Цифра перед логарифмом что делать

Логарифм. Свойства логарифма (степень логарифма).

Свойства логарифма получаются из его определения. Общеизвестный факт, что логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Из формулировки получаем очевидные равенства log_a1 = 0 так как а 0 =1 и, log_aа = 1 так как а 1 =а.

Рассмотрим ситуации, когда в основании или аргументе логарифма стоит степень. Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Конечно же, все эти формулы будут иметь смысл при соблюдении области действующих значений логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: ими всеми можно пользоваться не только слева направо, но и наоборот, а значит разрешено перемещать числа, стоящие перед знаком логарифма в сам логарифм. Собственно это чаще всего и делается.

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания:

Или если сказать проще, в данном случае показатель степени выносится как сомножитель, в результате трудоемкое действие возведения в степень меняем на более элементарную операцию умножения.

При отрицательных значениях х формула становиться бессмысленной. Так, запрещено писать log₂(- 4) 2 = 2log₂ (- 4), так как выражение log₂(- 4) не определено. Однако обратим внимание, что выражение, стоящее в левой части этой формулы, все же имеет смысл:

Источник

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log₇ 49 6 = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

[Подпись к рисунку]

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

[Подпись к рисунку]

[Подпись к рисунку]

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2 4 = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5 2 = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

[Подпись к рисунку]

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Источник

Действия с логарифмами. Постигаем азы!

На прошлом занятии мы познакомились с понятием логарифма и порешали несколько несложных примеров на определение и смысл логарифма. Для начального знакомства.)

Теперь настал черёд более тесного знакомства с логарифмами и, соответственно, решения более серьёзных примеров. Начнём мы с ограничений в логарифмах.

Ограничения в логарифмах.

Как и у любого математического понятия, у логарифма тоже есть свои свойства и фишки. Именно о них мы сейчас и будем разговаривать. И в первую очередь это ограничения в логарифмах. До сих пор мы с вами знали лишь два жёстких ограничения в математике:

— нельзя делить на ноль;

— нельзя извлекать корень чётной степени из отрицательного числа.

С этого момента к этим двум добавляются дополнительные ограничения в логарифмах.

Для начала запишем определение логарифма в самом общем виде. Через буквы.

Напоминаю, что это равенство означает всего лишь решение показательного уравнения

А теперь подумаем, любым ли числом может быть a? Пусть, к примеру, a = 1. Тогда получается забавная штука: единица в любой степени равна единице… И каким бы ни было число c, числа a и b останутся единичками. Та же самая история и с нулём. Не подходят эти числа в качестве основания…

Отрицательные числа — очень вредные и капризные. В одну степень их можно возводить, а в другую — нельзя. Вот и поступили математики с ними, как со всеми капризными — вовсе исключили из рассмотрения.

В результате у нас получилось такое ограничение на основание:

a > 0, a ≠ 1.

А каким может быть число b? Давайте подумаем: если заведомо положительное основание a возвести любую степень c, то какое число мы в итоге получим? Верно, положительное число и получим!

Отсюда ещё одно ограничение на аргумент логарифма:

b > 0.

Вот и все ограничения. Число c (значение логарифма) может быть совершенно любым.

Конечно, при решении безобидных числовых примеров на логарифмы эти ограничения практически никак не сказываются. Зато когда столкнётесь с логарифмическими уравнениями и неравенствами, вы про эти ограничения ещё не раз вспомните! А если не вспомните, то я вам напомню. И буду напоминать при каждом удобном случае.) Ибо эти ограничения очень (!) важны при решении уравнений и неравенств. Про ОДЗ помните? Вот, то-то и оно…

Свойства логарифмов.

Итак, с ограничениями на логарифмы разобрались. Пора переходить на следующий уровень и знакомиться со свойствами логарифмов. Вот они:

Здесь всюду b>0 и c>0, а также a>0, a≠1.

Вот такой вот джентльменский набор. Ни много ни мало.) Теперь кратенько пробежимся по каждому из этих свойств. Чтобы ясно было, откуда ноги растут, как говорится.)

Начнём с первого свойства:

Из самого определения логарифма мы с вами знаем, что, если число а (основание) возвести в степень c (показатель), то получим число b:

А теперь подумаем, чему же равно у нас число c? Да вот же оно:

Подставим это выражение в предыдущее равенство и получим как раз то, что нам и требуется:

Следующая группа формул (2-3):

Думаю, тут комментарии излишни. Всё прямо из определения логарифма следует.) И даже примеры разбирались. В предыдущем материале. Кому всё-таки непонятно, применяем старый добрый способ — словесную расшифровку. Проверено, помогает.)

Переходим к следующей группе формул (4-5):

Коротко эти формулы называются логарифм произведения и логарифм частного (дроби).

А вот с их доказательствами вопрос похитрее будет.) Эти два свойства проистекают из обычного умножения и деления степеней с одинаковым основанием. Как именно? Мы с седьмого класса помним, что при перемножении двух степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются, а при делении — вычитаются:

Для доказательства, например, четвёртой формулы (логарифм произведения) придётся ввести вспомогательные обозначения:

До конца доказывать эти две формулы я не буду. Как продолжить доказательство? Подставьте выражения для m и n в формулу умножения степеней и воспользуйтесь основным логарифмическим тождеством (формула №1). Попробуйте! Очень полезно.)

Кстати, прошу обратить внимание: данные формулы справедливы только при одинаковых основаниях! Если основания разные, то, скорее всего, преобразования более мудрёные…

Идём дальше. Следующая группа формул (6-7) — это формулы, позволяющие избавляться от степеней в аргументе или в основании логарифма:

Смысл их тоже прост. Если аргумент логарифма возводится в степень, то показатель степени n можно вынести наружу и приписать перед логарифмом. То же самое происходит и тогда, когда в степень возводится основание логарифма, только показатель степени переворачивается. Эти две полезные формулы избавляют нас от степеней в аргументе/основании. Если это мешает, конечно. Это понятно.)

Осталась последняя формула №8:

Это — так называемая формула перехода к новому основанию. Самая трудная для запоминания формула. Поэтому народ частенько и ленится её запоминать… А вы запомните. Не сочтите за труд.) Когда она применяется? А когда основания логарифмов — разные.) Скажем, в примере куча логарифмов по основанию 3 и затесался один логарифм по основанию 7. Его и менять надо. На тройку.) Мы с этой формулой крепко подружимся. И примеры тоже порешаем.) В соответствующем уроке.

Вот такой вот перечень формул и свойств. Их вполне достаточно, чтобы уверенно решать примеры на логарифмы любого уровня сложности. Эти формулы нужно не просто помнить, но и уметь применять. Причём в обоих направлениях — как слева направо, так и справа налево.

Ещё не помешало бы знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм.

Десятичный логарифм — это просто логарифм по основанию 10:

В написании десятичного логарифма всего лишь пропадает буковка «о».

Натуральный логарифм (хотя чего уж в нём такого натурального) — это логарифм по основанию e. Иррациональному числу «e».

Что это за загадочное число, узнаете и поймёте, когда поступите в институт. В курсе матанализа.) В школьной математике это число практически не встречается, зато в высшей — сплошь и рядом.)

Обозначается натуральный логарифм вот так:

Логарифмы по этим основаниям хотя и имеют своё особое написание, но ни по определению, ни по свойствам ничем не отличаются от обычных логарифмов, скажем, по основанию два. Или три. И решаются точно так же.

Итак, будем считать, что необходимая теоретическая база подготовлена. Переходим к практике.)

Начальный уровень. Немного формул. Немного дробей. Немного степеней.

— впрямую используем определение логарифма,

— впрямую используем самые простые свойства логарифмов.

Мыслей здесь особых не нужно. Главное — память и внимательность. Итак, читаем, смотрим, вникаем.

Пример 1

Решение примера вытекает непосредственно из определения и смысла логарифма. В какой степени 1/3 даёт 1/27? В кубе, конечно. То есть, в третьей степени.

Пример 2

Всё то же самое, только дроби десятичные. Ну и что? Опять напрямую пользуемся определением логарифма: в какой степени 0,3 даст 0,09? В квадрате, разумеется! Или во второй степени.)

И ещё один примерчик на дроби:

Пример 3

А вот тут некоторые могут и зависнуть. Почему? Потому что связь между 0,5 и 1/128 визуально просматривается плохо. Что делать?

Что-что… Да к обычным дробям перейти! Вот вам и первый практический совет:

Если в одном примере смешались в кучу разные типы дробей, то переходим к обыкновенным дробям.

Этот приём, между прочим, работает не только в логарифмах, но и в других смежных темах — в показательных выражениях, в корнях.

В нашем примере 0,5 = 5/10 = 1/2. Ну и как? Связь между 1/2 и 1/128 легче углядеть? Естественно! 1/128 — это 1/2 в седьмой степени.

Что? Забыли, что 128 — это 2 в седьмой степени? Срочно повторить степени!

Пример 4

Прямое применение формулы разности логарифмов:

И как вам? Оба логарифма по отдельности ровно не считаются, зато через формулу разности — отлично!

Пример 5

А вот здесь складывать по формуле нельзя: основания разные — тройка и двойка. А формула — штука жёсткая. Раз требуются одинаковые основания, значит, так и надо.

Но тут ничего хитрого нет: оба логарифма считаются ровно.

Не каждый, правда, догадается, что 243 — это 3 в пятой степени, а 32 — это 2 в пятой… Но тут дело уже не в логарифмах, дело в степенях!

Вот вам и второй практический совет.

Степени популярных чисел надо знать. В лицо!

Конечно, возвести двойку в седьмую степень или тройку в пятую может каждый. Не в уме, так хотя бы на черновике. Но это умение слабо помогает в работе с логарифмами, да. А вот сообразить, какое число и в какой степени скрывается за числом 128 или 243 — это уже совсем другое дело. Почувствуйте разницу, что называется!

Поскольку умение распознавать степени в лицо пригодится не только на этом уровне, но и на следующих, вот вам небольшое задание:

Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Ответы (вразброс, естественно):

А теперь я настоятельно рекомендую взять любой учебник по школьной математике и порешать оттуда простейшие примеры на логарифмы. Порешали? Хоть что-то получилось? Тогда будем считать, что начальный уровень вы прошли. Переходим на следующий уровень.

Почти все формулы. Почти все степени. Поиск «братьев по степени».

На этом уровне применяем почти все формулы работы с логарифмами. Кроме последней формулы перехода к новому основанию. А также закрепляем наши навыки работы со степенями.

Поехали расширять наши возможности!

Пример 6

Вот тут прямое применение определения логарифма не годится: из четвёрки 128 простым возведением в степень никак не сделаешь. И формулы логарифмов непонятно как употреблять… Не беспокойтесь, сейчас всё получится.) При маленьком условии, что вы узнали в лицо число 128. Да! Это 2 в седьмой степени! Так и запишем:

Вот и одна из формул (третья снизу) приходит на помощь. Та, где показатель степени ставится множителем перед логарифмом:

Вот и выносим семёрку за наш логарифм. Пишем:

Вот и ещё одна формулка в дело просится!) Вторая снизу, где в степень возводится основание логарифма. Только в этом случае при вынесении показателя наружу его надо перевернуть: 1/n.

Вот так вот! А если бы мы не узнали в числе 128 степень двойки, то так и застряли бы на этом, в общем-то несложном примере…

А теперь мы вплотную подошли к одному весьма и весьма полезному приёму в работе с логарифмическими и показательными выражениями. Приём этот называется «поиск братьев». Братьев по степени. И по разуму тоже.) Суть этого полезного приёма заключается в тщательном осмотре примера и распознавании одного и того же числа в разных степенях.

И зачем всё это нужно — распознавать степени и родственников? А затем, что примеры от этого проще становятся! И формулы свойств логарифмов сразу высвечиваются.) Особенно важно получить в примере одинаковые основания у логарифмов, ибо чем больше одинаковых значков в примере и меньше разных, тем лучше. И не нужно здесь применять формулу перехода к новому основанию: зачем же из пушки по воробьям палить.?)

Следующий пример на братьев (или сестёр):

Пример 7

В примере стоит сумма логарифмов, но основания логарифмов разные — тройка и девятка. Стало быть, применять напролом формулу суммы логарифмов нельзя. Но! Первый логарифм уже считается ровно, получится просто тройка:

А со вторым логарифмом что? Из девятки 27 возведением в целую степень не получишь! Но зато 9 и 27 — родня! По тройке.) Самое время вспомнить, что:

Что ж, поработаем отдельно со вторым логарифмом. Перейдём в основании от девятки к тройке. Поможет нам такое преобразование или нет — неизвестно. Но что-то делать всё-таки надо, правда? Итак, преобразовываем второй логарифм по второй (снизу) формуле — выносим степень из основания за логарифм:

Осталось лишь сложить 3 (первый логарифм) и 3/2 (второй логарифм)

Так, с близкой роднёй разобрались. Идём дальше. Иногда пример может не соответствовать в точности формуле, а может быть лишь похожим на одну из формул. И наша задача — сначала преобразовать пример под ту или иную формулу. Как, например, этот:

Пример 8

Напоминаю, что запись lg означает просто логарифм по основанию 10. И всё.)

Итак, основания логарифмов уже одинаковые — десятка. Ну прям напрашивается формула суммы логарифмов! А н-е-ет, не катит! Двойка во втором слагаемом всё портит. Коэффициент, понимаешь.) А формула применима только к чистым логарифмам, безо всяких коэффициентов. Но горевать рано! Мы эту двойку сейчас ликвидируем. Безопасно для примера.) Мы её внутрь логарифма загоним. Как? Всё по той же формуле логарифма от степени:

Здесь как раз тот случай, когда формулу надо применять справа налево. Ни в одной другой теме школьной математики нельзя вот так красиво избавляться от мешающих коэффициентов, а в логарифмах — пожалуйста! Итак, избавляемся от двойки перед вторым логарифмом:

Вот так. Осталось лишь сложить два логарифма по формуле логарифма произведения (опять же в применении справа налево). Вот и складываем:

lg4 + lg25 = lg(4́·25) = lg100 = 2

Напоминаю, что десятичные логарифмы формулу ничуть не портят, ибо они по своим свойствам ничем не отличаются от обычных!

Вот вам и третий практический совет.

Любую степень можно записать множителем перед логарифмом. И наоборот — любой числовой коэффициент можно спрятать внутрь логарифма. Если он мешает, конечно.

Ну что, вот и состоялась наше более близкое знакомство с логарифмами! Осталось теперь с ними крепко подружиться. На следующем уровне и в следующем уроке.)

Традиционные примеры для самостоятельного решения.

Источник