что такое верные цифры

Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры

Создатель теории приближенных вычислений А. Н. Крылов говорил: «При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся». Ему же принадлежат слова: «Помните, что каждая неверная цифра — это ошибка, всякая лишняя цифра — это пол-ошибки».

Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то вес его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.

Цифра десятичного разряда приближенного числа приближения называется верной, если в том же десятичном разряде чисел и стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.

Пример №45.4.

Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа .

Решение:

Поскольку , запишем диапазон возможных значений в виде двойного неравенства:

Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда — единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи и ), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.

Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.

Итак, точное число обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.

Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:

Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.

1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение будет записано следующим образом: . В этом случае граница абсолютной погрешности .

2. Если задано число , то нетрудно показать, что в записи приближенного числа 3,005 цифры 3,00 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем все его верные цифры, включая нули на конце: . Эта запись показывает, что граница абсолютной погрешности равна единице последнего разряда, т.е. 0,01. Если бы мы записали это число как , то граница абсолютной погрешности была бы равна 1, а это значительно более низкая точность, чем заданная в примере 0,01.

3. Пусть задано число . В записи приближенного числа 3005 цифры 300 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем вес его верные цифры 300, а вместо одной сомнительной цифры 5 запишем умножение на , поскольку заменяем только одну цифру. Тогда .

В науке принято записывать числа в стандартном виде, т.е. в виде , где — цифры, причем (в целой части числа стоит только одна цифра, отличная от нуля). Число в стандартном виде будет представлено как .

Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.

Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 — две значащие цифры: 1 и 2. Число — три значащие цифры: 3, 0, 0.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Верные значащие цифры. Округление чисел. Связь между числом верных знаков и погрешностью числа

Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Верные значащие цифры. Известно, что любое положительное число a может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

,

Например, в десятичной записи числа 2857,697

,

цена разряда, в котором стоит цифра 8, есть 10 3- 2 + 1 = 100; цифра 7 –

На практике обычно имеют дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби

.

Все сохраняемые десятичные знаки β_i (i = 1, 2, 3,…, n) называются значащими цифрами числа b, причем возможно, что некоторые из них равны нулю (за исключением β₁). При позиционном отображении числа b в десятичной системе счисления нередко приходится вводить лишние нули в начале или в конце числа, например

.

Такие нули (в приведенных примерах они подчеркнуты) не считаются значащими числами.

Определение 1. Значащей цифрой приближенного числа называются всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его других цифр, не причисляются к значащим цифрам.

У Данилиной А.И. [1] дается несколько иное определение. Значащими цифрами называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.

Нули в конце числа – всегда значащие цифры (в противном случае их не пишут). Например, числа 0,00207 и 54,700 имеют соответственно 3 и 5 значащих цифр.

Определение 2. n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n – й значащей цифрой (α_n), считая слева направо, т. е. выполняется неравенство

. (2)

Например, для точного числа A = 47,96 число a = 48,00 является приближением с тремя верными знаками, так как (здесь m =1; n = 3).

Если неравенство (2) не выполняется, то цифру α_n называют сомнительной.

У Копченовой Н.В. [3] приводится более простое правило определения числа верных знаков приближенного числа.

Замечание. При выполнении неравенства (2) количество верных значащих цифр понимается в узком смысле. Наряду с таким понятием используется понятие верных значащих цифр в широком смысле.

Число a является приближением точного числа A с n верными знаками в широком смысле, если абсолютная погрешность не превышает единицы десятичного разряда, в котором стоит n-я значащая цифра α_n приближенного числа, т. е. выполняется неравенство

. (3)

Например, для точного числа A = 457,9678 число a = 457,967 является приближением с шестью верными знаками, так как (здесь m =2; n = 6).

Округление чисел. Часто возникает необходимость в округлении приближенного или точного числа a, т. е. в замене его числом a₁ с меньшим количеством значащих цифр. При этом сохраняют одну или несколько цифр, считая слева направо, и отбрасывают все последующие. Число a₁ выбирают так, чтобы погрешность округления была минимальной.

Наиболее употребительными являются следующие правила округления.

1. Если отбрасываемые цифры составляет число, большее половины единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу.

2. Если отбрасываемые цифры составляет число, меньшее половины единицы последнего оставляемого разряда, то оставляемые цифры не изменяются.

3. Если отбрасываемые цифры составляет число, равное половине единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).

Примеры. Округлить до трех цифр следующие числа:

а) a = 13,8658. Согласно правилу 1, получим a₁ = 13,9;

б) a = 148,358. Согласно правилу 2, получим a₁ = 148;

в) a = 6,86500. Согласно правилу 3, получим a₁ = 6,86;

г) a = 347,50. Согласно правилу 3, получим a₁ = 348;

Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. В случаях, когда приближенное число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению. При этом руководствуются следующим практическим правилом:

При выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более чем на одну или две единицы. Окончательный результат может содержать не более чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верными.

Заметим, что абсолютная погрешность приближенного числа a₁ после округления складывается из абсолютной погрешности числа a и погрешности округления

.

Связь между числом верных знаков и относительной погрешностью приближенного числа. Устанавливается на основе следующей теоремы (доказательство приведено в [2, с. 25-27]).

Теорема. Если положительное приближенное число a имеет n верных цифр в узком смысле, то относительная погрешность δ этого числа не превосходит , деленную на первую значащую цифру α₁ данного числа,

т. е. .

Из этой теоремы вытекают два следствия.

Следствие 1. За предельную относительную погрешность числа a можно принять:

, (4)

Следствие 2. Если число a имеет больше двух верных цифр т. е. n ≥ 2, то справедлива формула

. (5)

Замечание. Если приближенное число a имеет n верных цифр в широком смысле, то оценки (4) и (5) следует увеличить в два раза.

Пример 1. Какова относительная погрешность, если вместо числа π взять число a = 3,14?

Решение. В данном примере α₁ = 3 и n = 3. Следовательно

.

Пример 2. Сколько десятичных знаков взять при вычислении с относительной погрешностью 0,1%?

Вышеприведенная теорема дает возможность по числу верных знаков приближенного числа

(6)

определить его относительную погрешность δ.

Из формулы относительной погрешности имеем

. (7)

Учитывая старший десятичный разряд Δ_a, легко установить количество верных знаков данного приближенного числа a. В частности, если

,

то из формул (6) и (7) находим

,

т. е. число a имеет n верных цифр в широком смысле. Аналогично, если

,

То число a имеет n верных цифр в узком смысле.

Пример 3. Приближенное число a = 24253 имеет относительную точность 1%. Сколько в нем верных цифр?

3. Погрешности суммы и разности. Потеря точности при вычитании близких чисел [1]

Погрешность суммы. Рассмотрим точные числа A₁, A₂,…, A_n и их приближенные значения a₁, a₂,…, a_n. Пусть — сумма всех точных чисел, а — сумма их приближенных значений и известны абсолютные погрешности , ,…, всех приближенных чисел. Необходимо оценить абсолютную погрешность суммы приближенных чисел.

.

Переходя к абсолютным величинам правой и левой частей записанного выражения и используя свойство абсолютных величин, получим

, т. е.

. (8)

Следствие. За абсолютную погрешность алгебраической суммы приближенных чисел можно принять сумму абсолютных погрешностей этих чисел

. (9)

Из последней формулы следует, абсолютная погрешность суммы не может быть меньше абсолютной погрешности наименее точного слагаемого. Поэтому не имеет смысла сохранять излишние знаки и в более точных слагаемых. Отсюда при сложении чисел различной абсолютной точности поступают следующим образом:

1) выделяют число (или числа), имеющее наибольшую абсолютную погрешность;

2) остальные числа округляют по образцу выделенных, сохраняя один запасной десятичный знак;

3) производят сложение чисел, учитывая все сохраненных знаки;

4) полученный результат округляют на один знак.

Пример. Найти сумму приближенных чисел: 345,4; 0,348; 0,1834; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354, каждое из которых имеет все верные значащие цифры (в широком смысле).

Решение. 1) Выделяем числа наименьшей точности 345, 4 и 235,2, абсолютная погрешность которых может достигать 0,1.

2) Округляем остальные числа с точностью до 0,01: 0,35; 0,18; …;

3) Выполняя суммирование всех полученных чисел, получим

Округляя результат до 0,1 по правилу четной цифры, находим приближенное значение суммы 602,2.

Полная погрешность Δ результата складывается из трех слагаемых:

1) суммы погрешностей исходных данных

Дата добавления: 2019-01-14 ; просмотров: 1033 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

1. Теория погрешностей

Как правило, методами вычислительной математики строится приближенное решение задачи, поэтому возникает вопрос об оценке погрешности. То есть насколько сильно найденное нами приближенное решение отличается от точного решения.

Основной вопрос вычислительной математики – это вопрос о погрешности полученного числового результата.

В процессе решения задач вычислительной математики возникают следующие погрешности:

погрешность математической модели и погрешность исходных данных;

погрешность численного метода;

погрешность вычислений на ЭВМ.

Рекомендуемая литература: /3,5,6/.

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного числа a₀ и заменяющее его в расчетах. Модуль разности между ними: – погрешность приближенного числа a.

Отметим, что число a₀ нам не известно и погрешность приближенного числа мы вычислить не можем. Для оценки погрешности вводятся абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью приближенного числа a называется величина Da, удовлетворяющая неравенству .

Относительной погрешностью da приближенного числа a называется отношение абсолютной погрешности Da к абсолютной величине числа a, то есть:

.

Относительная погрешность обычно выражается в процентах: da´100 %.

Абсолютная и относительная погрешности указываются в записи чисел следующим образом: .

x = 3.14 (1 ± 0.005%).

1.2. Верные значащие цифры числа

Значащие цифры десятичного числа – это все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.

x = 0.002036, цифры 2036 являются значащими;

x = 2270000, все цифры этого числа являются значащими.

Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.

Определить, сколько верных значащих цифр содержит число:

x = 0.002306 ± 0.00001.

Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел:

x = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001.

Третья значащая цифра (0) не может быть верной, так как она одного порядка с погрешностью. Верными могут быть цифры, которые стоят перед ней (2, 3). Цифра 3 будет верной, если Dx £ 0.00005. В нашем случае это условие выполнено, следовательно, 2, 3 – верные значащие цифры.

Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными.

В числе x = 1.121 три верные значащие цифры (1, 1, 2) и одна сомнительная (1).

x = 0.002306 ± 0.00007;

В числе x = 0.002306 одна верная значащая цифра (2), три сомнительные (3, 0, 6).

В числе x = 12.3 три значащие цифры, две верные значащие цифры (1, 2), одна сомнительная (3).

В числе x = 12.3 одна верная значащая цифра (1), две сомнительные (2, 3).

При записи абсолютной и относительной погрешностей используют, как правило, одну-две значащие цифры. Приближенные числа принято записывать следующим образом: сначала записывают все верные значащие цифры, затем одну-две сомнительные. То есть в записи приближенного числа, как правило, число значащих цифр на одну-две больше, чем число верных значащих цифр.

Практическое правило. Одна верная значащая цифра в записи числа соответствует приблизительно относительной погрешности 10 %. И наоборот, относительная погрешность 10 % соответствует приблизительно одной верной значащей цифре. Две верные значащие цифры соответствуют относительной погрешности 1 %, три верные значащие цифры – относительной погрешности 0.1 %.

1.3. Особенности математических вычислений на ЭВМ

ЭВМ – это машина с конечной памятью, состоящей из слов конечной длины. Возникает проблема представления бесконечного множества чисел конечным множеством чисел, представимых в ЭВМ.

Источник