что такое секущая в треугольнике
Свойство секущих
Теорема
Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.
Дано : окружность (O; R), AB и AC — секущие,
AB∩окр. (O; R)=F, AC∩окр. (O; R)=K
Рассмотрим треугольники ABK и ACF.
∠ABK=∠ACF (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу FK).
Следовательно, треугольники ABK и ACF подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
По основному свойству пропорции:
Что и требовалось доказать.
II способ
1) Проведём отрезки FK и BC.
2) Так как четырёхугольник BFKC — вписанный в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180º:
∠BCK+∠BFK=180º. Следовательно, ∠BFK=180º-∠BCK.
3) ∠AFK+∠BFK=180º (как смежные). Отсюда,
4) Рассмотрим треугольники ABC и AKF.
У них ∠ACB=∠AFK (так как ∠AFK=∠BCK по доказанному), ∠A — общий угол. Следовательно, треугольники ABC и AKF — подобны (по двум углам).
При решении задач будем использовать свойство секущих, а также запомним полученные в ходе доказательства теоремы факты о подобии треугольников, образованных секущими. Причем подобие треугольников ABC и AKF можно доказывать как приведённым выше способом, так и опираясь на свойство секущих.
Основные факты о треугольниках
Определения
Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) включительно.
Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.
Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.
Теорема
Определения
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.
Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.
Теоремы: признаки равенства треугольников
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Определение
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Замечание
Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).
Теорема
В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).
Определение
Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Замечание
Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.
Аксиома параллельных прямых
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы
1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.
2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Теоремы: признаки параллельности прямых
Теоремы: свойства параллельных прямых
1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Определения
Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.
Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).
Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).
Теорема
Доказательство
Определение
Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.
Теорема
Доказательство
Определения
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство
Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство
Теоремы: признаки равнобедренного треугольника
1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.
2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Теорема: неравенство треугольника
В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.
Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.
Определения
В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.
Теоремы: свойства прямоугольного треугольника
Подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ, как правило, начинается с повторения базовой теории по планиметрии, в том числе и по теме «Треугольники». Знакомство учащихся с этим разделом геометрии начинается еще в средней школе. Неудивительно, что потребность в повторении основных правил и теории по теме «Треугольник» возникает у многих выпускников. При этом решать планиметрические задачи обязательно должны уметь все учащиеся. Подобные задания включены как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Разобравшись с теорией и практическими упражнениями, в том числе и на вычисление вертикальных углов треугольника, старшеклассники смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»
Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой теории по геометрии о треугольниках. Школьных учебников в нужный момент может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда оказывается достаточно сложно даже в Интернете.
Вместе с образовательным порталом «Школково» выпускники смогут качественно подготовиться к сдаче аттестационного испытания. Вся базовая теория о равнобедренных и прямоугольных треугольниках систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом богатого опыта в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, школьники смогут вспомнить материал, который вызывает определенные затруднения.
Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, учащимся, проживающим в Москве и других городах России, необходимо не только повторить теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, но и попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Задачи по данной теме вы можете найти в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Последовательно выполняя простые и более сложные упражнения по данной теме, учащиеся смогут научиться применять на практике теоремы равенства треугольников и другую теорию, которую необходимо усвоить при подготовке к ЕГЭ. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.
Попрактиковаться в решении задач, в которых применяется теория смежных углов и другие теоремы, школьники могут в режиме онлайн.
По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, выпускник может в дальнейшем вернуться к заданию, которое вызвало затруднения, и обсудить алгоритм его решения с преподавателем.
Секущая прямая
Секущая — это прямая, которая на некотором участке пересекает в двух точках данную кривую.
Путём приближения из секущей можно получить касательную в некоторой точке P. Если секущая определяется двумя точками пересечения с данной кривой, P и Q, где положение точки P фиксировано, а положение точки Q может изменяться, то по мере того, как точка Q приближается к точке P вдоль кривой, направление секущей приближается к направлению касательной в точке P (считаем, что первая производная кривой является непрерывной в точке P, и поэтому существует только одна касательная в этой точке). Можно сказать, что по мере того, как точка Q приближается к P, наклон секущей, или направление, в пределе приближается к наклону касательной. Эта идея является основой для геометрического определения производной.
Хорда — это участок секущей, который лежит между двумя точками пересечения с кривой.
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Секущая прямая» в других словарях:
секущая — прямая Словарь русских синонимов. секущая сущ., кол во синонимов: 1 • прямая (6) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
прямая — биссектриса, параллель, линия, секущая, хорда, директриса Словарь русских синонимов. прямая сущ., кол во синонимов: 6 • биссектриса (3) • … Словарь синонимов
СЕКУЩАЯ — СЕКУЩАЯ, ей, жен. В математике: прямая, пересекающая кривую. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
СЕКУЩАЯ — всякая прямая, имеющая с кривой линией по меньшей мере две общие точки. Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром … Большая политехническая энциклопедия
Секущая — ж. Прямая линия, пересекающая кривую в двух или более точках. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
секущая — ой; ж. Матем. Прямая, пересекающая кривую в двух или более точках … Энциклопедический словарь
секущая — ой; ж.; матем. Прямая, пересекающая кривую в двух или более точках … Словарь многих выражений
Секанс — [лат. secans, здесь секущая (прямая); от seco режу, рассекаю], одна из тригонометрических функций (См. Тригонометрические функции); обозначение sec. В прямоугольном треугольнике С. острого угла называют отношение гипотенузы к катету,… … Большая советская энциклопедия
СЕКАНС — [лат. secans, здесь: секущая (прямая), от seco режу, рассекаю] одна из тригонометрических функций … Большой энциклопедический политехнический словарь
Касательная — прямая, с которою стремится совпасть секущая, проведенная через две точки на произвольной кривой по мере сближения этих точек. Математическая теория К. имеет весьма важное значение (см. Дифференциальное исчисление). Точка, через которую к кривой… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Свойства касательных, секущих и хорд окружности. Радикальная ось
Факт 1.
\(\bullet\) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Факт 2.
\(\bullet\) Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Факт 3.
\(\bullet\) Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
Факт 4.
\(\bullet\) Если \(OK\) – касательная к окружности, где \(K\) – точка касания, \(OB\) – секущая, \(A\) и \(B\) – точки пересечения с окружностью, то
Факт 5.
\(\bullet\) Если \(OA\) и \(OB\) – секущие к окружности, пересекающие повторно окружность в точках \(B_1\) и \(A_1\) соответственно, то
Факт 6.
\(\bullet\) При пересечении хорд в окружности образуются две пары подобных треугольников.
Факт 7.
\(\bullet\) Радикальная ось \(AB\) перпендикулярна линии \(MN\) центров двух пересекающихся окружностей.
\(\bullet\) Отрезки \(OK_1, OK_2, OK_3, OK_4\) касательных, проведенных из точки \(O\in AB\) к обеим окружностям, равны.
Хорда, секущая, касательная
Определения
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
Свойства
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением: 
Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: 
Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки: 
Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов Видеодоказательство
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя: