что такое ротор и дивергенция простыми словами

Градиент, дивергенция, ротор — три всадника векторного анализа

Старик Эйнштейн говорил: всё относительно. Авторы не уверены, что он правда так говорил, но это совершенно неважно. Что делать, если мы все же хотим записать какой-нибудь физический закон так, чтобы запись не зависела от системы отсчета?

Этим вопросом занимается векторный анализ. Читайте про три основные векторные операции в нашей статье!

Научим, как отличить опасную воронку на речке от неопасной, если у вас есть листочек, калькулятор и умение брать производные! Расскажем стопроцентный способ оценить, сможете ли вы взобраться на крутую гору или же надо идти на подъемник! Также у нас есть дрель (для настоящих мужиков), садовый шланг (если вы с села) и как минимум одна тёлка!

Статья будет полезна не только страшеклассникам и студентам младших курсов, но и любопытным людям, потому что авторы снабдили изложение большим количеством интуитивных примеров.

Введение

Векторный анализ по долгу своей службы работает с полями, но не злаковыми, а особенными — скалярными и векторными. Скалярное поле — это пространство, где в каждой точке известно число (скаляр). Векторное поле отличается от скалярного тем, что в каждой точке известен вектор. Скалярные и векторные поля — рабочие пространства для физических теорий.

Скалярным полем будет любой рельеф местности. В каждой точке мы можем узнать число — высоту точки относительно уровня моря. Это двумерное поле, потому что точки, в которых мы хотим узнать высоту, находятся на плоскости.

Векторным полем пользуются физики в том числе в гидродинамике. В каждой точке воздушного (или водного) потока мы знаем скорость частички воздуха в этот момент времени. Скорость — величина векторная: важно знать и её величину, и направление. Стрелочки-векторы показывают направление течения воздуха (или жидкости). Это трёхмерное поле.

Изучать физические поля трудно, потому что расчёты необходимо проводить в какой-нибудь системе координат. Вспомните, что скорость тела зависит от скорости наблюдателя, а величины различных компонент — от направления координатных осей. Выбор систем координат накладывает отпечаток на производимые расчёты. Попробуем проиллюстрировать это на примере следующей задачи.

Не скажем точно, что в ней дано, но суть вот: человек (№1), едущий вниз по эскалатору, подбрасывает точно вверх шарик. Человек №1 замеряет время, за которое шарик достигнет наивысшей точки траектории. А если время будет засекать еще и человек (№2), проезжающий мимо вверх на соседнем эскалаторе? Оказывается, времена достижения шариком наивысшей точки для людей №1 и №2 будут разными. Действительно: по условию в системе отсчета №1 шарик летит точно вверх, а значит, если на все это безобразие посмотреть из СО человека №2, шарик начнет двигаться под углом к горизонту. Отметим, что при переходе из СО №1 в СО №2 меняются и вертикальная, и горизонтальная составляющие скорости шарика.

Физической теории зависеть от произвольно выбираемой системы координат непристойно. Проще иметь запись общего физического закона в независимом виде, а уже потом записывать его в любой удобной системе координат. Размышляя похожим образом, физики в середине XIX века придумали векторную запись уравнений. Рецепт «запиши закон, а потом распиши его по удобным осям» оказался очень удобен.

Всё прекрасно, пока нам не захочется узнать, как меняется векторное поле в пространстве: как поворачиваются стрелочки, как они вытягиваются и уменьшаются. Всё сводится к взятию производных — величин, которые показывают, с какой скоростью меняется рельеф местности или компоненты скорости в пространстве. Здесь надо понимать, что взятая производная — это скорость изменения величины вдоль направления оси. Но направление оси — это часть системы координат. Производная скалярного поля — это три величины (производные числа по каждой из трех осей), производная векторного поля — девять чисел (для каждого из трех компонент вектора — три производные по каждой из осей). Неудобно работать с девятью производными сразу, ведь они меняются как попало при смене системы координат. Здесь становится ясно, что одной только производной для составления независимых величин маловато. А если найти такие комбинации производных, которые бы не зависели от выбора системы координат? Да, как вы догадываетесь — это градиент, дивергенция и ротор. С помощью них можно в независимом виде записать законы, в которых участвуют физические поля. Развитие идей независимости от систем координат привело к созданию эйнштейновской общей теории относительности (ОТО). Не зря же она называется теория относительности.

Градиент

Начнем с самого простого — с операции «градиент». Эта операция применяется к скалярному полю, а в результате дает векторное поле.

Молодой человек из зала кричит, что эту операцию можно применить и к векторному полю, тогда мы получим тензор. Материться у нас запрещено, поэтому мужчина покидает зал.

Пусть наше поле — A. Тогда эта операция обозначается grad(A) или даже просто gradA.

Начнем с рецепта, как «готовить» градиент. Берем поле А. Берем от него производные по x-координате, y-координате и z-координате. Затем каждую производную домножаем на единичный вектор, соответствующий нужной оси. Три получившихся вектора — складываем.

У любого нормального человека встает вопрос — зачем, а главное — для чего? Тезисно перечислим, чем хороша именно эта комбинация производных и орт.

Орт — это вектор, имеющий единичную длину и направленный вдоль координатной оси.

1) Это — инвариант. То есть результат не зависит от того, в какой системе координат мы работаем. Grad(A) — векторное поле, то есть множество стрелок с длиной и направлением. Если мы будем изменять систему координат, сами стрелки не изменятся. Изменятся координаты этих стрелок в новой системе координат, но тут уж ничего не сделать. Но — повторю еще раз: вектора, как объекты, останутся неизменными.

2) В каждой точке grad(A) показывает направление наибольшего роста поля А. Объясняю. Представьте себе гору. Мы уже говорили, что поверхность — это скалярное поле, ведь каждой точке Земли соответствует величина, называемая высотой местности. Для простоты можно сделать вид, что Земля плоская. Смеяться не надо, так действительно легче представлять.

Итак, гора — это скалярное поле высот, назовем его опять А. Пускай мы стоим в какой-то точке на склоне горы. «Приготовим» градиент скалярного поля А по рецепту выше. Теперь каждой точке горы соответствует какая-то стрелка. Оказывается, что в каждой точке горы эта стрелка указывает направление, в котором гора быстрее всего меняет высоту.

На картинке я для нескольких характерных точек показал те самые «стрелочки».

Длина векторов это не случайный параметр и не моё видение перспективы, она тоже имеет смысл.

3) Модуль градиента в каждой точке пропорционален быстроте изменения поля А в направлении, куда этот градиент направлен. Поэтому-то, например, левая нижняя стрелка — длинная, там обрыв, быстрое изменение высоты. Стрелки на склонах дальней горы — поменьше, ведь там, судя по всему, высота меняется более плавно. На гребне же стрелки совсем маленькие, потому что там перепад высот мал.

Давайте «на пальцах» поймем последние два пункта.

Что есть производная поля А по оси x в данной точке? Это скорость изменения этого поля в направлении оси x. Если домножим на соответствующий этой оси вектор, то получим стрелку, которая параллельна оси x и длина которой пропорциональна скорости изменения поля вдоль этой оси. Выходит, что, векторным образом сложив три таких вектора, мы получим вектор, который несет в себе информацию о изменении вдоль каждой оси, и более того — он смотрит ровно туда, где поле А терпит самые быстрые изменения. В Беларусь.

Картинка и описание — Википедия.

Вообще как бы мы не хотели это признавать, но Википедия нормально пишет о векторных операциях. Почитайте, там все понятно и с крутыми картинками.

Операция градиента оказывается полезной для записи многих физических законов или для представления уравнений, связывающих величины.

Например, для электростатического поля, которое характеризуется силовой характеристикой — напряженностью Е и энергетической характеристикой — потенциалом фи, справедливо:

То есть вектор напряженности Е направлен туда, где потенциал меняется круче всего. Модуль E тем больше, чем быстрее этот потенциал меняется.

В случае, если сила F — консервативная сила (например, сила тяжести), то сила, действующая на тело, и потенциальная энергия тела U связаны похожим образом:

«Прочтение» у этой формулы точно такое же, как и у предыдущей.

Например, все знают, что потенциальная энергия тела в гравитационном поле вблизи поверхности Земли — это эм-же-аш. Получается, что потенциал U меняется только по высоте, причем растет он вверх. Значит, градиент тоже направлен вверх, а сила из-за минуса в формуле — вниз.

Интересно, если бы минуса в формуле не было и сила смотрела вверх, бутерброды все равно прилеплялись бы к потолку маслом.

Дивергенция

Первая операция, которая осуществляет преобразование векторного поля в скалярное. Можно представить себе машинку, которая переводит стрелочки в числа.

Молодой человек кричит из дверей, что это просто свёртка тензора производных векторного поля. А затем неприятно хихикая убегает.

Посчитать дивергенцию просто: необходимо взять производную иксовой компоненты по x, игрековую по y, зетовую по z, а потом всё сложить.

1) Результат вычислений не будет зависеть от системы координат. Отдельные производные будут меняться при смене системы координат, но всё так подстроено, что результат не изменится.

Физический смысл мы считаем необходимым объяснить более детально, чем в предыдущей операции. Введём новую сущность — поток векторного поля через площадку.

Почему же эта величина называется потоком? Вернёмся к нашей водной аналогии, где векторное поле представляет собой множество скоростей точек жидкости. Эти стрелочки указывают направление течений. Представьте, что мы обзавелись плоской рамкой, которая измеряет пройденный через себя объём жидкости за единицу времени. Этот объём будет тем больше, чем больше скорость жидкости и площадь рамки. Также озаботимся, чтобы у нашей рамки был определён единичный перпендикуляр к плоскости с направлением (такой вектор называется нормалью), который бы фиксировал:

Теперь возьмём замкнутую поверхность, которую разделим на конечное или бесконечное количество таких рамок-площадок с нормалями, торчащими наружу.

Погрузим эту поверхность в векторное поле и заставим замерять объёмы втекаемой и вытекаемой жидкости. Поскольку жидкость у нас считается несжимаемой, то мы ожидаем, что поток несжимаемой жидкости через замкнутую поверхность будет равен нулю. Сколько втекает, столько и вытекает. А если втекает больше, чем вытекает? Значит, внутри области находятся точки, которые расходуют жидкость.

Вспоминается известный анекдот, в котором салат с уснувшим в нём человеком постепенно уменьшался. Вам, конечно, делать вывод о силе голода при похмелье, но здесь определённо есть источник поглощения салата.

Чаще всего имеет смысл говорить о протяжённых источниках испускания или стока векторного поля (то есть не в одной и не в каком-то множестве изолированных точек). Чтобы проверить каждую точку на наличие в ней источников, будем производить следующую операцию. Мы будем окружать точку постоянно уменьшающимися областями. Вычисляем поток через них и делим на объём. В конце концов мы перейдём к пределу и получим дивергенцию (крайне не советую её так считать). Это называется инвариантным определением дивергенции, так как оно не использует в своём определении вещи, которые зависят от выбранной системы координат. А теперь главное.

2) Дивергенция характеризует плотность источников поля в данной точке.

Приведём парочку примеров из классики.

Силовые линии электростатического поля всегда незамкнуты: начинаются на положительных зарядах (или на бесконечности) и заканчиваются на отрицательных зарядах (или на бесконечности).

Переводя на наш язык: источниками электростатического поля являются положительные заряды, а стоками — отрицательные. Из всего этого пишется уравнение Максвелла, которое утверждает, что источниками электрического поля являются только электрические заряды.

Это уравнение следует читать так. Каждая точка пространства источает количество поля Е, пропорциональное плотности заряда в этой точке.

Магнитные силовые линии нигде не начинаются и не заканчиваются. Такие поля называются вихревыми.

Существует распространённый миф, что магнитные линии обязательно должны быть замкнутыми, но это не так: линии не должны иметь начала и конца. Согласитесь, что быть замкнутыми им при этом совершенно не обязательно. Отсутствие источников поля и постулирует очередное уравнение Максвелла.

По аналогии с «прочтением» предыдущего уравнения, это следует читать так: никакая точка пространства не может источать магнитную индукцию.

Ротор

Ротор — это операция, которая переводит векторное поле в другое векторное поле. Как его считать и зачем он нужен — давайте разбираться.

Ротор векторного поля A есть по определению вот такое страшное выражение:

В этом определении на самом деле есть закономерность, ее легко увидеть, если прийти к понятию ротора при изучении криволинейных интегралов, а именно — формулы Стокса. Мы же сейчас не про это, поэтому давайте я расскажу про альтернативный путь, каким можно прийти к ротору.

Обратите внимание! Сейчас будет чуть больше математики, чем было в предыдущих разделах статьи. Больно не будет, мы все понятно объясним, а вы сможете подивиться красоте матанализа:) Если математика все же вас сильно пугает, просто чуть-чуть пролистайте до следующего заголовка.

Оператор набла.

А давайте прикол покажу. Сейчас сделаем укуренный вектор, такой, что в координатах у него стоят не числа, а операции:

По каждой из координат мы поставили операцию (или оператор) дифференцирования по этой координате. Ну а что? Можно такой вектор сложить с другим? — Можно. Можно умножить на число? — можно. Официально получившийся векторный оператор называется «оператор Гамильтона», но все его называют «наблой».

Нет, тот мужчина совершенно несносен. Он кричит нам в окно, что оператор набла можно даже возводить в степени. Что оператор набла в квадрате, например, есть оператор Лапласа. Мужик, свали, а?

Этот странный на первый взгляд объект пригождается для записи сложных векторных операций. Смотрите, если наблой подействовать на скалярное поле А, получится градиент:

Если им скалярно подействовать на векторное поле, получается дивергенция этого поля. Мы как будто бы скалярно умножаем два вектора:

Ну раз мы скалярно умножили наблу на A и получили что-то интересное, давайте посмотрим, что будет, если проделать векторное умножение.

Напоминаю, что векторное произведение двух векторов А и В — это такая штуковина:

Оп-па. Так если умножить наблу векторно на векторное поле А, получится в точности то, что мы написали в первом определении ротора!

*занудным голосом* читателю предоставляется самостоятельно проверить, что данное выше определение в точности соответствует определению, данному в начале параграфа.

Вот для этого-то мы и вводили оператор набла. С его помощью становится понятно, что ротор — это логичное продолжение идей дивергенции и градиента:

Физический смысл ротора.

Вернёмся к уже родной водной аналогии. Но если в прошлый раз у нас была помощником рамка-счётчик на воду, то в этот раз мы купим в цветочном магазине замкнутую тонкую резиновую трубку. Насколько тонкую? Ровно настолько, чтобы изменения векторов в поперечнике были несущественны. Выберем для рассмотрения кусок пространства нашей жидкости.

Потом поместим в кусок жидкости нашу трубку (пока мы её не материализовали).

А теперь неожиданно заморозим всю жидкость в пространстве кроме содержимого трубки. Жидкость в трубке начнёт циркулировать. Нас будет интересовать скорость установившегося движения с учётом направления циркуляции. Договоримся, что положительно направление против часовой стрелки (на рисунке скорость течения отрицательна).

Скорость течения складывается из импульсов жидкости, толкающих её в положительном и отрицательном направлениях вдоль трубки. Произведение итоговой скорости на длину трубки мы назовём циркуляцией векторного поля. Эта величина показывает насколько согласованно и активно векторное поле заставляет циркулировать жидкость вдоль замкнутой кривой.

Вычислим отношение циркуляции к площади, охватываемой трубкой. Это подготовка к вычислению ротора — недоротор.

Выберем в охватываемой области точку, и будем стягивать вокруг неё постоянно уменьшающиеся замкнутые трубки тока, вычисляя недороторы. Перейдя к пределу, мы получим… Ротор? Нет, лучше — проекцию ротора на нормаль к плоскости трубки (ротор — вектор).

Нормаль — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости трубки (при выбранном направлении обхода нормаль направлена на нас).

Далее будем по-разному наклонять площадки и вычислять проекции ротора. В конце концов найдётся такое направление, когда проекция ротора станет максимальна. Это и будет направлением ротора, а вычисляемая проекция — модулем ротора. Описанное выше определение называется инвариантным определением ротора.

Зафиксируем наше достижение. Ротор — направление наилучшего вращения векторного поля в данной точке. Модуль ротора показывает, насколько активно циркулирует поле в малой области вокруг точки.

Покажем на примере. Вы закручиваете саморез при помощи шуруповёрта. Векторное поле — скорости движения различных точек механизма. Саморез (чёрная стрелочка) показывает направление ротора, а скорость вхождения пропорциональна модулю ротора.

Крайне советуем также ознакомиться с примером из все той же Википедии.

Итак, ротор векторного поля A, вычисленный в заданной точке, показывает, насколько в этой точке поле А закручено. Ротор — мера завихрённости.

Перейдем к примерам использования ротора в уравнениях физики.

Во-первых, ротор поля скоростей точек твердого тела равен минус двум угловым скоростям этого тела. Вы, разумеется, уже об этом знаете, ведь вы прочитали пример, что мы посоветовали.

Во-вторых, вернемся к нашей электродинамике. Мы уже обсудили два уравнения, входящие в четверку уравнений Максвелла, в которых используется дивергенция. Оказывается, оставшиеся два уравнения говорят о завихрении электрического и магнитного полей.

Всем нам в школе произносили ставшую мантрой фразу:

Меняющееся во времени магнитное поле порождает электрическое, а меняющееся электрическое порождает магнитное.

Попробуем облачить это рассуждение, известное из опыта, в математическую форму.

В моем «прочтении» этого уравнения по сравнению в школьной формулировкой изменится всего одно слово: меняющееся во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое.

Вот с «порождением» магнитного поля чуть сложнее. Его на самом деле могут порождать две вещи: меняющееся во времени электрическое, либо электрический ток.

Кстати! Почему магнитное поле может порождать электрический ток, а для электрического поля нет какого-нибудь магнитного тока? Ответ уже есть в этой статье. Ток — это упорядоченное движение заряженных частиц (мужик, заткнись!), а магнитных зарядов не бывает.

Заключение

В конце у читателей, а уж тем более у авторов, возникает вопрос: «А зачем это всё нужно физикам?» Пусть вам ответит Ричард Фейнман.

Мы с вами должны будем научиться выписывать все соотношения элементарной физики в этих хитроумных векторных обозначениях. Они полезны не только потому, что от этого уравнения начинают выглядеть проще. В них намного яснее проступает физическое содержание уравнений безотносительно к выбору системы координат.

Действительно, благодаря этим обозначениям мы смогли вам на пальцах объяснить суть уравнений Максвелла. В них скрыта вся классическая электродинамика и оптика. Но это слишком абстрактно. Лучше сказать, что весь наш раздел «Физика волн и излучений» целиком содержится в этих простых уравнениях, помещающихся на страницу. Парадокс? К сожалению, нет. За простотой уравнений лежит неподъёмная трудность их решения.

Мы оставим вам книги и другие ресурсы для заинтересовавшихся:

Данил Лисицин, Алексей Кузин, Екатеринбург-Самара, 2020 год, столица Франции — Париж, у атома водорода один электрон, «Бавария» обыграла «Барселону» 8:2.

Источник