что такое вероятность безотказной работы

Как вычисляется среднее время до отказа и вероятность безотказной работы?

Понятиям MTTF (Mean Time To Failure — среднее время до отказа) и другим терминам теории надежности посвящено большое количество статей, в том числе на Хабре (см., например, тут). Вместе с тем, редкие публикации «для широкого круга читателей» затрагивают вопросы математической статистики, и уж тем более они не дают ответа на вопрос о принципах расчета надежности электронной аппаратуры по известным характеристикам ее составных элементов.

В последнее время мне довольно много приходится работать с расчетами надежности и рисков, и в этой статье я постараюсь восполнить этот пробел, отталкиваясь от своего предыдущего материала (из цикла о машинном обучении) о пуассоновском случайном процессе и подкрепляя текст вычислениями в Mathcad Express, повторить которые вы сможете скачав этот редактор (подробно о нем тут, обратите внимание, что нужна последняя версия 3.1, как и для цикла по machine learning). Сами маткадовские расчеты лежат здесь (вместе с XPS- копией).

1. Теория: основные характеристики отказоустойчивости
Вроде бы, из самого определения (Mean Time To Failure) понятен его смысл: сколько (конечно, в среднем, поскольку подход вероятностный) прослужит изделие. Но на практике такой параметр не очень полезен. Действительно, информация о том, что среднее время до отказа жесткого диска составляет полмиллиона часов, может поставить в тупик. Гораздо информативнее другой параметр: вероятность поломки или вероятность безотказной работы (ВБР) за определенный период (например, за год).

Для того чтобы разобраться в том, как связаны эти параметры, и как, зная MTTF, вычислить ВБР и вероятности отказа, вспомним некоторые сведения из математической статистики.

Ключевое понятие теории надежности — это понятие отказа, измеряемое, соответственно, интервальным показателем
Q(t) = вероятность того, что изделие откажет к моменту времени t.
Соотвественно, вероятность безотказной работы (ВБР, в английской терминологии «reliability»):
P(t) = вероятность того, что изделие проработает без отказа от момента t₀=0 до момента времени t.
По определению, в момент t₀=0 изделие находится в работоспособном состоянии, т.е. Q(0)=0, а P(0)=1.

Оба параметра — это интервальные характеристики отказоустойчивости, т.к. речь идет о вероятности отказа (или наоборот, безотказной работы) на интервале (0,t). Если отказ рассматривать, как случайное событие, то, очевидно, что Q(t) — это, по определению, его функция распределения. А точечную характеристику можно определить, как
p(t)=dQ(t)/dt = плотность вероятности, т.е. значение p(t)dt равно вероятности, что отказ произойдет в малой окрестности dt момента времени t.

И, наконец, самая важная (с практической точки зрения) характеристика: λ(t)=p(t)/P(t)=интенсивность отказов.
Это (внимание!) условная плотность вероятности, т.е. плотность вероятности возникновения отказа в момент времени t при условии, что до этого рассматриваемого момента времени t изделие работало безотказно.

Измерить параметр λ(t) экспериментально можно путём испытания партии изделий. Если к моменту времени t работоспособность сохранило N изделий, то за оценку λ(t) можно принять процент отказов в единицу времени, происходящих в окрестности t. Точнее, если в период от t до t+dt откажет n изделий, то интенсивность отказов будет примерно равна
λ(t)=n/(N*dt).

Именно эта λ-характеристика (в пренебрежении ее зависимостью от времени) и приводится чаще всего в паспортных данных различных электронных компонент и самых разных изделий. Только сразу возникает вопрос: а как вычислить вероятность безотказной работы и при чем здесь среднее время до отказа (MTTF).

2. Экспоненциальное распределение
В терминологии, которую мы только что использовали, пока не было никаких предположений о свойствах случайной величины — момента времени, в который происходит отказ изделия. Давайте теперь конкретизируем функцию распределения значения отказа, выбрав в качестве нее экспоненциальную функцию с единственным параметром λ=const (смысл которого будет ясен через несколько предложений).

Дифференцируя Q(t), получим выражение для плотности вероятности экспоненциального распределения:
,
а из него – функцию интенсивности отказов: λ(t)=p(t)/P(t)=const=λ.

Что мы получили? Что для экспоненциального распределения интенсивность отказов – есть величина постоянная, причем совпадающая с параметром распределения. Этот параметр и является главным показателем отказоустойчивости и его часто так и называют λ-характеристикой.

Мало того, если теперь посчитать среднее время до первого отказа – тот самый параметр MTTF (Mean Time To Failure), то мы получим, что он равен MTTF=1/ λ.

Но это еще не все, потому, что для экспоненциального распределения особенно легко делать расчет систем, состоящих из множества элементов. Но об этом – в следующей статье (продолжение следует).

Источник

1.1 Вероятность безотказной работы

Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Вероятность безотказной работы обозначается как P(l), которая определяется по формуле (1.1):

Рис.2.1. График изменения вероятности безотказной работы P(l)в зависимости от наработки

Основными достоинствами использования данного показателя при расчетах является два фактора: во-первых, вероятность безотказной работы охватывает все факторы, влияющие на надежность элементов, позволяя достаточно просто судить о его надежности, т.к. чем больше величина P ( l ), тем выше надежность; во-вторых, вероятность безотказной работы может быть использована в расчетах надежности сложных систем, состоящих из более чем одного элемента.

1.2 Вероятность отказа

Вероятностью отказа называют вероятность того, что при определенных условиях эксплуат ации, в предела х заданной наработки произойдет хотя бы один отказ.
Вероятность отказа обозначается как Q(l), которая определяется по формуле (1.2):

В начале эксплуатации исправного локомотива Q (0) = 0, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что хотя бы один элемент откажет, принимает минимальное значение – 0. С ростом пробега l вероятность отказа Q ( l ) будет увеличиваться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность отказа будет стремиться к единице Q ( l →∞ ) = 1. Таким образом в процессе наработки величина вероятности отказа изменяется в пределах от 0 до 1. Характер изменения вероятности отказа в функции пробега показан на рис. 1.2. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются событиями противоположными и несовместимыми.

Рис.2.2. График изменения вероятности отказа Q(l) в зависимости от наработки

1.3 Частота отказов

Частота отказов – это отношение числа элементов в единицу времени или пробега отнесенного к первоначальному числу испытуемых элементов. Другими словами частота отказов является показателем, характеризующим скорость изменения вероятности отказов и вероятности безотказной работы по мере роста длительности работы.
Частота отказов обозначается как и определяется по формуле (1.3):

где – количество отказавших элементов за промежуток пробега .
Данный показатель позволяет судить по его величине о числе элементов, которые откажут на каком-то промежутке времени или пробега, также по его величине можно рассчитать количество требуемых запасных частей.
Характер изменения частоты отказов в функции пробега показан на рис. 1.3.

Рис. 1.3. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки

1.4 Интенсивность отказов

Интенсивность отказов представляет собой условную плотность возникновения отказа объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказ не возник. Иначе интенсивность отказов – это отношение числа отказавших элементов в единицу времени или пробега к числу исправно работающих элементов в данный отрезок времени.
Интенсивность отказов обозначается как и определяется по формуле (1.4):

где

Как правило, интенсивность отказов является неубывающей функцией времени. Интенсивность отказов обычно применяется для оценки склонности к отказам в различные моменты работы объектов.
На рис. 1.4. представлен теоретический характер изменения интенсивности отказов в функции пробега.

Рис. 1.4. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки

На графике изменения интенсивности отказов, изображенном на рис. 1.4. можно выделить три основных этапа отражающих процесс экс-плуатации элемента или объекта в целом.
Первый этап, который также называется этапом приработки, характеризуется увеличением интенсивности отказов в начальный период эксплуатации. Причиной роста интенсивности отказов на данном этапе являются скрытые дефекты производственного характера.
Второй этап, или период нормальной работы, характеризуется стремлением интенсивности отказов к постоянному значению. В течение этого периода могут возникать случайные отказы, в связи с появлением внезапной концентрации нагрузки, превышающей предел прочности элемента.
Третий этап, так называемый период форсированного старения. Характеризуется возникновением износовых отказов. Дальнейшая эксплуатация элемента без его замены становится экономически не рациональной.

1.5 Средняя наработка до отказа

Средняя наработка до отказа – это средний пробег безотказной работы элемента до отказа.
Средняя наработка до отказа обозначается как L₁ и определяется по формуле (1.5):

где l_i – наработка до отказа элемента; r_i – число отказов.
Средняя наработка до отказа может быть использована для предварительного определения сроков ремонта или замены элемента.

1.6 Среднее значение параметра потока отказов

Среднее значение параметра потока отказов характеризует среднюю плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени.
Среднее значение параметра потока отказов обозначается как W _ср и определяется по формуле (1.6):

1.7 Пример расчета показателей безотказности

Исходные данные.
В течение пробега от 0 до 600 тыс. км., в локомотивном депо произведен сбор информации по отказам ТЭД. При этом количество исправных ТЭД в начале периода эксплуатации составляло N 0 = 180 шт. Суммарное количество отказавших ТЭД за анализируемый период составило ∑r(600000) = 60. Интервал пробега принять равным 100 тыс. км. При этом количество отказавших ТЭД по каждому участку составило: 2, 12, 16, 10, 14, 6.

Требуется.
Необходимо рассчитать показатели безотказности и построить их зависимости изменения во времени.

Сначала необходимо заполнить таблицу исходных данных так, как это показано в табл. 1.1.

Первоначально по уравнению (1.1) определим для каждого участка пробега величину вероятности безотказной работы. Так, для участка от 0 до 100 и от 100 до 200 тыс. км. пробега вероятность безотказной работы составит:

Далее, используя зависимость (1.2) произведем расчет вероятности отказа ТЭД.

Произведем расчет частоты отказов по уравнению (1.3).

Далее по уравнению (1.4) произведем расчет интенсивности отказов ТЭД в зависимости от наработки.
Первоначально рассчитаем среднее количество работоспособных ТЭД на участке от 0 до 100 тыс. км. пробега:

Тогда интенсивность отказов на участке 0-100 тыс.км. будет равна:

Аналогичным образом определим величину интенсивности отказов для интервала 100-200 тыс. км.

По уравнениям (1.5 и 1.6) определим среднюю наработку до отказа и среднее значение параметра потока отказов.

Систематизируем полученные результаты расчета и представим их в виде таблицы (табл. 1.2.).

Приведем характер изменения вероятности безотказной работы ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.5.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности безотказной работы примет максимальное значение – 1.

Рис. 1.5. График изменения вероятности безотказной работы в зависимости от наработки

Приведем характер изменения вероятности отказа ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.6.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности отказа примет минимальное значение – 0.

Рис. 1.6. График изменения вероятности отказа в зависимости от наработки

Приведем характер изменения частоты отказов ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.7.).

Рис. 1.7. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки

На рис. 1.8. представлена зависимость изменения интенсивности отказов от наработки.

Рис. 1.8. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки

2.1 Экспоненциальный закон распределения случайных величин

Экспоненциальный закон достаточно точно описывает надежность узлов при внезапных отказах, имеющих случайный характер. Попытки применить его для других типов и случаев отказов, особенно постепенных, вызванных износом и изменением физико-химических свойств элементов показали его недостаточную приемлемость.

Исходные данные.
В результате испытания десяти топливных насосов высокого давления получены наработки их до отказа: 400, 440, 500, 600, 670, 700, 800, 1200, 1600, 1800 ч. Предполагая, что наработка до отказа топливных насосов подчиняется экспоненциальному закону распределения.

Во-первых, определим величину средней наработки топливных насосов до отказа по уравнению:

Затем рассчитываем величину интенсивности отказов:

Величина вероятности безотказной работы топливных насосов при наработке 500 ч составит:

Вероятность отказа в промежутке между 800 и 900 ч. работы насосов составит:

2.2 Закон распределения Вэйбулла-Гнеденко

Закон распределения Вейбулла-Гнеденко получил широкое распространение и используется применительно к системам, состоящим из рядов элементов, соединенных последовательно с точки зрения обеспечения безотказности системы. Например, системы, обслуживающие дизель-генераторную установку: смазки, охлаждения, питания топливом, воздухом и т.д.

Исходные данные.
Время простоя тепловозов в неплановых ремонтах по вине вспомогательного оборудования подчиняется закону распределения Вейбулла-Гнеденко с параметрами b=2 и a=46.

Требуется.
Необходимо определить вероятность выхода тепловозов из неплановых ремонтов после 24 ч. простоя и время простоя, в течение которого работоспособность будет восстановлена с вероятностью 0,95.

Найдем вероятность восстановления работоспособности локомотива после простоя его в депо в течение суток по уравнению:

Для определения времени восстановления работоспособности локомотива с заданной величиной доверительной вероятности также используем выражение:

2.3 Закон распределения Рэлея

Закон распределения Рэлея используется в основном для анализа работы элементов, имеющих ярко выраженный эффект старения (элементы электрооборудования, различного рода уплотнения, шайбы, прокладки, изготовленные из резиновых или синтетических материалов).

Исходные данные.
Известно, что наработки контакторов до отказа по параметрам старения изоляции катушек можно описать функцией распределения Рэлея с параметром S = 260 тыс.км.

Требуется.
Для величины наработки 120 тыс.км. необходимо определить вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа катушки электромагнитного контактора.

3.1 Основное соединение элементов

Система, состоящая из нескольких независимых элементов, связанных функционально таким образом, что отказ любого из них вызывает отказ системы, отображается расчетной структурной схемой безотказной работы с последовательно соединенными событиями безотказной работы элементов.

Исходные данные.
Нерезервированная система состоит из 5 элементов. Интенсивности их отказов соответственно равны 0,00007; 0,00005; 0,00004; 0,00006; 0,00004 ч-1

Требуется.
Необходимо определить показатели надежности системы: интенсивность отказов, среднее время наработки до отказа, вероятность безотказной работы, частота отказов. Показатели надежности P(l) и a(l) получить в интервале от 0 до 1000 часов с шагом в 100 часов.

Вычислим интенсивность отказа и среднюю наработку до отказа по следующим уравнениям:

Значения вероятности безотказной работы и частоты отказов получим, используя уравнения приведенные к виду:

Результаты расчета P(l) и a(l) на интервале от 0 до 1000 часов работы представим в виде табл. 3.1.

Графическая иллюстрация P(l) и a(l) на участке до средней наработки до отказа представлена на рис. 3.1, 3.2.

Рис. 3.1. Вероятность безотказной работы системы.

Рис. 3.2. Частота отказов системы.

3.2 Резервное соединение элементов

Исходные данные.
На рис. 3.3 и 3.4 показаны две структурные схемы соединения элементов: общего (рис. 3.3) и поэлементного резервирования (рис. 3.4). Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны P1(l) = P ’1(l) = 0,95; P2(l) = P’2(l) = 0,9; P3(l) = P ’3(l) = 0,85.

Требуется.
Необходимо рассчитать надежность двух систем.

Рис. 3.3. Схема системы с общим резервированием.

Рис. 3.4. Схема системы с поэлементным резервированием.

Вероятность безотказной работы блока из трех элементов без резервирования рассчитаем по выражению:

Вероятность безотказной работы той же системы при общем резервировании (рис. 3.3) составит:

Вероятности безотказной работы каждого из трех блоков при поэлементном резервировании (рис. 3.4) будут равны:

Вероятность безотказной работы системы при поэлементном резервировании составит:

Таким образом, поэлементное резервирование дает более существенное увеличение надежности (вероятность безотказной работы возросла с 0,925 до 0,965, т.е. на 4%).

Исходные данные.
На рис. 3.5 представлена система с комбинированным соединением элементов. При этом вероятности безотказной работы элементов имеют следующие значения: P1=0,8; Р2=0,9; Р3=0,95; Р4=0,97.

Требуется.
Необходимо определить надежность системы. Также необходимо определить надежность этой же системы при условии, что резервные элементы отсутствуют.

Рис.3.5. Схема системы при комбинированном функционировании элементов.

Для расчета в исходной системе необходимо выделить основные блоки. В представленной системе их три (рис. 3.6). Далее рассчитаем надежность каждого блока в отдельности, а затем найдем надежность всей системы.

Рис. 3.6. Сблокированная схема.

Надежность системы без резервирования составит:

Таким образом, система без резервирования является на 28% менее надежной, чем система с резервированием.

Источник

Что такое вероятность безотказной работы

1. НАДЕЖНОСТЬ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В соответствии с ГОСТ 27.002-89 «Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения» надежность трактуется как свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортирования. Как видно из определения, надежность является комплексным свойством, которое в зависимости от назначения объекта и условий его пребывания может включать безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость или определенное сочетание этих свойств.

Указанные важнейшие свойства надежности характеризуют определенные технические состояния объекта. Различают пять основных видов технического состояния объектов.

Исправное состояние. Состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Неисправное состояние. Состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Работоспособное состояние. Состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Неработоспособное состояние. Состояние объекта, при котором значения хотя бы одного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Переход объекта (изделия) из одного вышестоящего технического состояния в нижестоящее обычно происходит вследствие событий: повреждений или отказов. Совокупность фактических состояний объекта, к примеру, электроустановки, и возникающих событий, способствующих переходу в новое состояние, охватывает так называемый жизненный цикл объекта, который протекает во времени и имеет определенные закономерности, изучаемые в теории надежности.

Переход объекта из исправного состояния в неисправное не связан с отказом.

В теории надежности, как правило, предполагается внезапный отказ, который характеризуется скачкообразным изменением значений одного или нескольких параметров объекта. На практике приходится анализировать и другие отказы, к примеру, ресурсный отказ, в результате которого объект приобретает предельное состояние, или эксплуатационный отказ, возникающий по причине, связанной с нарушением установленных правил или условий эксплуатации.

При расчетах и анализе надежности широко используются термины «элемент» и «система». Под элементом понимается часть сложного объекта, которая имеет самостоятельную характеристику надежности, используемую при расчетах и выполняющую определенную частную функцию в интересах сложного объекта, который по отношению к элементу представляет собой систему.

2. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

В соответствии с ГОСТ 27.002-89 для количественной оценки надежности применяются количественные показатели оценки отдельных ее свойств: безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости, а также комплексные показатели, характеризующие готовность и эффективность использования технических объектов (в частности, электроустановок).

Эти показатели позволяют проводить расчетно-аналитическую оценку количественных характеристик отдельных свойств при выборе различных схемных и конструктивных вариантов оборудования (объектов) при их разработке, испытаниях и в условиях эксплуатации. Комплексные показатели надежности используются главным образом на этапах испытаний и эксплуатации при оценке и анализе соответствия эксплуатационно-технических характеристик технических объектов (устройств) заданным требованиям.

На стадиях экспериментальной отработки, испытаний и эксплуатации, как правило, роль показателей надежности выполняют статистические оценки соответствующих вероятностных характеристик. В целях единообразия все показатели надежности, в соответствии с ГОСТ 27.002-89, определяются как вероятностные характеристики. В данном пособии отказ объекта рассматривается как случайное событие, то есть заданная структура объекта и условия его эксплуатации не определяют точно момент и место возникновения отказа. Принятие этой, более распространенной, концепции предопределяет широкое использование теории вероятностей [4, 7, 9, 11,13, 15].

2.1. Основные показатели безотказности объектов

2.1.1. Вероятность безотказной работы

(2.1)

Из определения вероятности безотказной работы видно, что эта характеристика является функцией времени, причем она является убывающей функцией и может принимать значения от 1 до 0.

График вероятности безотказной работы объекта изображен на рис. 2.1.

Как видно из графика, функция P(t) характеризует изменение надежности во времени и является достаточно наглядной оценкой. Например, на испытания поставлено 1000 образцов однотипных элементов, то есть N_o = 1000 изоляторов.

При испытании отказавшие элементы не заменялись исправными. За время t отказало 10 изоляторов. Следовательно P(t) = 0,99 и наша уверенность состоит в том, что любой изолятор из данной выборки не откажет за время t с вероятностью P(t) = 0,99.

Иногда практически целесообразно пользоваться не вероятностью безотказной работы, а вероятностью отказа Q(t). Поскольку работоспособность и отказ являются состояниями несовместимыми и противоположными, то их вероятности [4,13] связаны зависимостью:

; . (2.3)

Из [4, 13, 15] известно, что производная от вероятности отказа по времени есть плотность вероятности или дифференциальный закон распределения времени работы объекта до отказа

. (2.4)

Полученная математическая связь позволяет записать

.

Таким образом, зная плотность вероятности ¦ (t), легко найти искомую величину P(t).

На практике достаточно часто приходится определять условную вероятность безотказной работы объекта в заданном интервале времени Р (t₁, t₂) при условии, что в момент времени t₁ объект работоспособен и известны Р (t₁) и Р (t₂). На основании формулы вероятности совместного появления двух зависимых событий, определяемой произведением вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило [4, 13], запишем

, откуда

. (2.5)

По известным статистическим данным можно записать:

,

.

2.1.2. Средняя наработка до отказа

Средней наработкой до отказа называется математическое ожидание наработки объекта до первого отказа T₁.

Вероятностное определение средней наработки до отказа [13] выражается так:

Используя известную связь между f(t), Q(t) и P(t), запишем , а зная, что , получим:

+ .

Полагая, чтои учитывая, что Р(о) = 1, получаем:

. (2.6)

Таким образом, средняя наработка до отказа равна площади, образованной кривой вероятности безотказной работы P(t) и осями координат. Статистическая оценка для средней наработки до отказа определяется по формуле

2.1.3. Интенсивность отказов

. (2.8)

Статистическая оценка интенсивности отказов имеет вид :

, (2.9)

где — число отказов однотипных объектов на интервале , для которого определяется ; — число работоспособных объектов в середине интервала (см. рис. 2.2).

,

Умножив и поделив в формуле (2.10) правую часть на N_о и перейдя к предельно малому значению D t, вместо выражения (2.9), получим

где а

,

что и записано в вероятностном определении l (t), см. выражение (2.8).

Решение [13] выражения (2.8) дает:

или . (2.11)

Выражение (2.11) показывает связь l (t) и P(t). Из этой связи ясно видно, что по аналитически заданной функции l (t) легко определить P(t) и Т₁:

. (2.12)

Если при статистической оценке время эксперимента разбить на достаточно большое количество одинаковых интервалов D t за длительный срок, то результатом обработки опытных данных будет график, изображенный на рис. 2.3.

2.1.4. Средняя наработка на отказ

Средняя наработка на отказ объекта (наработка на отказ) определяется как отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к числу отказов, происшедших за суммарную наработку:

, (2.13)

2.1.5. Параметр потока отказов

Этот показатель также характеризует восстанавливаемый объект и по статистическим данным определяется с помощью формулы:

, (2.14)

Если используются данные об отказах по определенному количеству восстанавливаемых объектов, то

, (2.15)

Стационарность случайного процесса (времени возникновения отказов) означает, что на любом промежутке времени вероятность возникновения n отказов зависит только от n и величины промежутка , но не зависит от сдвига по оси времени. Следовательно, при вероятность появления n отказов по всем интервалам составит

.

Ординарность случайного процесса означает, что отказы являются событиями случайными и независимыми. Ординарность потока означает невозможность появления в один и тот же момент времени более одного отказа, то есть .

Отсутствие последствия означает, что вероятность наступления n отказов в течение промежутка не зависит от того, сколько было отказов и как они распределялись до этого промежутка. Следовательно, факт отказа любого элемента в системе не приведет к изменению характеристик (работоспособности) других элементов системы, если даже система и отказала из-за какого-то элемента.

Опыт эксплуатации сложных технических систем показывает, что отказы элементов происходят мгновенно и если старение элементов отсутствует ( l = const), то поток отказов в системе можно считать простейшим.

Случайные события, образующие простейший поток, распределены по закону Пуассона [4,13, 15]:

при n і 0 (2.16)

Если в выражении (2.16) принять n = 0, то получим — вероятность безотказной работы объекта за время t при интенсивности отказов l = const. Нетрудно доказать, что если восстанавливаемый объект при отсутствии восстановления имеет характеристику l = const, то, придавая объекту восстанавливаемость, мы обязаны записать w (t) = const; l = w [13]. Это свойство широко используется в расчетах надежности ремонтируемых устройств. В частности, в [9, 10, 14, 18, 21] важнейшие показатели надежности оборудования электроустановок даны в предположении простейших потоков отказов и восстановлений, когда и соответственно .

Источник