что такое второй дифференциал функции

06.12.202317.04.2022 admin 0 Comments

Второй дифференциал сложной функции двух переменных.

Введение.

Сформулируем некоторые факты из теории функций многих переменных, которые понадобятся нам далее.

Определение: функция z=f(u,v) называется дифференцируемой в точке (u, v), если ее приращение Δz представимо в виде:

Линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается dz.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости) см[1].

Если в некоторой окрестности т.(u, v) существуют непрерывные частные производные и , то функция f(u, v) дифференцируема в этой точке и

(du=Δu, dv=Δv). (1)

Определение: Вторым дифференциалом функции z=f(u, v) в данной точке (u, v) называется первый дифференциал от первого дифференциала функции f(u, v), т.е.

Из определения второго дифференциала z=f(u, v), где u и v – независимые переменные, следует

Таким образом, справедлива формула:

(2)

При выводе формулы использована теорема Шварца о равенстве смешанных производных . Это равенство справедливо при условии, что определены в окрестности т.(u, v) и непрерывны в т.(u, v). cм[1].

Формула для нахождения второго дифференциала может быть записана символически в следующем виде: – формальное возведение скобки в квадрат с последующим формальным умножением справа на f(x y) дает полученную ранее формулу [1]. Аналогично справедлива формула для 3-го дифференциала:

и вообще:

, где формальное возведение в n-ую степень производится по формуле бинома Ньютона:

;

Отметим, что первый дифференциал функции двух переменных обладает свойством инвариантности формы. То есть, если u и v — независимые переменные, то для функции z=f(u, v), согласно (1)

Пусть теперь u=u(x y), v=v(x y), тогда z=f(u(x y), v(x y)), x и y — независимые переменные, тогда

Используя известные формулы для производной сложной функции:

Тогда из (3) и (4) получим:

(5)

где — первый дифференциал функции u, — первый дифференциал функции v.

Сравнивая (1) и (5), видим, что формальная запись формулы для dz сохраняется, но если в (1) du=Δu, dv=Δv — приращения независимых переменных, то в (5) du и dv — дифференциалы функций u и v.

Второй дифференциал сложной функции двух переменных.

Прежде всего, покажем, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

Пусть z=z(u, v) в случае независимых переменных u и v второй дифференциал находим по формуле (2)

Пусть теперь u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), где независимые переменные x и y. Тогда

Итак, мы получили окончательно:

Формулы (2) и (6) не совпадают по форме, следовательно, второй дифференциал не обладает свойством инвариантности.

Ранее были выведены формулы частных производных 1-го порядка для сложной функции z=f(u, v), где u=u(x y), v=v(x y), где x и y — независимые переменные см [1].

Выведем формулы для вычисления частных производных и дифференциала второго порядка для функции z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), где x и y — независимые переменные.

Для функций u(x y), v(x y) независимых переменных x, y имеем формулы:

Подставим формулы (8) в (6).

Таким образом, получили формулу для дифференциала второго порядка сложной функции двух переменных.

Сравнивая коэффициенты при для частных производных второго порядка сложной функции двух переменных в (2) и (9), получаем формулы:

Пусть z=f(u, v), u=xy, v= . Найти второй дифференциал.

Решение: вычисляем частные производные:

, , , ,

, ,

Подставив полученные результаты в (9), получаем ответ:

Важные частные случаи.

1. Рассмотрим случай, когда z=f(u, v), u=u(t), v=v(t).

Для первого дифференциала имеем:

;

Если в формуле (9) положить x≡t и учесть, что все производные по y отсутствуют, то получим:

Отметим, что в квадратных скобках формулы (13) стоит формула производной второго порядка для случая, если z=f(u, v), где u=u(t), v=v(t).

2. Рассмотрим случай, когда z=f(u), где u=u(x y).

Для первого дифференциала имеем:

Далее по формуле (6):

Сравнивая коэффициенты при , получаем формулы для вторых частных производных:

Пусть . Найти .

Решение: обозначим u= . Находим частные производные:

Находим второй дифференциал:

3. Рассмотрим случай, когда z=f(x y), y=y(x).

Для первого дифференциала имеем:

Далее из 1.получаем:

1.Архипов Г.И. Садовничий В.А. Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004

2.Виноградова И.Л. Олехник С.Н. Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу М.В.Ш., 2002

3.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука,1990.

Источник

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции. Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Пусть y = f (x) имеет производную

Применяя свойства предела функции, получают равенство

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)).

Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x. Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

Отсюда получается формула:

Для второго порядка вводится обозначение d 2 y.

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически,

Примеры решения задач

Задача №1

Найти дифференциал функции

Задача №2

Вычислить значение дифференциала функции

В помощь студентам создан онлайн калькулятор, который позволяет ввести функцию, нажать кнопку и получить форму или значение дифференциала.

Если dx есть константа, то для высших порядков имеет место следующая формула:

Этот результат вытекает непосредственно из определения:

Задача №3

Найти d 2 y, если y = cos2x и x – независимая переменная.

Если x – функция от некоторой другой независимой переменной, то свойство инвариантности перестаёт работать, следовательно,

Задача №4

Найти d 2 y, если y = x 2 и x = t 3 + 1, t – независимый аргумент.

Нетрудно заметить, что если выразить y напрямую через t, то получится тот же результат.

с высокой степенью точности можно вычислить приращение любой дифференцируемой зависимости.

Раскрыв Δy, сделав соответствующие преобразования, приходят к формуле приближённых вычислений:

Задача №5

Вычислить приближённо arctg1,05.

Пусть f(x) = arctg x. Тогда

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых.

Например, если z = f(x;y) то

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Заключение

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.