Правила ранжирования

Меньшему значению начисляется меньший ранг.

Наименьшему значению начисляется ранг 1.

Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений. Например, если n=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех случаев, которые предусмотрены правилом 2.

В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.

Например, 3 наименьших значения равны 10 секундам.

Если бы мы измеряли время более точно, то эти значения могли бы различаться и составили бы, скажем, 10.2 сек; 10.5 сек; 10.7 сек. В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 1, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждое из них получает средний ранг:

Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг:

и т.д.

Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельствовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их суммировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

Источник

Правило ранжирования

1. Построить вариационный ряд (расположить данные первичного ряда в порядке возрастания)

2. Пронумеровать значения вариационного ряда, начиная с меньшего значения. Меньшему значению присваивается первый номер

3. Рядом со значением записать его ранг, при этом:

а) если значение в вариационном ряду встречается единственный раз, то ранг равен порядковому номеру;

б) если значение в вариационном ряду встречается два или более раз, то ранг вычисляется как среднее из порядковых номеров, которые присвоены этому значению.

4. Правильность ранжирования можно проверить. Сумма рангов должна совпадать с расчетной:

где N – количество значений в ранжируемом вариационном ряду.

Индивидуальные значения переменной «Х»: 2, 5, 6, 2, 5, 1, 3, 4, 4, 4.

Вариационный ряд «Х»: 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6

Данные вариационного ряда нумеруются. Определяется ранг значения, при этом, меньшему значению присваивается ранг равный единице. Значение «1» встречается в вариационном ряду единственный раз и имеет порядковый номер равный «1». Поэтому ранг значения «1» равен порядковому номеру, то есть R(1)=1. Значение «2» встречается в вариационном ряду два раза. Поэтому, ранг значения «2» вычисляется как среднее из порядковых номеров, на которых располагается это значение.

R(2)=

Значение «3» в вариационном ряду встречается единственный раз, поэтому ранг равен порядковому номеру. Ранг значения «3» равен четырем, то есть R(3)=4.

Сумма рангов должна совпадать с расчетной:

= =1+2,5+2,5+4+6+6+6+4,5+4,5+10

Процентиль – это процентная доля индивидов из выборки стандартизации, первичный результат которых ниже данного первичного показателя. Процентили показывают относительное положение каждого индивида в нормативной выборке, а не величину различия между результатами.

99 возможных процентилей (Р₁. Р₉₉) делят множество наблюдений на 100 частей с равным числом наблюдений в каждой.

Например, если 28% людей правильно решают 15 задач в тесте на арифметическое мышление, то первичному показателю 15 соответствует 28-й процентиль (Р₂₈).

Процентили указывают на относительное положение индивида в выборке стандартизации. Их также можно рассматривать как ранговые градации, общее число которых равно 100, с той разницей, что при ранжировании принято начинать отсчет сверху, то есть с лучшего члена группы, получающего ранг 1. В случае процентилей отсчет ведется снизу, так что, чем ниже процентиль, тем хуже позиция индивида.

Процентили не следует смешивать с обычными процентными показателям. Последние являются первичными показателями и представляют собой процент правильно выполненных заданий, тогда как процентиль – это производный показатель, указывающий на долю от общего числа членов группы. Первичный результат, который ниже любого показателя, полученного в выборке стандартизации, имеет нулевой процентильный ранг (Р₀). Результат, превышающий любой показатель в выборке стандартизации, получает процентильный ранг 100 (Р₁₀₀). Эти процентили, однако, не означают нулевого или абсолютного выполнения теста.

Перед началом вычисления любого процентиля в группе оценок надо упорядочить эти оценки по возрастанию. Для больших групп это непроизводительно и удобнее использовать сгруппированные данные.

Общая формула определения Р_р -го процентиляв группе n оценок

W – ширина интервала оценок

Накопленные частотык любой заданной оценке представляют собой суммарное количество частот на этой оценке или ниже ее.

Переход в шкалу Т-баллов:

Где, x_i-индивидуальное (i-е значение); — среднее арифметическое; σ-стандартное отклонение.

Источник

Ранжирование (группировка, классификация) данных.

Данные, полученные в результате выборки, представляют собой «сырой» материал. Обычно перед тем, как приступить к вычислению характеристик выборки, его подвергают предварительной обработке. Наиболее распространенным методом такой обработки является ранжирование (группировка, классификация) данных. Эта процедура состоит в том, что мы все данные разбиваем на группы (ранги), и в дальнейшем всем результатам, отнесенным к одной группе, присваивается одно и то же значение (один и тот же ранг, если речь идет о качественном признаке). Например, так происходит при шитье на фабрике мужских костюмов – всех мужчин, чей рост находится в диапазоне 168-178 см., относят к одной группе(2-й рост) и всех их рассматривают как людей одного роста: 173см.

Этот метод применяется отнюдь не только в тех случаях, когда необходимость группировки данных диктуется потребностями стандартизации. Так поступают в очень многих случаях поскольку такой подход не только упрощает процедуру расчета, но и позволяет снизить влияние случайных небольших ошибок.

При разбиении всего множества вариант на группы (классы, ранги) стирается разница между дискретными и непрерывными величинами. Отметим сразу, что при работе с реальными данными непрерывных случайных величин не существует уже хотя бы потому, что любые измерения производятся с некоторой точностью, а значит любая непрерывная величина в результатах опыта предстает как дискретная, и в роли минимально возможного различия (шага дискретизации) выступает цена деления прибора.

С другой стороны, если максимальное число возможных значений дискретной случайной величины (максимальное минус минимальное значение, деленное на шаг измерения) очень велико, принципиальное различие между дискретной и непрерывной случайной величиной исчезает.[5] Т.е. практически при работе с конкретными данными имеет смысл говорить не о непрерывных и дискретных величинах, а о совокупностях данных с малым и большим числом градаций.

Способы разбиения и границы интервалов

Когда мы осуществляем группировку, мы фактически все множество возможных значений разбиваем на интервалы, и все значения, попавшие в один интервал, заменяем одним стандартнымзначением – центром интервала. При этом границы интервала определяются как средние арифметические между величинами двух соседних центров.

Отметим, что при группировке количественных характеристик, центральные значения групп всегда образуют прогрессию. Однако не всегда эта прогрессия арифметическая, иногда разумно считать что центры групп образуют геометрическую прогрессию. Последнее встречается в тех случаях, когда отношение наименьшего и наибольшего значения очень велико (ситуация большого динамического диапазона). Кроме того, геометрическая прогрессия для центров групп достаточно часто встречается в экономике потому, что для экономических задач весьма характерно «процентное» рассмотрение: результат вычисляется как некая доля исходных данных (прибыль, доход, налог – все они описываются чаще всего как доли или проценты). В случае, когда интервалы образуют арифметическую прогрессию, мы говорим о равномерной шкале, а в случае геометрической прогрессии о логарифмической шкале.

Пусть нам дана таблица данных

Легко заметить, что наши стандартизованные значения Х образуют арифметическую прогрессию, т.е. перед нами равномерная шкала. В группу со стандартным значением 270 при этом попали все значения, у которых в ходе опыта были получены результаты, лежащие в диапазоне 240 500Количество n72345422815

Здесь вполне очевидно, что центры групп образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1,33 (логарифмическая шкала). В группу со стандартным значением 280 при этом попали все значения, у которых в ходе опыта были получены результаты, лежащие в диапазоне 240

Распределение вариант и распределение средних. Выборочные характеристики как оценки характеристик генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

Обычно ситуация не бывает столь простой, как мы ее представили в п.1. Чаще всего мы не располагаем всей генеральной совокупностью данных и поэтому лишены возможности точно вычислить основные характеристики генеральной совокупности: генеральное среднее µ и стандартное отклонение σ. Приходится производить некоторые выборки из генеральной совокупности и на основании полученных таким образом данных вычислять не сами характеристики генеральной совокупности, а некие их оценки.

Обычно используемые оценки генерального среднего, генеральной дисперсии и стандартного отклонения по выборочным данным описываются такими формулами:

(1.3)

Обратите внимание: в этих формулах n есть объём выборки, а не генеральной совокупности.

Разумеется, желательно, чтобы наши формулы давали «хорошие» оценки, но для этого прежде всего следует ввести некие характеристики оценок, позволяющие судить, какие оценки хороши, а какие нет. Обычно используют три таких характеристики: несмещённость, состоятельность и эффективность.

Несмещённость. Если матожидание оценки совпадает с генеральным средним (или матожиданием случайной величины), оценка называется несмещенной.

Состоятельность. Если предел оценки по вероятности равен оцениваемому значению, то оценка называется состоятельной. Несколько упрощая ситуацию, можно сказать, что состоятельной называется такая оценка, которая дает практически точное значение, если используемая выборка достаточно велика и представительна.

Эффективность оценки определяется не предельным, а актуальным значением разброса оценок: из двух оценок величины более эффективна та у которой меньше дисперсия, а значит ее плотность распределения более «сжата».

Для того, чтобы правильно понимать смысл приведенных здесь характеристик нужно отчетливо представлять себе следующее. Как только мы начинаем рассматривать выборку, хотя бы только одну, мы сразу должны рассматривать ситуацию с точки зрения двух распределений: исходного распределения значений переменной х (распределение вариант) и распределения выборочных средних. Последнее трактуется следующим образом.

Пусть мы сделали не одну, а очень много выборок одинакового объёма n из одной и той же генеральной совокупности и для каждой из них вычислили среднее значение. Вполне очевидно, что различные выборки – пусть они одного объема, осуществлялись по одному принципу и в одинаковых условиях – вот у таких схожих выборок средние величины и стандартные отклонения окажутся все-таки различными. Причем различия эти продиктованы случайными причинами, поскольку случайным образом отбирались представители генеральной совокупности, попавшие в выборку, а это означает, что сами выборочные средние и выборочные стандартные отклонения являются случайными величинами. Поскольку такие выборочные средние сами есть случайные величины, мы можем построить распределение выборочных средних по данным многих выборок.

Распределение средних отличается такими важными особенностями:

а) Распределение средних при росте объёма выборки по форме стремится к нормальному распределению, независимо от того, каким по форме было распределение вариант. Т.е. оно постепенно становится близким к нормальному, даже если исходное распределение вариант сильно ассиметрично (например, экспоненциальное). Однако понятно, что для гладких, одновершинных и симметричных распределений практическая близость к нормальному будет наступать раньше, при меньших объемах выборки;

б) чем больше объем выборки n, тем более вытянутым по вертикали и сжатым по горизонтали оказывается кривая распределения выборочных средних, на рис.2б показаны кривые распределения для выборок из одной и той же генеральной совокупности, содержащих по 5 и по 12 элементов;

в) отметим, что выборочное среднее является несмещенной и эффективной оценкой генерального среднего µ.

Несмещенность оценки означает, что если по кривой распределения выборочных средних найти для случайной величины ее матожидание , то оно совпадет с матожиданием генеральной совокупности µ (на рис.2б распределение вариант симметрично, симметричны и оба распределения средних; ось симметрии у всех трех распредлений общая, что и указывает на равенство = µ). Можно показать, что существует много несмещенных оценок для матожидания генеральной совокупности µ, однако они обладают различной эффективностью.

А вот эффективность как оценки µ означает, что среди всех несмещенных оценок µ именно имеет наименьшую дисперсию.

Таким образом, несмещенной и эффективной оценкой стандартного отклонения в распределении средних является величина ,[7] т.е. матожидание величины совпадает с : M[ ] = , причем из всех оценок с таким матожиданием имеет наименьшую дисперсию

г) Стандартное отклонение в распределении средних всегда будет меньше стандартного отклонения для распределения вариант (встретить на улице человека выше 190см много вероятнее, чем встретить 20 человек, средний рост которых более 190см); причем чем больше объем выборки, тем меньше стандартное отклонение в распределении средних; точная зависимость величины стандартного отклонения от объема выборки приведена ниже

Итак, пусть мы располагаем данными полученными всего из одной выборки, все равно мы можем получить оценку характеристик генеральной совокупности на основе этой единственной выборки. При этом мы рассматриваем эти данные двояко: как описание нашей выборки, представленное таблицей; по этой таблице мы можем вычислить и σ для данной выборки. И одновременно как одну из точек на кривой распределения , этот подход будет активно использоваться при построении доверительных интервалов.

Отметим еще одно важное следствие. Выборочное среднее является несмещенной оценкой генерального среднего µ, а вот выборочное стандартное отклонение является смещенной оценкой генерального стандартного отклонения, несмещенной оценкой (см. 1.3) является s: ; нетрудно заметить, что

Источник

07.3. Примеры статистических моделей и гипотез, ранги и ранжирование

Ранги. Во многих случаях имеющиеся в нашем распоряжении числовые данные (например, значения элементов выборки) носят в той или иной мере условный характер. Например, эти данные могут быть тестовыми баллами, экспертными оценками, данными о вкусовых или политических предпочтениях опрошенных людей и т. д. Анализ таких данных требует особой осторожности, поскольку многие предпосылки классических статистических методов (например, предположения о каком-либо конкретном, скажем нормальном, законе распределения) для них не выполняются. Твердую основу для выводов здесь дают только соотношения между наблюдениями типа «больше-меньше», так как они не меняются при изменении шкалы измерений. Например, при анализе анкет с данными о симпатиях избирателей к политическим деятелям мы можем сказать, что политик, получивший больший балл в анкете, более симпатичен отвечавшему на вопросы человеку (респонденту), чем политик, получивший меньший балл. Но на сколько (или во сколько раз) он более симпатичен, сказать нельзя, так как для предпочтений нет объективной единицы измерения.

В подобных случаях (которые мы будем более подробно рассматривать в последующих главах), имеет смысл вообще отказаться от анализа конкретных значений данных, а исследовать только информацию об из взаимной упорядоченности. Для этого от исходных числовых данных осуществляют переход к их Рангам.

Определение. Рангом наблюдения называют тот номер, который получит это наблюдение в упорядоченной совокупности всех данных — после их упорядочения по определенному правилу (например, от меньших значений к большим или наоборот).

Чаще всего упорядочение чисел (набор которых составляют упомянутые выше данные) производят по величине — от меньших к большим. Именно такое упорядочение и связанное с ним ранжирование (присвоение рангов) мы будем иметь в виду в дальнейшем.

Пример. Пусть выборка состоит из чисел 6, 17, 14,5, 12. Тогда рангом числа 6 оказывается 2, рангом 17 будет 5 и т. д.

Определение. Процедура перехода от совокупности наблюдений к последовательности их рангов называется ранжированием. Результат ранжирования называется ранжировкой.

Статистические методы, в которых мы делаем выводы о данных на основании их рангов, называются ранговыми. Они получили широкое распространение, так как надежно работают при очень слабых предположениях об исходных данных (не требуя, например, чтобы эти данные имели какой-либо конкретный закон распределения). В последующих главах этой книги мы рассмотрим применение ранговых методов в наиболее распространенных практических задачах.

Средние ранги. Трудности в назначении рангов возникают, если среди элементов выборки встречаются совпадающие. (Так часто бывает, когда данные регистрируются с округлением.) В этом случае обыкновенно используют Средние ранги.

Средние ранги вводятся так. Предположим, что наблюдение , имеет ту же величину, что и некоторые другие из общего числа П Наблюдений. (Эту совокупность одинаковых наблюдений из набора называют Связкой, количество таких одинаковых наблюдений в данной связке называют ее размером.) Средний ранг , в ранжировке наблюдений есть среднее арифметическое тех рангов, которые были бы назначены и всем остальным элементам связки, если бы одинаковые наблюдения оказались различны.

В качестве примера рассмотрим выборку 6, 17, 12, 6, 12. Ее ранжировка равна .

Покажем на примерах, как может проходить математическая формализация практических задач и как сформулированные на естественном языке вопросы превращаются в статистические гипотезы.

Тройной тест. Рассмотрим распространенный в психологии тройной тест (его другое название — тест дегустатора). Он состоит из серии одинаковых опытов, в каждом из которых испытуемому предъявляют одновременно три стимула. Два из них идентичны, а третий несколько отличается. Испытуемый, ориентируясь на свои ощущения, должен указать этот отличающийся стимул. Например, испытуемому могут быть предложены три стакана с жидкостью: два с чистой водой, а третий — со слабым раствором сахара, либо наоборот — два стакана подслащенных, а третий — с чистой водой. Задание для испытуемого — указать стакан, отличающийся от двух других.

Опыты стараются организовать так, чтобы они проходили в одинаковых условиях и чтобы в каждом из них испытуемый мог полагаться только на свои ощущения. В результате подобного однократного эксперимента можно получить как правильный, так и неправильный ответ.

При слабой концентрации раствора, когда его трудно отличить от воды, из одного ответа нельзя сделать определенного заключения о способности испытуемого чувствовать данную концентрацию. Испытуемый может случайно ошибиться, даже если в целом он способен отличать данную концентрацию сахара от чистой воды. С другой стороны, правильный ответ не исключает того, что испытуемый его просто угадал, не отличая раствора от воды.

Эти свойства эксперимента мы можем перечислить в виде следующих допущений:

• в каждом испытании ответ испытуемого случаен;

• существует вероятность правильного ответа, которая неизменна во все время испытаний;

• результаты отдельных испытаний статистически независимы.

Коротко это выражается так: статистической моделью эксперимента служит схема Бернулли.

Сформулировав математическую модель явления, перейдем к выдвижению статистических гипотез. Интересующая нас способность испытуемого характеризуется вероятностью правильного ответа, которую мы обозначим Р. В этом опыте она нам неизвестна. Естественно, эта вероятность зависит от степени концентрации сахара. Если концентрация очень мала и не воспринимается, то у испытуемого нет оснований для выбора. Он «наудачу» будет указывать один из трех стаканов. В этих условиях вероятность правильного ответа .

Предположим, что экспериментатора интересует, начиная с каких концентраций испытуемый отличает раствор от воды. Тогда для данной концентрации экспериментатор может выдвинуть предположение, что испытуемый ее ощутить не в состоянии. В изложенной модели это предположение превращается в статистическую гипотезу о том, что . Примем следующую форму записи статистической гипотезы: . Если же экспериментатор предполагает, что испытуемый может ощутить наличие сахара, то соответствующая статистическая гипотеза состоит в том, что , т. е. . Возможна и гипотеза о том, что , она соответствует тому, что испытуемый способен отличить раствор от воды, но принимает одно за другое.

Экспериментатор может выдвигать и другие гипотезы о способности испытуемого к различению концентраций. Например, возможна такая гипотеза: испытуемый способен ощутить присутствие сахара, ошибаясь один раз из десяти. В этом случае вероятность правильного ответа равна 0.9 и гипотеза примет вид: Н : р = 0.9.

Заметим, что с чисто математической точки зрения гипотеза вида проще, чем или . Действительно, при мы имеем дело с одним (полностью заданным) биномиальным распределением, а в других случаях перед нами семейство распределений. Ясно, что с одним распределением иметь дело проще.

Сейчас мы не будем рассматривать процесс проверки этих гипотез (он описан в п. 4), а вместо этого приведем еще один пример перевода естественнонаучной задачи на статистический язык, т. е. построения статистической модели явления и выдвижения гипотезы для проверки.

Парные наблюдения. На практике часто бывает необходимо сравнить два способа действий по их результатам. Речь может идти о сравнении двух методик обучения, эффективности двух лекарств, производительности труда при двух технологиях и т. д. В качестве конкретного примера рассмотрим эксперимент, в котором выясняется, на какой из сигналов человек реагирует быстрее: на свет или на звук.

Эксперимент был организован следующим образом. Каждому из семнадцати испытуемых в случайном порядке поочередно подавались два сигнала: световой и звуковой. Интенсивность сигналов была неизменна в течение всего эксперимента. Увидев или услышав сигнал, испытуемый должен был нажать на кнопку. Время между сигналом и реакцией испытуемого регистрировал прибор. Результаты эксперимента приведены в табл. 1.

Время реакции на свет и на звук, в миллисекундах

I — номер испытуемого, I = 1. 17; Xi — время его реакции на звук, YI — время его реакции на свет.

Вместо поставленного выше вопроса о том, на какой из сигналов человек отвечает быстрее, выдвинем другой: можно ли считать, что время реакции человека на свет и на звук одинаковы? Логически эти вопросы тесно связаны: если мы отвечаем отрицательно на второй из них, мы тем самым признаем, что различия есть. После этого уже не трудно понять, когда время реакции меньше. Если же на второй вопрос мы отвечаем положительно, то первый после этого просто снимается. С математической же точки зрения второй вопрос проще, как мы увидим из дальнейшего обсуждения.

Итак, время реакции на звук, X, и время реакции на свет, Y, различно у разных людей, несмотря на то, что во время опыта они находились в одинаковых условиях. Ясно, что наблюдаемый разброс во времени реакции не связан с изучаемым явлением (различием двух действий). По-видимому, этот разброс можно объяснить различиями между испытуемыми и/или нестабильностью времени отклика на сигнал у каждого испытуемого. Как бы то ни было, эти колебания не имеют отношения к той закономерности, что нас интересует. Поэтому мы объявляем их случайными. Так сделан первый шаг к статистической модели: переменные Xi и Yi признаны реализациями случайных величин, скажем Xi и Yi. Поскольку каждый испытуемый решал свои задачи самостоятельно, не взаимодействуя с другими испытуемыми и не испытывая с их стороны влияния, мы будем считать случайные величины X1, Y1. Х17, Y17 Независимыми (в теоретико-вероятностном смысле).

Если экспериментатор уверен, что группа испытуемых достаточно однородна, он может дополнительно предположить, что и . Если обозначить общие значения параметров через A и B соответственно, то статистическую модель в этом случае можно сформулировать так: случайные величины независимы и распределены по закону ; случайные величины тоже независимы, не зависят от и распределены по закону . Параметры A, B и неизвестны. Тогда гипотезу о равном времени реакции можно записать следующим образом:

Ясно, что задача с меньшим числом неопределенных параметров, как во второй постановке, в принципе должна давать более точные ответы. При проверке гипотез это означает, что мы сможем принять или отвергнуть проверяемую гипотезу с большей степенью уверенности. Но следует помнить, что уменьшение количества параметров в модели является следствием принятия дополнительных предположений об имеющихся данных. Так, в приведенном выше примере мы предположили, что и , что и дало нам возможность уменьшить количество параметров в модели с 35 до 3. Но если сделанные дополнительные предположения являются неправомерными, то использование полученной математической модели может привести к неверному заключению. Например, при обработке наших данных по однородной схеме можно получить неверный ответ, если фактически эти данные однородными не являются.

Итак, при построении статистической модели постоянно приходится вводить упрощающие математические предположения и одновременно оценивать, насколько они приемлемы с содержательной точки зрения. И часто надо быть готовым к тому, чтобы отказаться от недопустимых предположений или заменить их чем-то другим.

Другой путь построения статистической модели — так называемый Непараметрический. Здесь мы не делаем предположений о том, что наблюдаемые случайные переменные имеют какой-либо параметрический закон распределения. В этом случае мы делаем меньше математических допущений, а значит, здесь меньше опасности принять неоправданное предположение. Зато при этом мы используем не всю информацию об имеющихся данных, а только ту ее часть, которая не зависит от конкретного вида распределения исходных данных. Например, при проверке гипотезы о равном времени реакции на свет и звук мы должны будем использовать не сами значения времен реакций Xi и Yi, а их Ранги В объединенной выборке Xi и Yi. По сравнению с параметрическим методом (если предположения о параметрическом характере случайных событий справедливы), мы получим при этом несколько менее точные выводы, но зато непараметрический метод имеет гораздо более широкую область применимости.

Итак, при построении статистической модели приходится делать ряд предположений. Большую часть этих предположений мы не проверяем (и часто даже и не можем проверить). Некоторые предположения мы Выбираем для проверки их совместимости со статистическим материалом и называем такие предположения статистическими гипотезами. НиЖе Мы расскажем, как осуществляется проверка статистических гипотез.

Источник