Частота колебаний маятника чем измеряется

Частота колебаний маятника

Всего получено оценок: 102.

Всего получено оценок: 102.

Маятник – простейшая колебательная система, в которой можно изучать особенности колебательных процессов. Колебания, происходящие в маятнике, обладают рядом характеристик, важнейшей из которых является частота. Рассмотрим частоту колебаний маятника более подробно.

Маятник и процессы, происходящие в нем

Изначально под термином «маятник» понимался груз, подвешенный на нити, который может совершать свободные качания под действием силы тяжести. Такой маятник называется «нитяным». Идеальной моделью нитяного маятника является математический маятник, который отличается отсутствием потерь, точечным размером массы и нерастяжимой нитью.

Рис. 1. Нитяной маятник.

Сила тяжести в маятнике может быть заменена на силу упругости. Такой маятник называется «пружинным».

Рис. 2. Пружинный маятник.

В обоих маятниках свободные колебания возникают потому, что при выведении их из равновесия возникает сила, направленная в сторону равновесия, тем большая, чем больше отклонение.

В точке наибольшего отклонения маятник обладает потенциальной энергией, которая по мере движения превращается в кинетическую. В точке равновесия потенциальная энергия равна нулю, а вся энергия маятника имеет кинетическую форму. Поэтому маятник не может остановиться, и будет продолжать движение, при этом кинетическая энергия будет уменьшаться переходя в потенциальную. В противоположной точке отклонения вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную, и станет равной нулю. Маятник начнет обратный ход, при котором потенциальная энергия снова будет переходить в кинетическую.

Идеальный маятник не имеет потерь энергии, а поэтому колебания будут незатухающими.

Частота колебаний маятника

Ускорение является второй производной координаты. То есть:

В высшей математике доказывается, что единственная функция, удовлетворяющая данному условию – это круговая функция (синус или косинус):

Сравним эту формулу с формулой гармонических колебаний:

$$x(t)=A cos( \omega t+\varphi)$$

Процессы, происходящие в нитяном маятнике, очень близки к процессам, происходящим в пружинном. Поэтому частота колебаний нитяного маятника имеет формулу такого же вида, только в ней жесткость пружины является аналогом ускорения свободного падения, а аналогом массы является длина маятника:

На графике частота колебаний маятника равна количеству полных колебаний, происходящих в единицу времени:

Рис. 3. График колебаний маятника.

Что мы узнали?

И в нитяном и в пружинном маятнике колебания возникают потому, что при выведении их из положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть маятник в равновесие, тем большая, чем больше отклонение. Единственная функция, удовлетворяющая этому условию – это круговая функция, частоту которой можно получить из ее формулы или графика.

Источник

Амплитуда, период, частота колебаний.

Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша­рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, санти­метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси­мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное ко­лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы­рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей­ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес­ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю­щихся величин, например, для затухающих колебаний.

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

.

В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Источник

Частота

Определение частоты

Частотой называют физическую величину, характеризующую периодический процесс.

Частота колебаний

Частота служит одним из основных параметров, характеризующих колебания.

В Международной системе единиц (СИ) частота измеряется в герцах или обратных секундах:

Частота биений, которые возникают при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с разными, о близкими по величине частотами ($<\nu >_1\ и\ <\nu >_2$) равна:

Другой характеристикой колебаний является циклическая частота, которая равна:

Циклическая частота измеряется в радианах, деленных на секунду:

Выражение (4) выполняется для упругих, малых колебаний. Масса пружины должна быть мала в сравнении с массой тела.

Частота колебаний физического маятника:

Частота дискретных событий, частота вращения

Единицей измерения частоты дискретных событий является обратная секунда:

Секунда в минус первой степени равна частоте дискретных событий, если за время, равное одной секунде происходит одно событие.

Примеры задач с решением

Решение. Рассмотрим уравнение движения частицы:

Подставим значение циклической частоты, полученное из уравнения (1.1) в формулу (1.3), получаем:

Решение. Сделаем рисунок.

В нашей задаче мы имеем колебания пружинного маятника, частоту которого можно найти как:

Рассмотрим состояние равновесия тела, которое прикреплено к пружине (рис.1). Запишем второй закон Ньютона для сил, действующих на это тело в состоянии равновесия:

Запишем проекцию уравнения (2.2) на ось Y:

Так как колебания груза на пружине малые, то выполняется закон Гука и мы можем считать, что:

\[F_u=k\Delta x\ \left(2.4\right).\]

Подставим полученный в (2.5) результат в (1.1), частота колебаний тела на пружине равна:

Источник

Примеры движения

Колебательное движение является одним из наиболее распространенных в природе. Например, можно представить себе струны музыкальных инструментов, качели или голосовые связки человека.

В физике колебаниями называются процессы, которые повторяются через равные промежутки времени. Подобные движения рассматривается посредством нескольких моделей:

Амплитуда, период и частота

Если подвесить одновременно два груза на две разные нити и запустить их, то можно заметить, что расстояние отклонения груза от среднего положения до крайнего — разное.

Это величина носит название амплитуды. Обозначается буквой А и измеряется в системе Си в метрах. Также для обозначения подобного движения применяются следующие термины:

Выделяют понятие свободных колебаний. Когда системе, например, математическому маятнику, придают импульс, чтобы начать движение, дальнейшие его колебания (самостоятельные) будут считаться свободными.

Математический маятник

Эта модель рассматривает движение груза, подвешенного на нитке. Описывается система, в которой масса нитки намного меньше массы груза, а ее длина намного больше его размеров.

Также нить должна быть невесомой и нерастяжимой.

Груз в этом случае считается материальной точкой.

При выполнении этих условий частота колебаний маятника и период не будут зависеть от массы груза. Движение математического маятника рассматривается при небольшом угле отклонения (α). Последний измеряется в радианах, поэтому приблизительно соответствует по значению его синусу и тангенсу. Этот же угол пропорционален отношению смещения на длину нити:

На маятник действует синусовая составляющая силы тяжести и тангенсовая сила натяжения нити. Согласно второму закону Ньютона: ma=-mgsin (α). Откуда можно получить a=-gx/l

Вторая производная уравнения движения дает a=-(ω)^2x

Период: T=2π /ω T=2π*sqrt (g/l)

Это формула Галилея, которая описывает движение математического маятника.

Формула частоты колебаний для математического маятника: v=sqrt (l/g)/2π.

Пружинный маятник

Подобным термином называется система, в которой движения совершает груз, подвешенный на легкой пружине.

Тело находится в положении равновесия, если пружина не деформирована. Если ее растянуть или сжать, то система начнет колебания под действием силы упругости, которая направлена на приведение маятника в положение равновесия.

Сила упругости пропорциональна смещению тела (x), но направлена противоположно. Коэффициент пропорциональности между этими двумя величинами носит название жесткости пружины (k). Таким образом:

Сила упругости достигает наибольшей величины в положении максимального отклонения тела (амплитуда, смещение) от равновесия. В этой точке наибольшую величину имеет и ускорение.

По мере того, как тело приближается к положению равновесия, уменьшается сила упругости и ускорение. В средней точки обе величины равны нулю, но ненулевое значение имеет скорость тела. Поэтому груз не останавливается, а продолжает движение.

После прохождения положения равновесия он двигается в обратном направлении по инерции, а сила упругости тянет его назад. Благодаря трению воздуха скорость уменьшается, и маятник останавливается.

Все эти модели можно отнести к классическому гармоническому осциллятору — системе, которая имеет одну степень свободы и описывается единственным уравнением.

Явление резонанса

Это понятие имеет особое значение для описания колебаний. Если имеется некое воздействие, частота которого приближается к собственной частоте системы, то последняя реагирует резким увеличением амплитуды.

Явление резонанса можно представить себе на примере того же математического маятника. Для этого необходимо маятник привязать к веревке, к которой привязать еще один такой же, но с более длинной нитью. При этом длина нитки второго маятника может регулироваться. Если привести в движение оба маятника, а длину второй нитки постепенно изменять, то можно будет заметить, что амплитуда увеличивается по мере приближения размеров обеих ниток.

В этом случае первый маятник будет приемником колебаний, а второй — передатчиком. Причиной увеличения амплитуды является колебание подвески с такой же частотой.

Колебательный контур

Является еще одним примером колебаний, на котором основаны все радиоприемники. Контур играет роль приемника сигнала.

В простейшем примере представляет собой замкнутую цепь из катушки индуктивности и конденсатора. При определенных обстоятельствах в подобном контуре могут возникать и поддерживаться электрические колебания.

Для возбуждения колебаний необходимо подключить источник постоянного напряжения к конденсатору и зарядить его. После этого источник убрать, а цепь замкнуть.

Конденсатор разряжается через катушку индуктивности, а в цепи создается ток, интенсивность которого увеличивается по мере разряда конденсатора. Вокруг катушки создается магнитное поле.

Электрический заряд конденсатора преобразовался в магнитное поле. После этого магнитное поле катушки будет уменьшаться, а конденсатор обратно заряжаться. Процесс повторяется циклически и описывается теми же характеристиками, что и механические колебания: частотой, амплитудой и периодом.

Они являются свободными и затухающими. Чтобы их поддерживать, необходимо периодически заряжать конденсатор.

Звук и электромагнитные волны

Понятие частоты вводится и для звуковых и электромагнитных волн. Первые представляют собой колебания плотности среды. Вторые — изменение со временем напряженности магнитного и электрического полей.

От частоты звука зависит его тональность. Этим свойством пользуются для стандартизации описания музыки и создания музыкальных инструментов — каждой ноте соответствует своя частота.

До 16 Гц человеческое ухо не воспринимает, так же как и выше 20 КГЦ. Более высокие частоты используются в эхолокации, ультразвуковой диагностике.

Частота электромагнитных волн также определяет их способность взаимодействовать с человеческим организмом. Рентгеновское излучение проходит насквозь, при этом взаимодействуя с молекулами, вызывая их ионизацию. Ультразвук провоцирует процессы загара, фотосинтеза. Радиоволновое излучение практически не оказывает прямого воздействия, но хорошо подходит для передачи информации. В видимом диапазоне частота определяет цвет.

Есть также такая характеристика, как частота колебаний молекул. Она зависит от температуры тела и определяет его агрегатное состояние.

Таким образом, частота колебаний описывает большое количество процессов и оказывает воздействие на их характеристики.

Источник

Гармонические колебания

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [-]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [-]

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

g — ускорение свободного падения [м/с^2]

На планете Земля g = 9,8 м/с2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Источник

• ← что такое запасы полезных ископаемых
• лоботомия что это простыми словами →