что такое рекурсия приведите примеры

Как работает рекурсия – объяснение в блок-схемах и видео

Представляю вашему вниманию перевод статьи Beau Carnes How Recursion Works — explained with flowcharts and a video.

«Для того чтобы понять рекурсию, надо сначала понять рекурсию»

Рекурсию порой сложно понять, особенно новичкам в программировании. Если говорить просто, то рекурсия – это функция, которая сама вызывает себя. Но давайте попробую объяснить на примере.

Представьте, что вы пытаетесь открыть дверь в спальню, а она закрыта. Ваш трехлетний сынок появляется из-за угла и говорит, что единственный ключ спрятан в коробке. Вы опаздываете на работу и Вам действительно нужно попасть в комнату и взять вашу рубашку.

Вы открываете коробку только чтобы найти… еще больше коробок. Коробки внутри коробок и вы не знаете, в какой из них Ваш ключ. Вам срочно нужна рубашка, так что вам надо придумать хороший алгоритм и найти ключ.

Есть два основных подхода в создании алгоритма для решения данной проблемы: итеративный и рекурсивный. Вот блок-схемы этих подходов:

Какой подход для Вас проще?

В первом подходе используется цикл while. Т.е. пока стопка коробок полная, хватай следующую коробку и смотри внутрь нее. Ниже немного псевдокода на Javascript, который отражает то, что происходит (Псевдокод написан как код, но больше похожий на человеческий язык).

В другом подходе используется рекурсия. Помните, рекурсия – это когда функция вызывает саму себя. Вот второй вариант в псевдокоде:

Оба подхода выполняют одно и тоже. Основный смысл в использовании рекурсивного подхода в том, что однажды поняв, вы сможете легко его читать. В действительности нет никакого выигрыша в производительности от использования рекурсии. Порой итеративный подход с циклами будет работать быстрее, но простота рекурсии иногда предпочтительнее.

Поскольку рекурсия используется во многих алгоритмах, очень важно понять как она работает. Если рекурсия до сих пор не кажется Вам простой, не беспокойтесь: Я собираюсь пройтись еще по нескольким примерам.

Граничный и рекурсивный случай

То, что Вам необходимо принять во внимание при написании рекурсивной функции – это бесконечный цикл, т.е. когда функция вызывает саму себя… и никогда не может остановиться.
Допустим, Вы хотите написать функцию подсчета. Вы можете написать ее рекурсивно на Javascript, к примеру:

Эта функция будет считать до бесконечности. Так что, если Вы вдруг запустили код с бесконечным циклом, остановите его сочетанием клавиш «Ctrl-C». (Или, работая к примеру в CodePen, это можно сделать, добавив “?turn_off_js=true” в конце URL.)

Рекурсивная функция всегда должна знать, когда ей нужно остановиться. В рекурсивной функции всегда есть два случая: рекурсивный и граничный случаи. Рекурсивный случай – когда функция вызывает саму себя, а граничный – когда функция перестает себя вызывать. Наличие граничного случая и предотвращает зацикливание.

И снова функция подсчета, только уже с граничным случаем:

То, что происходит в этой функции может и не быть абсолютно очевидным. Я поясню, что произойдет, когда вы вызовете функцию и передадите в нее цифру 5.

Сначала мы выведем цифру 5, используя команду Console.Log. Т.к. 5 не меньше или равно 1, то мы перейдем в блок else. Здесь мы снова вызовем функцию и передадим в нее цифру 4 (т.к. 5 – 1 = 4).

Мы выведем цифру 4. И снова i не меньше или равно 1, так что мы переходим в блок else и передаем цифру 3. Это продолжается, пока i не станет равным 1. И когда это случится мы выведем в консоль 1 и i станет меньше или равно 1. Наконец мы зайдем в блок с ключевым словом return и выйдем из функции.

Стек вызовов

Рекурсивные функции используют так называемый «Стек вызовов». Когда программа вызывает функцию, функция отправляется на верх стека вызовов. Это похоже на стопку книг, вы добавляете одну вещь за одни раз. Затем, когда вы готовы снять что-то обратно, вы всегда снимаете верхний элемент.

Я продемонстрирую Вам стек вызовов в действии, используя функцию подсчета факториала. Factorial(5) пишется как 5! и рассчитывается как 5! = 5*4*3*2*1. Вот рекурсивная функция для подсчета факториала числа:

Теперь, давайте посмотрим что же происходит, когда вы вызываете fact(3). Ниже приведена иллюстрация в которой шаг за шагом показано, что происходит в стеке. Самая верхняя коробка в стеке говорит Вам, что вызывать функции fact, на которой вы остановились в данный момент:

Заметили, как каждое обращение к функции fact содержит свою собственную копию x. Это очень важное условие для работы рекурсии. Вы не можете получить доступ к другой копии функции от x.

Нашли уже ключ?

Давайте кратенько вернемся к первоначальному примеру поиска ключа в коробках. Помните, что первым был итеративный подход с использованием циклов? Согласно этому подходу Вы создаете стопку коробок для поиска, поэтому всегда знаете в каких коробках вы еще не искали.

Но в рекурсивном подходе нет стопки. Так как тогда алгоритм понимает в какой коробке следует искать? Ответ: «Стопка коробок» сохраняется в стеке. Формируется стек из наполовину выполненных обращений к функции, каждое из которых содержит свой наполовину выполненный список из коробок для просмотра. Стек следит за стопкой коробок для Вас!

И так, спасибо рекурсии, Вы наконец смогли найти свой ключ и взять рубашку!

Вы также можете посмотреть мое пятиминутное видео про рекурсию. Оно должно усилить понимание, приведенных здесь концепций.

Заключение от автора

Надеюсь, что статья внесла немного больше ясности в Ваше понимание рекурсии в программировании. Основой для статьи послужил урок в моем новом видео курсе от Manning Publications под названием «Algorithms in Motion». И курс и статься написаны по замечательной книге «Grokking Algorithms», автором которой является Adit Bhargava, кем и были нарисованы все эти замечательные иллюстрации.

И наконец, чтобы действительно закрепить свои знания о рекурсии, Вы должны прочитать эту статью, как минимум, еще раз.

От себя хочу добавить, что с интересом наблюдаю за статьями и видеоуроками Beau Carnes, и надеюсь что Вам тоже понравилась статья и в особенности эти действительно замечательные иллюстрации из книги A. Bhargav «Grokking Algorithms».

Источник

Рекурсия. Беглый взгляд

Ниже речь пойдёт о старушке рекурсии, которую неплохо бы представлять, понимать и применять.

Примечание: Данная небольшая статья написана для беглого ознакомления с рекурсией, некоторыми примерами её применения и опасностями.

Определение

Для начала стоит сказать, что рекурсия относится не только к программированию. Рекурсия — это общее понятие, которое может быть присуще чему угодно и встречаться в повседневной жизни, но больше всего она распространена в информатике и математике. Для программистов же умение применять рекурсию — большой плюс в коллекцию полезных навыков.

Самая большая глупость — это делать то же самое и надеяться на другой результат.

Под рекурсией понимают процесс повторения элементов самоподобным образом. Объект обладает рекурсией, если он является частью самого себя.

Частным случаем рекурсии является хвостовая рекурсия. Если любой рекурсивный вызов является последней операцией перед возвратом из функции, то это оно.

Некоторые примеры

Рекурсию надо бы понять, а определение для этого подходит хуже, чем наглядные примеры. Для лучшего понимания, конечно, всё же следует прочитать определение, посмотреть на пример, снова прочитать определение и снова посмотреть на пример… Повторять, пока не придёт осознание.

Отличный пример вы можете найти тут.

Самое известное программисту применение рекурсии — задачи на вычисление чисел Фибоначчи или факториала. Давайте покажем, как это реализовать на языке C:

Тут же стоит отметить, что декларативная парадигма, в частности парадигма логического программирования, намного лучше позволяет понять рекурсию, так как там это обычное дело.

Fork-бомба
Примечание: Рекурсивное создание процессов крайне быстро (из-за экспоненциального роста их количества) заполняет таблицу процессов, что достаточно опасно для системы.

Reboot кнопкой после такого делать немного не приятно.

Для математика первой ассоциацией, скорее всего, будет фрактал. Фракталы прекрасны и приятно для глаза показывают свойства самоподобия.

Самые известные фракталы:

Ну и в повседневной жизни классическим примером являются два зеркала, поставленных друг напротив друга.

Углубимся глубже

Проста ли рекурсия? Однозначно нет. На вид кажется, что всё просто, однако рекурсия таит в себе опасности (А иногда она просто не понятна).

Вернёмся к примеру с вычислением чисел Фибоначчи. Сразу заметим, что возвращаемым результатом функции является вызов этой же функции, а если быть точнее, то сумма результатов вызова двух функций (именно поэтому рекурсия не хвостовая). Становится понятно, что второй вызов не произойдёт, пока не завершится первый (в котором также будет вызов двух функций). Тут же пытливый ум заметит, что из рекурсивной функции должен существовать «нормальный» выход, без самовызова, иначе мы познакомимся с переполнением стека вызовов — это один из ключевых моментов, который стоит держать в голове при работе с функциями вызывающими сами себя.

Заметим, что дерево вызовов получится большим, но максимальное количество вызовов в стеке будет заметно меньше (N-1 при N > 2, соответственно).

Рекурсивные алгоритмы довольно-таки часто встречаются при работе с деревьями, сортировками и задачами на графах. Так что, чтобы лучше вникнуть нужна практика и для этого не плохо подходит вышеупомянутое (в частности, бинарные или общие деревья. Их реализация не так сложна, а опыт работы с рекурсией получится не плохой).

Помимо этого хотелось бы упомянуть Ханойские башни, которые также отлично подойдут для ознакомления с рекурсивными задачами. На Хабре также был отличный разбор этой игры.

Для полноты картины обязательно надо упомянуть о борьбе с рекурсией.

Повышается производительность. Но это не значит, что с ней просто необходимо бороться, ведь применение рекурсии очевиднее, проще и приятнее, чем итерационные варианты.

Под силу ли побороть любую рекурсию?

Однозначно да. Любой рекурсивный алгоритм можно переписать без использования рекурсии, а хвостовую рекурсию же очень легко перевести на итерацию (чем и занимаются некоторые компиляторы для оптимизации). Это также относится и к итерационным алгоритмам.

Самый известный способ — это использование стека. Здесь подробнее, для интересующихся.

Заключение

Спасибо за прочтение статьи. Надеюсь, что большинство не знакомых с рекурсией получили базовое представление о ней, а от знающих людей, конечно, хочется услышать дополнения и замечания в комментариях. Не бойтесь рекурсии и не переполняйте стек!

UPD: Добавлен корректный пример хвостовой рекурсии.

Источник

Рекурсия. Занимательные задачки

В этой статье речь пойдет о задачах на рекурсию и о том как их решать.

Кратко о рекурсии

Рекурсия достаточно распространённое явление, которое встречается не только в областях науки, но и в повседневной жизни. Например, эффект Дросте, треугольник Серпинского и т. д. Один из вариантов увидеть рекурсию – это навести Web-камеру на экран монитора компьютера, естественно, предварительно её включив. Таким образом, камера будет записывать изображение экрана компьютера, и выводить его же на этот экран, получится что-то вроде замкнутого цикла. В итоге мы будем наблюдать нечто похожее на тоннель.

В программировании рекурсия тесно связана с функциями, точнее именно благодаря функциям в программировании существует такое понятие как рекурсия или рекурсивная функция. Простыми словами, рекурсия – определение части функции (метода) через саму себя, то есть это функция, которая вызывает саму себя, непосредственно (в своём теле) или косвенно (через другую функцию).

Задачи

При изучении рекурсии наиболее эффективным для понимания рекурсии является решение задач.

Любой алгоритм, реализованный в рекурсивной форме, может быть переписан в итерационном виде и наоборот. Останется вопрос, надо ли это, и насколько это будет это эффективно.

Для обоснования можно привести такие доводы.

Для начала можно вспомнить определение рекурсии и итерации. Рекурсия — это такой способ организации обработки данных, при котором программа вызывает сама себя непосредственно, либо с помощью других программ. Итерация — это способ организации обработки данных, при котором определенные действия повторяются многократно, не приводя при этом к рекурсивным вызовам программ.

После чего можно сделать вывод, что они взаимно заменимы, но не всегда с одинаковыми затратами по ресурсам и скорости. Для обоснования можно привести такой пример: имеется функция, в которой для организации некого алгоритма имеется цикл, выполняющий последовательность действий в зависимости от текущего значения счетчика (может от него и не зависеть). Раз имеется цикл, значит, в теле повторяется последовательность действий — итерации цикла. Можно вынести операции в отдельную подпрограмму и передавать ей значение счетчика, если таковое есть. По завершению выполнения подпрограммы мы проверяем условия выполнения цикла, и если оно верно, переходим к новому вызову подпрограммы, если ложно — завершаем выполнение. Т.к. все содержание цикла мы поместили в подпрограмму, значит, условие на выполнение цикла помещено также в подпрограмму, и получить его можно через возвращающее значение функции, параметры передающееся по ссылке или указателю в подпрограмму, а также глобальные переменные. Далее легко показать, что вызов данной подпрограммы из цикла легко переделать на вызов, или не вызов (возврата значения или просто завершения работы) подпрограммы из нее самой, руководствуясь какими-либо условиями (теми, что раньше были в условии цикла). Теперь, если посмотреть на нашу абстрактную программу, она примерно выглядит как передача значений подпрограмме и их использование, которые изменит подпрограмма по завершению, т.е. мы заменили итеративный цикл на рекурсивный вызов подпрограммы для решения данного алгоритма.

Задача по приведению рекурсии к итеративному подходу симметрична.

Подводя итог, можно выразить такие мысли: для каждого подхода существует свой класс задач, который определяется по конкретным требованиям к конкретной задаче.

Более подробно с этим можно познакомиться тут

Так же как и у перебора (цикла) у рекурсии должно быть условие остановки — Базовый случай (иначе также как и цикл рекурсия будет работать вечно — infinite). Это условие и является тем случаем к которому рекурсия идет (шаг рекурсии). При каждом шаге вызывается рекурсивная функция до тех пор пока при следующем вызове не сработает базовое условие и произойдет остановка рекурсии(а точнее возврат к последнему вызову функции). Всё решение сводится к решению базового случая. В случае, когда рекурсивная функция вызывается для решения сложной задачи (не базового случая) выполняется некоторое количество рекурсивных вызовов или шагов, с целью сведения задачи к более простой. И так до тех пор пока не получим базовое решение.

Тут Базовым условием является условие когда n=1. Так как мы знаем что 1!=1 и для вычисления 1! нам ни чего не нужно. Чтобы вычислить 2! мы можем использовать 1!, т.е. 2!=1!*2. Чтобы вычислить 3! нам нужно 2!*3… Чтобы вычислить n! нам нужно (n-1)!*n. Это и является шагом рекурсии. Иными словами, чтобы получить значение факториала от числа n, достаточно умножить на n значение факториала от предыдущего числа.

В сети при обьяснении рекурсии также даются задачи нахождения чисел Фибоначчи и Ханойская башня

Рассмотрим же теперь задачи с различным уровнем сложности.
Попробуйте их решить самостоятельно используя метод описанный выше. При решении попробуйте думать рекурсивно. Какой базовый случай в задаче? Какой Шаг рекурсии или рекурсивное условие?

Поехали! Решения задач предоставлены на языке Java.

A: От 1 до n
Дано натуральное число n. Выведите все числа от 1 до n.

Источник

Разбираемся в рекурсии

Про рекурсию ходит много шуток, и она традиционно считается одной из сложных для понимания тем в computer science, поэтому давайте сегодня немного о ней поговорим. А именно, давайте обсудим, как выражать доказуемо завершимые вычисления.

Зачем это надо? Рекурсия — один из краеугольных камней ФП, а некоторые из функциональных языков (например, Idris или Agda) обладают достаточно мощной системой типов, чтобы использовать их для проверки доказательств. А чтобы проверенным доказательствам на самом деле можно было доверять, было бы неплохо, чтобы логическая система, которую представляет система типов языка, была консистентна — то есть, если упрощать, чтобы в ней нельзя было доказать ложь.

Один из главных источников неконсистентности — незавершающиеся вычисления (для примера см. КДПВ), поэтому вышеупомянутые языки очень стараются дать возможность убедиться, что вычисления завершаются — соответствующая их часть даже имеет отдельное название, «termination checker». Но, увы, по фундаментальным причинам у любой такой проверки всегда будут ложноположительные или ложноотрицательные срабатывания, поэтому приходится идти на компромиссы. В доказательствах лучше перебдеть, чем недобдеть, поэтому всегда есть завершимые функции, которые этими языками отвергаются. Однако, эти функции можно переписать так, чтобы termination checker был доволен, если можно доказать, что рекурсивный вызов всегда в каком-то смысле «меньше».

Не так давно мне нужно было убедить Агду, что куча взаимно рекурсивных функций всегда завершается. Для этого пришлось почитать стандартную библиотеку и пораскрывать встречающиеся абстракции, чтобы понять, что же там на самом деле происходит. В процессе я делал заметки, а потом понял, что если добавить в эти заметки слова, то может получиться полезный кому-то ещё текст.

Немного вводных

Сначала определим одно слово, которое дальше будет часто встречаться. Фундированное отношение на множестве — это такое отношение, у которого нет бесконечных убывающих цепочек элементов. Стандартное определение немного отличается, но для наших множеств (заведомо счётных, с другими даже идеальные Тьюринг-полные компьютеры не умеют работать) разница невелика и без аксиомы выбора. В качестве синонима в конструктивных контекстах часто используется понятие «доступности» (или как на русский перевести «accessible» в этом контексте?), которым я тоже иногда буду пользоваться.

Кроме того, немного про Агду, на которой мы и будем всё это писать. Это язык из ML-семейства с похожим на хаскель синтаксисом и с поддержкой зависимых типов. Стоит упомянуть пару синтаксических особенностей, которые не встречаются, пожалуй, ни в одном другом языке:

Ещё я иногда буду писать слово «свидетель утверждения X», обозначая этим терм, имеющий тип, соответствующий утверждению X.

Расковыриваем НОД

Один из классических примеров, на котором ломаются стандартные termination checker’ы — алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. При этом он достаточно прост для того, чтобы не тратить внимание на неважные детали, да и, оказывается, в стандартной библиотеке Агды он уже реализован. Нас интересует, в частности, вот эта функция:

Здесь и дальше я буду приводить код в виде скриншотов, так как Хабр не умеет в раскрашивание Агды (что объяснимо, без запросов к тайпчекеру там не разберёшься), да и весь нужный уникод не у всех есть.

Если мы пройдём по цепочке импортов, то увидим, что Acc определён так:

Кроме того, Acc параметризован:

В принципе, можно было бы сразу подставить тело этого определения, но давайте для полноты разберёмся с типами.

Пожалуй, смысл этих типов можно было бы понять из контекста, но давайте не будем жульничать и посмотрим на определения.

С RecStruct всё чуть сложнее:

В любом случае, если пристально посмотреть на это определение, то станет ясно, что RecStruct принимает тип A и возвращает какой-то другой тип — функцию из Pred A в себя же, а Pred A по большому счёту является функцией A → Set — как и положено всякому благочестивому предикату в теории типов.

Но как это вообще связано с завершимостью? Почему этого Acc достаточно, чтобы доказать, что что-то завершается?

Доступность и структурная рекурсия

Оказывается, что это наша старая добрая структурная рекурсия под прикрытием.

В структурной рекурсии всё в порядке, если, сильно упрощая, мы совершаем рекурсивный вызов на синтаксическом субтерме одного из наших термов-аргументов. Вот, например, привычный Фибоначчи:

В Фибоначчи используется один из самых простых типов данных в мире, тип натуральных чисел:

но такая же логика работает и для чего-нибудь более сложного. Например, для бинарных деревьев:

Рекурсивные вызовы на каждом из поддеревьев, естественно, вполне себе корректны и доказуемо завершимы:

А теперь время для ключевого трюка. Заметим, что определение Tree выше изоморфно такому:

Аналогично можно поступить и с натуральными числами, просто в этом случае функция будет принимать аргумент типа, содержащего всего одно значение:

Подход Tree’ и ℕ’ выглядит более тяжеловесно и неуклюже, чем привычный способ описания типов, но у него есть два преимущества. Во-первых, этот подход хорошо обобщается и куда более выразителен. Например, можно представить себе дерево со счётно бесконечным числом поддеревьев в каждом узле:

Или дерево, где в каждом узле конечное, но неизвестное заранее число поддеревьев:

Во-вторых, возвращаемые значения функций, «хранящихся» в конструкторах, считаются termination checker’ом структурно меньшими, так что мы спокойно можем делать рекурсивные вызовы на этих возвращаемых значениях (и метатеория языка гарантирует, что это на самом деле всё ещё консистентно). Например, можно написать что-то в духе подсчёта глубины «диагонали» дерева с бесконечным числом детей в каждом узле:

Визуализировать эту функцию уже не так просто, как написать, но написать можно, и termination checker вполне корректно будет считать её тотальной.

Если вернуться к нашим НОДам, то можно заметить, что Acc имеет примерно ту же форму, что и все эти забавные типы, описанные выше. В частности, конструктор Acc _ принимает функцию, которая по элементу y и свидетелю y возвращает другой Acc (конкретнее, значение типа Acc _ ). Теперь мы знаем, что termination checker считает этот Acc _ как структурно меньший, чем исходный Acc _ (кстати, даже несмотря на то, что его тип отличается). Поэтому мы можем передать это новое значение в рекурсивный вызов, и termination checker с удовольствием посчитает это корректной завершимой рекурсией, даже если ни один из прочих аргументов не стал структурно меньше.

В каком-то смысле Acc позволяет преобразовать «меньше-согласно-отношению» в «структурно-меньше», и нам, программистам, остаётся заполнить пробелы в этом преобразовании.

Примеры

Но как именно выглядит это преобразование?

Натуральные числа

Это доказательство — просто объект типа Acc _ для любого x :

После обычных для Агды пасов мы придём к чему-то вроде такого:

Если теперь перейти ко второй дырке, убрать dot pattern и дать имя первому аргументу, то получим что-то такое:

В дырке при этом будет такая цель и такой контекст:

Пары чисел

Что насчёт чего-нибудь более сложного, как, например, пар натуральных чисел с лексикографическим порядком?

Такой порядок можно определить, например, так:

Доказательство его фундированности предлагается читателю в качестве упражнения.

Ладно, шучу, мне просто лень описывать процесс разработки доказательства. Конечный результат будет выглядеть примерно так:

Контрпримеры

Итак, мы встретились с парой типов и отношений на них, а также доказали их вполне упорядоченность. Но что случится, если мы попытаемся доказать что-то про фундированность отношения, которое таковым не является? Где именно и что именно сломается? Доказывать, что какие-то вещи невыразимы, бывает сложно, но мы попытаемся хотя бы немножко приблизиться к интуитивному пониманию этой самой невыразимости. Да и лично я считаю, что контрпримеры так же важны для понимания, как и обычные, положительные примеры, так что давайте ломать!

Тривиальный тип

Пожалуй, самый простой пример — тип-синглтон с отношением, которое выполняется для любых двух элементов этого типа (тривиальным образом, так как у этого типа всего один элемент):

Давайте начнём писать доказательство фундированности:

Каков тип этой дырки?

Единственный способ создать значение типа Acc — через конструктор acc :

Какой тип дырки перед нами после этого?

Ходим кругами

Что насчёт чего-нибудь поинтереснее? Давайте поиграем в камень-ножницы-бумагу, также известные как числа Пеано без аксиомы ∀x. suc(x) ≠ 0 на трёхэлементном множестве:

Из-за конечности Obj представляется разумным попытаться доказать фундированность через case split по аргументу. Затем давайте рассмотрим произвольную ветку после сплита (я люблю метал, поэтому выберу rock ):

Бесконечные цепи уникальных элементов

Или, другими словами, пусть у нас есть такой свидетель. Тогда мы можем скормить ему 0, заем 1, затем 2, и так далее. Так как мы по факту имеем структурную рекурсию, то мы сможем написать незавершающееся вычисление, но, так как Агда консистентна, этого не может быть!

Или, в виде кода, кратко и ясно:

Наконец-то рекурсия

Как же используется доказательство фундированности? Посмотрим ещё раз на функцию вычисления НОД:

Заключение

После этого маленького экскурса у меня получилось написать что-то чуть менее тривиальное, с кучей взаимно рекурсивных функций, бегающих по взаимно рекурсивным деревьям вывода в системе типов, формализацией которой я сейчас занимаюсь. Надеюсь, что если тебе, дорогой читатель, понадобится доказуемо завершимая рекурсия, эти записи помогут тебе с ней разобраться. Тем более, что, на мой взгляд, чаще всего все доказательства завершимости сводятся к введению размера как прямого отображения на множество натуральных чисел, а там с фундированностью всё просто, и 640 килобайт Acc _ хватит всем.

Источник