Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:
O — центр круга, OA — радиус круга.
Площадь круга
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
где S — площадь круга, а r — радиус круга.
Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
D = 2r, значит r =
D
.
2
Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:
S = π(
D
) 2 = π
D 2
= π
D 2
.
2
2 2
4
Сектор круга. Площадь сектора
Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:
Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.
Формула площади сектора:
S =
πr 2
· n =
πr 2 n
,
360
360
где S — площадь сектора. Выражение
можно представить в виде произведения
πr 2 n
= n ·
πr
·
r
,
360
180
2
где
nπr
— это длина дуги сектора.
180
Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:
где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.
Сегмент. Площадь сегмента
Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:
Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.
Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:
где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.
Изучая плоские геометрические фигуры, необходимо четко понимать все определения того или иного обозначения. Правильное их представление позволит быстро и правильно освоить предлагаемые азы теории. И так окунемся в его мир.
• Часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой окружности, проведенной из одной точки радиуса в другую, будем называть сектором. • Часть круга, которая ограничена дугой окружности, проведенной из одной точки хорды в другую, будем называть сегментом.
Сектор окружности и его сегмент изображены на 1-ом рисунке, где r – радиус; l – длина дуги; a – хорда; α – центральный угол (в градусах); h – стрела сегмента; S – площадь сектора; S1 – площадь сегмента
a = 2√(2hr – h²) = 2r sin α/2 h = r – √(r² – a²/4) = r(1 – cos α/2) = a/2 tg α/4 l = 2πrα/360 ≈ 0.01745rα S = πr²/360 S1 = r²/2 (2πα/180 – sin α) = ½ (lr – a(r – h))
Круговое кольцо изображено на 2-ом рисунке, где D – внутренний диаметр; d – внешний диаметр; R – внешний радиус; R – внутренний ралиус; ρ – средний радиус; δ – толщина кольца; S – площадь кольца; S1 – площадь части кольца заштрихованной поверхности
D = 2R d = 2r ρ = ½(R + r) δ = R – r S = π(R² – r²) = π(D² – d²)/4 = 2πρδ S1 = φπ(R² – r²)/360 = φπ(D² – d²)/180 = φπρδ/180
Надеемся, что полученная информация пригодится в решении различных задач и вопросов.
Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Основные определения и свойства. Число π
Формулы для площади круга и его частей
Формулы для длины окружности и ее дуг
Площадь круга
Длина окружности
Длина дуги
Площадь сектора
Площадь сегмента
Основные определения и свойства
Фигура
Рисунок
Определения и свойства
Окружность
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
Числовая характеристика
Рисунок
Формула
Площадь круга
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Площадь сектора
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь сегмента
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Формулы для длины окружности и её дуг
Числовая характеристика
Рисунок
Формула
Длина окружности
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Длина дуги
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь круга
Длина окружности
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сектора
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра окружности). Другими словами – это замкнутая линия, длину которой можно измерить.
На рисунке центр окружности обозначен точкой О. Определения
Радиус – расстояние от центра до любой точки окружности. На рисунке радиус обозначен АО. Все радиусы одной окружности равны. Радиус можно обозначать латинскими буквами R или r.
Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. На рисунке диаметр обозначен АВ. Все диаметры одной окружности равны. В одном диаметре содержится два радиуса. Диаметр обозначается буквой d.
Свойство хорд
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Так, на рисунке показаны две пересекающиеся хорды, одна состоит из отрезков a и b, вторая из отрезков d и с, следовательно, ab=dс.
Длина окружности
Длину окружности можно вычислить по формуле:
C=2πR, где π=3,14.
Дуга – часть окружности, которая соединяет две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например, дуги CD (малая и большая). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Обозначается дуга значком ∪АВ.
Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент
Из точки, не лежащей на окружности можно провести касательную – прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рисунок 4).
Свойства касательной
На рисунке видно, что АХ=ВХ, угол АХО равен углу ВХО.
Угол АВС (образован касательной АВ и хордой ВС) равен половине дуги m.
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг – это всё, что находится внутри окружности.
Площадь круга вычисляется по формуле:
Сектор и его площадь
Сектор – область круга, ограниченная двумя радиусами. На рисунке сектор выделен сиреневым цветом, он ограничен радиусами ОА и ОВ.
Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:
Сегмент – это область круга, ограниченная хордой и дугой. На рисунке сегмент выделен сиреневым цветом. Также можно сказать, что это часть круга, отсекаемая от него хордой. На рисунке видно, как
сектор — а, м. secteur m.,< лат. sector. 1. мат. Сектор или пропорциональный циркуль; есть орудие из двух пальмового дерева или кости, медных, либо серебреных линеек, двумя концами своими соединенных имеет шарньером, и свободно около цилиндрического… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
СЕКТОР — (лат. sector, от secare отделять, рассекать). В геометрии: часть круга, заключающаяся между двумя радиусами и дугою. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. СЕКТОР в геометрии: часть круга, ограниченная… … Словарь иностранных слов русского языка
СЕКТОР — СЕКТОР, сектора, мн. секторы (сектора неол. прост.), муж. (лат. sector, букв. рассекатель). 1. Часть площади криволинейной фигуры, ограниченная двумя прямыми, исходящими из одной точки внутри фигуры, и дугой между ними; преим. Часть круга между… … Толковый словарь Ушакова
СЕКТОР — (sector) Часть экономики. Сектора в экономике могут быть определены различными способами. Например, во главу угла ставится организация, осуществляющая затраты. Таким образом, экономика разделяется на государственный (общественный) сектор, который … Экономический словарь
СЕКТОР — (позднелат. sector от лат. seco разрезаю, разделяю),1) четко выраженная составная Часть.2) Часть народного хозяйства, имеющая определенные экономические и социальные признаки (напр., обобществленный сектор в противоположность частному).3) Участок … Большой Энциклопедический словарь
Сектор — Сектор, на который распространяются налоговые льготы в США рынок муниципальных облигаций, используемый властями штатов и для пополнения своих средств. Облигации, выпускаемые в таком секторе, не облагаются федеральным подоходным налогом. По… … Финансовый словарь
сектор — квадрант, директриса Словарь русских синонимов. сектор сущ., кол во синонимов: 13 • агросектор (1) • … Словарь синонимов
Сектор 13 — 13. Сектор Les Jardins D Ete Большая часть сектора освещена солнцем с 11 до 17 часов. Номер маршрута Наименование маршрута Информация по маршруту Максимальная cложность лазания Вид спуска 1 CK Petite Arbre два участка по 30 метров, 7/7 оттяжек 4b … Энциклопедия туриста
СЕКТОР — (1) круговой часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой круга; (2) плоской фигуры часть этой фигуры, ограниченная двумя лучами, исходящими из внутренней точки, и дугой контура; (3) пространственной фигуры часть этой фигуры, ограниченная… … Большая политехническая энциклопедия
СЕКТОР — СЕКТОР, а, мн. ы, ов и а, ов, муж. 1. В математике: часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами. 2. Участок, ограниченный радиальными линиями. С. стадиона. С. обстрела. 3. Отдел учреждения, организации. С. учёта. Словарный с. 4. Отрасль,… … Толковый словарь Ожегова
Основные определения и свойства. Число π
,
,
,
,
,
,
Определения
