что такое временной ряд в эконометрике

Что такое временной ряд в эконометрике

5.1. Понятие временного ряда. Примеры временных рядов в экономике

Информация о поведении многих явлений природы и общества часто может быть представлена в виде упорядоченной во времени последовательности наблюдений над данным явлением.

Пример 5.2. Объем торгов на Российской фондовой бирже

В таблице 5.2 приведены данные об объеме торгов акциями приватизированных предприятий в июне 1997 г. (источник: Н.Б. Кобелев, 2000, с. 97)

Таблица 5.2
Объем торгов на Российской фондовой бирже

Рис. 5.2. Объем торгов на Российской фондовой бирже

Таблица 5.3
Объем экспорта в Китай

Рис. 5.3. Объем экспорта в Китай

В каждый момент времени значение временного ряда (изучаемого показателя) формируется под воздействием большого числа факторов как неслучайной, так и случайной природы. Таким образом, временной ряд представляет собой совокупность наблюдений случайной последовательности. На практике, особенно при изучении социально-экономических явлений, моменты времени, в которые производятся наблюдения, заданы заранее, причем интервал между наблюдениями одинаков.

В большинстве практически важных случаев математической моделью одномерного временного ряда может служить модель вида

Существуют различные варианты модели ( 5.1 ), которые отличаются способами описания систематической и случайной составляющих. Отметим, что в отличие от регрессионных моделей, рассмотренных в предыдущих разделах, где наличие статистической взаимосвязи между значениями случайной составляющей рассматривалось как мешающее обстоятельство при оценивании модели, при анализе временных рядов как раз зависимость между значениями последовательности случайных составляющих модели будет играть существенную роль, поскольку позволяет получить важную информацию о возможных будущих значениях последовательности, содержащуюся в прошлых наблюдениях и необходимую для ее прогнозирования по имеющимся наблюдениям. В связи с этим, существенная часть данной главы будет посвящена моделям, описывающим зависимые последовательности случайных величин.

Источник

Временные ряды, Циклические колебания

В эконометрике модели временного ряда строятся на основе данных, характеризующих совокупность различных объектов за определенный период времени.

Временной ряд — это набор значений какого-либо показателя за несколько последовательных периодов времени. Любой уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые можно разделить на 3 группы:

При разных сочетаниях этих факторов в изучаемом явлении зависимость уровней ряда от времени может принимать различный вид.

1. Большинство временных рядов показателей в экономике имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на изменении изучаемого показателя. Отметим, что эти факторы, взятые по отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в сумме они формируют общую тенденцию (возрастающую или убывающую).

Циклические колебания

2. Изучаемый показатель иметь циклические колебания. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку деятельность определенных отраслей экономики зависит от времени квартала — времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию зимой имеют минимальные значения, летом — максимальные). При наличии большого количества данных за длительные периоды времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой рынка.

Часть временных рядов не содержат тенденции и циклической (сезонной) компоненты, а каждый следующий их уровень складывается из суммы среднего уровня ряда и некоторой случайной компоненты.

Компоненты временного ряда

На практике модели временного ряда содержат три, две или одну компоненту.
Иногда фактический уровень временного ряда можно представить как сумму трендовой и циклической компоненты. Если модель определяется произведением компонент, то она называется мультипликативной моделью временного ряда

Модель, в которой временной ряд определяется суммой перечисленных компонентов, называется аддитивной моделью временного ряда.

Главная задача исследований в отдельного временного ряда, заключается в нахождении количественного значения каждой из компонент затем, чтобы использовать эту информацию для прогнозирования значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух, трех или более временных рядов.

Источник: Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.

Источник

Временные ряды в эконометрике

Понятие о временном (динамическом) ряде и его структура. Расчёт коэффициента автокорреляции динамического ряда. Моделирование сезонных и циклических колебаний временного ряда. Понятие о динамических эконометрических моделях. Суть методов Алмон и Койка.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

временной динамический ряд автокорреляция

Временным рядом называется последовательно расположенные в хронологическом порядке показатели, характеризующие развитие явления во времени.

Основными задачами эконометрического исследования временного ряда является:

1) прогнозирование будущих (недостающих) уровней динамического ряда;

2) изучение взаимосвязей двух и более временных рядов.

Временной ряд характеризуется двумя параметрами:

1) моментами времени (конкретными датами) или периодами (годы, кварталы, недели и т.д.), к которым относятся статистические данные.

Величина уровня ряда определяется влиянием на него всех возможных факторов, которые подразделяют на следующие группы:

2) факторы, формирующие циклические колебания ряда (циклическую компоненту). Циклическая (периодическая) компонента может быть:

Уровень временного ряда будет функция от трендовой циклической и случайной компонент:

В зависимости от вида связи между этими компонентами модель может быть:

1) аддитивная (как сумма компонент)

2) мультипликативная (как произведение компонент)

1.2 Автокорреляция уровней временного ряда. Выявление структуры динамического ряда

Естественно, что при наличии во временном ряду трендовой или циклической компоненты значение каждого последующего уровня будет зависеть от влияния предыдущих уровней

Данная корреляционная зависимость между уровнями временного ряда называется автокорреляцией уровня временного ряда.

Количественно автокорреляцию определяют, рассчитывая коэффициент автокорреляции его можно рассчитать как:

Для того чтобы, определить структуру временного ряда, необходимо найти лаг при котором коэффициент автокорреляции будет наибольшим.

3. Если все коэффициенты автокорреляции не являются статистически значимыми, это может быть обусловлено двумя причинами:

· взаимосвязь между уровнями временного ряда не является линейной;

Коэффициент автокорреляции имеет следующие важные свойства:

1. Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней временного ряда. Если временной ряд имеет сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции будет приближаться к нулю.

2. Знак коэффициента автокорреляции не указывает на возрастающую или убывающую тенденцию временного ряда.

Пример 26. Имеются данные о товарообороте (млн. руб.) за 9 лет, (табл. 54). Рассчитать коэффициенты автокорреляции.

Источник

Что такое временной ряд в эконометрике

Вводный материал о временных рядах. Понятие, классификация, общие принципы исследования. Суть применения временных рядов для изучения биржевых трендов финансовых инструментов.

Содержание:

Понятие временного ряда и цели его анализа

Введение временной шкалы в явление ВР существенно отличает его от простой (случайной) выборки статистических данных. Ключевая особенность временного ряда – привязка значений (измерений) к соответствующим моментам времени. В изучении случайной выборки обычно не важна, а подчас, и вовсе не интересна подобная хронологическая взаимосвязь.

Анализ временного ряда преследует две главные цели:

Обе тесно взаимосвязаны. Решение первой задачи необходимо для построения математической модели ВР, ее корректной идентификации и формализации. Матмодель станет, своего рода, лабораторией для исследования временного ряда и фундаментом для относительно точных (с допустимой нормой погрешности) предсказаний по ряду.

Структура любого ВР включает два сегмента: общий временной период с разбивкой на интервалы внутри него в которых (на концах) которых проводятся измерения (например, устанавливается котировка акции), и собственно, сами значения ряда (котировки ценной бумаги).

Классификация временных рядов

ВР различают по следующим признакам.

1. По временным параметрам.

1.1. Равноотстоящие и неравноотстоящие ряды.

1.2. Моментные и интервальные ряды.

Значения моментного ВР устанавливаются в отдельные, точечные моменты времени. В интервальных рядах работают уровни за определенные периоды. Это может достигаться, допустим, усреднением отсчетов по взятым интервалам.

2. По размерности показателей (значений).

Одномерные и многомерные (двух-, трехмерные и т.д.) временные ряды.

3. По форме отображения (вида) отсчетов.

ВР могут содержать абсолютные, относительные и средние значения исследуемых показателей.

Полные и неполные ряды. В полных нет пропущенных значений, соответственно, в неполных ВР пропуски возможны.

5. По случайности отображаемого рядом процесса.

6. По наличию выделенной тенденции.

Стационарные и нестационарные ВР. Стационарные ряды характеризуются постоянством средних значений и дисперсий его величин. В нестационарных рядах прослеживается основная тенденция их эволюции.

Базовые принципы прогноза

В целом, при изучении поведения временного ряда и построения его прогнозных оценок применяется следующая последовательность действий.

1. Обнаружение закономерностей по ВР на прошлых (исторических) данных.

2. Конструирование функции (соотношений), способных максимально точно отразить выявленные на первом этапе трендовые тенденции. Отработка такой функции предоставит возможность оценить степень достоверности результатов начального этапа.

4. Сравнение прогнозных данных с текущими измерениями временного ряда. Отладка трендовой функции.

Далее, этапы 3 и 4 повторяются до достижении требуемой точности (удовлетворительности) прогноза.

Для построения заслуживающего доверия прогноза, временные параметры ряда должны отвечать нижеприведенным требованиям:

Легко видеть, что согласно приведенной выше классификации ВР, для полноценного изучения максимально подходят равноотстающие полные ряды. В случае, когда отсутствуют данные за сравнительно небольшие отрезки времени, их можно заменить путем усреднения находящихся рядом известных уровней ВР.

Компоненты временного ряда

Неплохая наглядная аналогия подобной визуализации ВР просматривается в зависимости доходности отдельной акции от общей среднерыночной доходности (доходности фондового индекса) через β-коэффициент:

Сглаживание. Скользящая средняя и медиана

Скользящая средняя

MA можно строить разными способами.

n именуется сглаживающим интервалом или шириной “окна”.

Графическая интерпретация простого скользящего среднего приведена на рисунке [6] :

Вместе с тем, для временного ряда типична ситуация, когда одни его отсчеты более значимы, другие менее. Для корректного сглаживания такого ВР используют взвешенную скользящую среднюю (Weighted Moving Average, WMA).

WMA в момент t (WMAt):

Нормированные веса удовлетворяют традиционному условию:

То есть, их сумма по данному интервалу (окну) равна 1.

Медиана

Когда динамика временного ряда сопровождается большим количеством значительных выбросов (флуктуаций) внутри каждого (почти каждого) окна, более эффективным методом сглаживания будет медиана. Появление выбросов может быть связано, в том числе, и с большой относительной погрешностью измерений.

С четными выборками ситуация несколько сложнее. Допустим, для выборки (1,3,5,11) медианой допустимо считать любое число из интервала от 3 до 5 (средние “по росту” члены массива). Традиционно медиану здесь считают, как среднее арифметическое, то есть (3+5)/2=4. Таким образом, медиана (число) может и не входить в состав выборки.

Применение медианного сглаживания для неустойчивых рядов приведет к вычерчиванию более гладких, и, что важно, более надежных кривых, чем дало бы скользящее среднее. В силе медианного подхода заложена и его слабость. В тех рядах, где выбросы сравнительно малы и/или редки медианное сглаживание строит неудобные зубчатые графики. Кроме того оно не позволяет задействовать веса.

Медианой и скользящим средним приемы сглаживания не исчерпываются. Существуют метод наименьших квадратов, взвешенных относительно расстояния, процедура отрицательного экспоненциально взвешенного сглаживания и целый ряд других более сложных методик.

Подбор функции

Грубо это можно сделать применив линейную зависимость. Более тонкие, нелинейные подходы, используют экспоненциальную, логарифмическую функции, а также степенной полином (многочлен).

Ряд Тейлора и ряд Маклорена

Исаак Ньютон, портрет Г. Кнеллера (1689) [12]

Разложение функции f(z) в бесконечный ряд Тейлора имеет вид:

В случае конечного (n) числа членов ряда Тейлора работает формула Тейлора:

n-ая частичная сумма ряда Тейлора для f(x).

На практике применяют частный случай ряда (формулы) Тейлора для а=0. Такой ряд именуется рядом Маклорена:

Приведем два распространенных варианта ряда Маклорена.

и натурального логарифма (ряд Меркатора):

Метод наименьших квадратов

Запишем временной ряд в виде:

Суть метода наименьших квадратов заключается в минимизации суммы квадратов разницы между y_t и f(x_t,b) через подгон параметра b:

Интегрированный временной ряд и лаговый оператор

Особый интерес для алготрейдера представляют нестационарные ВР. Биржевые тренды ценных бумаг и прочих финансовых активов имеют именно такой характер. Среди нестационарных рядов принято выделять класс интегрированных временных рядов.

Лаговый оператор k-го порядка вводится так:

Разность нулевого порядка не сдвигает члены ряда: L 0 X_t=X_t.

Модели временных рядов. От простого к сложному

В заключительном разделе перечислим в самом общем виде несколько актуальных моделей временных рядов, используемых в современных торговых алгоритмах и стратегиях.

Авторегрессионная модель (AR-модель)

Авторегрессионная модель, Autoregressive Model, кратко AR-модель, предполагает линейную зависимость члена временного ряда в заданный момент времени от предыдущих его значений [18] (с латинского regressus — возвращение, обратное движение):

Процесс первого порядка, AR(1)-процесс представляет знаменитое случайное блуждание:

Модель скользящего среднего (MA-модель)

Модели скользящего среднего, Moving Average Model, кратко MA-модели q-го порядка, MA(q) отвечает следующее соотношение [19] :

MA-модель нулевого порядка, MA(0) представляет собой просто белый шум: X_t=ε_t.

На практике обычно применяют MA-модель первого порядка, MA(1):

Модель авторегрессии — скользящего среднего (AutoRegressive Moving-Average Model, ARMA) объединяет обе модели (AR+MA=ARMA) в одно целое [20] :

Комбинация AR- и MA-модели в единую ARMA позволяет более тонко смоделировать временной ряд, используя сильные стороны обеих методик. ARMA может трактоваться, как “линейная модель множественной регрессии”. Линейная часть заложена AR-компонентой, а влияние белого шума отражено MA-составляющей.

ARIMA

Математика ARIMA (p,d,q) выглядит так:

ARCH и GARCH

Относительно недавно исследователи финансовых нестационарных временных рядов взяли на вооружение модели линии ARCH и GARCH. Что стоит за этими англоязычными аббревиатурами?

Согласно гипотезе Р. Энгла, условная дисперсия в рамках модели ARCH q-го порядка, ARCH(q) описывается следующим образом:

ARCH показала свою эффективность при интерпретации кластеризации волатильности на фондовом, валютном и прочих финансовых рынках, когда периоды высокой волатильности сменяются периодами низкой, при том, что среднюю долгосрочную волатильность можно оценивать, как относительно неизменный фактор.

Т. Боллерслев сделал вполне разумное и логичное предположение, о том, что для корректного прогноза отдельных неустойчивых временных рядов в формулу 19 для ARCH-модели полезным будет введение компоненты, отвечающей за предыдущие условные дисперсии.

где: α₀, α_i и u_t уже введены в формуле 19 для ARCH;

Необходимое условие стационарности ряда, согласно GARCH записывается так:

Линейка актуальных моделей исследования временных рядов в алготрейдинге отнюдь не ограничивается приведенными выше примерами. Алгоритмы используют их комбинации и усовершенствованные варианты.

В частности, на слуху симбиоз ARIMA+GARCH и целое семейство, собственно “GARCH-ей” адаптированных для тех или иных целей: GARCH-M, асимметричные GARCH, в том числе, EGARCH, AGARCH, TGARCH, GJR-GARCH и многие другие.

В изложении использован материал «Анализ временных рядов» портала StatSoft

Примечания и ссылки (источник – Википедия/Wikipedia если не оговорено иное)

Источник

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между пе­ременными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.

Временной ряд — ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.

Каждый временной ряд складывается из следую­щих основных компонентов:

1) Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого явления. Аналитически тенденция выражается некоторой функцией времени, называемой трендом .

2) Циклической или периодической компоненты, ха­рактеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Например: значения макроэкономиче­ских показателей зависят от того, в какой фазе бизнес-цикла находится экономика. Объем продаж некоторых товаров подвержен сезонным колебаниям .

3) Случайной компоненты, которая является результа­том воздействия множества случайных факторов .

Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих компонент: .

В зависимости от взаимосвязи между этими компо­нентами может быть построена либо аддитивная модель: , либо мультипликативная модель: ряда динамики.

Пусть нам даны поквартальные данные об объеме вы­пуска некоторого товара некоторой фирмой — Y (усл.ед.) за 3 года:

Таблица 4 – Исходные данные об объеме вы­пуска товара фирмой

Ошибка! Ошибка связи.

График данного временного ряда (рисунок 3) свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период колебаний равен 4) и общей возрастающей тенденции уровней ряда. Объем выпускаемой продукции в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. Поскольку амплитуда сезонных колебаний примерно постоянна, можно предположить существование аддитивной модели.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если , то имеем коэффициент ав­токорреляции 1-ого порядка , если , то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значе­ний, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции рав­ный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг , при котором автокорреляция наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение , то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался , то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом k. Если ни один из коэффициентов автокорреляции k не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

— либо ряд не содержит тенденции и циклических ко­лебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

— либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функци­ей временного ряда. График зависимости значений коэффи­циентов автокорреляции от величины лага (порядка коэф­фициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокор­реляции.

Определим коэффициент автокорреляции 1-го порядка, используя формулу линейного коэффициента корреляции.

,

; ,

,

,

Промежуточные расчеты по определению коэффициента автокорреляции первого порядка приведены в таблице 5.

Таблица 5- Вспомогательные расчеты по определению коэффициента автокорреляции первого порядка.

Ошибка! Ошибка связи.

Таким образом, ,

Далее определим коэффициент автокорреляции второго порядка по формуле:

,

; ,

,

,

Промежуточные расчеты по определению коэффициента автокорреляции второго порядка приведены в таблице 6.

Ошибка! Ошибка связи.

Таким образом, .

Аналогично вычисляются коэффициенты автокорреляции третьего, четвертого и т.д. порядка. Результаты расчетов и коррелограмма представлены в таблице 7.

Таблица 7 – Автокорреляционная функция и коррелограмма временного ряда объема вы­пуска товара фирмой

Ошибка! Ошибка связи.

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания.

Построение аддитивной модели временного ряда с сезонными колебаниями.

Обратимся к данным об объеме выпуска товара некоторой фирмой за последние три года, представленным в таблице 4.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (графа 3 таблицы 8);

б) разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (графа 4 таблицы 8). Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

Ошибка! Ошибка связи.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (графа 6 таблицы 8). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 9). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Ошибка! Ошибка связи.

Для данной модели имеем:

Определим корректирующий коэффициент:

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

где ,

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: ;

II квартал: ;

III квартал: ;

IV квартал: .

Занесем полученные значения в таблицу 10 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (графа 4 таблицы 10). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Ошибка! Ошибка связи.

Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда (расчеты выполнены с помощью Ms Excel). Результаты аналитического выравнивания следующие:

,

.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по адди­тивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезон­ной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения представлены на рисунке 4.

Шаг 6.В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле:

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в графе 7 таблицы 10.

Для оценки качества построенной модели или для выбора наилучшей модели используется ошибка ε.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет общей вариации временного ряда.

Источник