазне складне розгалужене коло яке може бути розраховане будь яким методом розрахунку складних кіл змінного струму. Але, враховуючи специфічні особливості трифазних кіл, розрахунки величин струмів, напруг, потужностей значно спрощуються.
При різному навантаженні фаз розрахунки фазних струмів необхідно виконувати для кожної фази окремо.
При з’єднанні обмоток генератора «зіркою» (рис. 3.1) кінці їх (x
,
y
,
z)
з’єднуються в один вузол «
N
», який називають нульовою точкою генератора.
При такому з’єднанні на виході генератора маємо два різних діючих значень напруги: лінійні (U
При підключенні до затискачів генератора споживачів, які також з’єднані «зіркою», необхідно нульові точки генератора і споживачів з’єднати четвертим проводом, який називають нульовим (або нейтральним). При з’єднанні «зіркою» лінійний і фазний струм завжди будуть однаковими і тому І
При нерівномірному навантаженні лінійні струми будуть різними і в цьому випадку знаходяться згідно І закону Кірхгофа як різниця відповідних комплексних фазних струмів
Розглянемо на конкретних прикладах розрахунок трифазних кіл при різних способах з’єднання та різних видів навантаження.
Приклад № 7
Трифазний споживач (рис.3.3) підключений до симетричного генератора, лінійна напруга якого U
Розрахувати фазні і лінійні струми, а також повну потужність (потужність усіх трьох фаз) споживачів, з’єднаних «трикутником», якщо задано RАВ
Побудувати векторну діаграму напруг і струмів.
Розрахунок задачі будемо виконувати символічним методом.
Комплексні струми в фазах при нерівномірному навантаженні розраховуються таким чином:
Комплексні лінійні струми визначаються як різниця відповідних фазних комплексних струмів.
Ррозрахунок потужностей фаз трифазного споживача та всього трифазного несиметричного кола зручно виконувати символічним методом.
Комплексна повна потужність всього трифазного кола
В результаті розрахунку з’ясувалось, що загальна активна потужність Р
=11818,48 Вт, загальна реактивна потужність Q = 2560,68 BAр, а повна потужність трифазного кола
Векторна діаграма при нерівномірному навантаженні споживачів, з’єднаних «трикутником» має вигляд, який зображений на рис.3.4:
Приклад № 8
До симетричного трифазного генератора, діюче значення лінійної напруга якого дорівнює U
л= 380В, підключений трифазний споживач з’єднаний «зіркою» з нейтральним проводом (рис.3.5)
Визначити струм в нейтральному проводі, якщо параметри фазних споживачів дорівнюють таким величинам:
Мощность в цепи постоянного тока
Здравствуйте! Эту статью можно считать началом знакомства с электричеством. Напряжение, ток, сопротивление – это три главные величины, на которых построены основные законы электротехники и эти величины связаны между собой еще одной – мощностью. А чтобы было проще знакомиться с электротехникой, мы будем рассматривать мощность в цепи постоянного тока. Дело в том, что при расчетах в цепях переменного тока появляется довольно много условий. Впрочем, обо всём по порядку и вы сейчас сами с этим разберётесь.
Для удобства я сразу напишу международные обозначения этих четырёх величин:
U – напряжение (В, вольт)
R – сопротивление (Ом, ом)
P – мощность (Вт, ватт – не надо путать с вольтом, который обозначается только одной буквой В)
Для начала абстрактный пример, чтобы проще было понимать термины, которые я сейчас буду использовать. Допустим, есть магазин товаров (условно это можно представить, как напряжение), есть деньги (условно это будет ток), есть совесть, которая не позволяет вам тратить много или наоборот, шепчет, чтобы вы крупно потратились (это можно считать сопротивлением) и есть купленные товары или продукты, которые вы несёте домой (это мощность). Собственно, на этом примере можно объяснить многие законы, связанные с электрическим током. Все обозначенные величины связаны между собой законом Ома, который гласит, что сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению цепи, а именно:
В абстрактном примере – чем больше магазин (напряжение) и чем меньше вам шепчет совесть (сопротивление), тем больше вы тратите денег (сила тока), а когда вы несёте купленный товар домой, вы совершаете работу (мощность). Мощность в цепи постоянного тока это и есть работа, совершаемая электричеством. Мощность это произведение тока на напряжение, а если вместо тока или напряжения подставить соответствующие значения, то можно получить мнемоническую табличку:
Как видите, мощность в цепи постоянного тока это довольно простое понятие, если немного вдуматься в материал. По сути, это всего две формулы с заменой значений. Как это выглядит:
Если теперь в формуле мощности подставить место значения тока формулу тока, то получим следующее:
Именно таким образом и получилось 12 формул на основе закона Ома, которые вы видите в мнемонической табличке. Что такое мощность в цепях постоянного тока мы более или менее разобрались, но есть ещё один момент.
2.10. Мощность и ее составляющие в цепях переменного тока
если угол напряжения больше нуля, а ток у такой нагрузки отстает от напряжения и если они расположены на комплексной плоскости (рис. 2.13), скалярное произведение двух комплексов равно произведению их модулей, а результирующий угол равен углу между векторами тока и напряжения, что не получается при перемножении комплексов:
Угол не равен углу между векторами тока и напряжения.
Для вычисления полной мощности в цепях переменного тока пользуются искусственным приёмом. В формуле полной мощности вместо комплекса тока подставляют комплексно-сопряженный ток:
или в алгебраической форме:
Баланс мощностей для цепей переменного тока составляется так:
Баланс мощностей в цепи постоянного тока.
Собственно, это просто проверка правильности расчетов электрической цепи. Возвращаясь к нашему абстрактному примеру это выглядит так: вы купили товары, забрали их на кассе, отошли от кассы и вам показалось, что ваши пакеты должны быть больше или меньше, чем получились. Тогда вы берёте чек и начинаете сравнивать товар в чеке и товар в наличии. Если товары в чеке и товары в руках совпали, значит всё в порядке. Если мы обратимся к определению, то баланс мощностей – сумма мощностей потребляемых приемниками, равна сумме мощностей отдаваемых источниками.
Как это использовать на практике? Допустим, у нас есть задача, которую нужно решить:
Поскольку решение задачи не является целью этой статьи, я дам уже готовые ответы.
Что мы и получаем с учетом потерь при округлениях.
Таким образом, баланс мощностей в электрической цепи постоянного тока — это ничто иное, как проверка самого себя, своих расчётов.
Как видите, мощность в цепи постоянного тока посчитать довольно легко. Гораздо больше сложностей возникнет, если ток будет переменный. Другими словами, на примере магазина это выглядит так:
Постоянный ток – от входа до выхода прямая линия и вы спокойно идете от начала и до конца без каких-либо приключений.
Переменный ток – магазин представляет из себя зигзаг и вам приходится делать лишние движения.