что такое ранг матрицы простыми словами
Нахождение ранга матрицы — примеры решения
Что такое ранг матрицы — понятие, для чего используется
Возьмем случайную матрицу \(\underset
Минор k-го порядка матрицы A — это определитель k-го порядка с элементами, которые расположены на пересечении любых k строк и любых k столбцов.
Всего из матрицы \(\underset
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Число r с такими характеристиками — ранг матрицы A.
Ранг матрицы — это наивысший порядок ее ненулевых миноров.
Устоявшегося обозначения ранга не существует, чаще всего его записывают как \(r (A)\) или rang A, где А — обозначение матрицы. Понятие ранга обычно используют в ситуациях, когда необходима проверка совместимости системы линейных уравнений.
В случае, когда базисный минор матрицы \(\underset<3\times 4>A\) имеет порядок r \(\underset<3\times 4>A\) линейно зависимы. В случае, когда r = m, все строки являются базисными и линейно независимыми.
Из этого можно сделать следующие выводы:
Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному количеству ее линейно независимых строк и равно ее рангу.
Ранг не меняется при транспонировании.
Как определить ранг матрицы, примеры
Нахождение ранга матрицы по определению
Определить ранг можно, перебрав все миноры.
Если из элементов матрицы можно составить ненулевой минор n-го порядка, то ранг равен n.
С учетом данной теоремы перебор производится по следующему алгоритму:
Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров
Этот метод дает возможность сократить вычисления.
Окаймляющий минор — минор (n+1)-го порядка матрицы А. Он окаймляет минор n-го порядка, если матрица, соответствующая минору (n+1)-го порядка, содержит матрицу, которая соответствует упомянутому минору n-го порядка. Таким образом, чтобы получить окаймляемый минор, надо взять окаймляющий его и вычеркнуть одну строку и один столбец.
Вычислить ранг матрицы
В матрице есть элементы, отличные от нуля, значит, ее ранг больше единицы.
Раз ранг больше двух, нужно рассмотреть миноры 3-го порядка, содержащие вышеприведенный минор \(М_2.\)
Как мы видим, все миноры 3-го порядка нулевые, значит, наибольший ненулевой минор относится ко 2-му порядку.
Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)
В большинстве случаев нахождение ранга перебором миноров требует долгих вычислений. Более простой способ решения этой задачи базируется на элементарных преобразованиях по методу Гаусса, сохраняющих ранг исходной матрицы A и приводящих ее к ступенчатому виду. К таким преобразованиям относятся:
Определитель r-го порядка \(\triangle_r^<(1)>\) в этом выражении отличается от \(\triangle_r\) тем, что вместо элементов q-й строки содержит соответствующие элементы строки \( r_
.\)
Так как p-я строка — не базисная, она может быть представлена в виде линейной комбинации r базисных строк, то \(\triangle_r^ <(1)>= 0\) и \(\triangle_r^ <(1)>= \triangle_r.\)
Как мы видим, при преобразовании \( r_ \rightarrow r_
+ \lambda r_
\) базисный минор ни при каких условиях не изменяется. Из этого делаем вывод, что r (A) = r (A′).
Матрицы A и B эквивалентны по рангу и обозначаются A ∼ B в том случае, когда B можно получить из A путем элементарных преобразований, перечисленных выше.
Вычислить ранг матрицы
Итак, исходная матрица 3-го порядка является невырожденной, поскольку ее определитель равен
Нахождение ранга матрицы
В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.
Минор матрицы
Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.
Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.
Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.
Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.
Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.
Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0 0 1 1 = 0
Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:
Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:
Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:
Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что
Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?
Число миноров вычисляют по следующей формуле:
После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.
Ранг матрицы: методы нахождения
Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.
Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.
Нахождение ранга матрицы по определению
Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.
Алгоритм действий способом перебора миноров:
Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).
Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.
Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.
Найти ранг матрицы:
Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.
Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.
Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров
Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.
Найти ранг матрицы:
Записываем все окаймляющие миноры:
Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.
Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.
Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.
Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.
Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров
Поскольку элемент а 11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:
Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)
Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.
путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.
Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).
Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:
в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.
Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.
Проиллюстрируем этот процесс:
1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0
Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:
Поскольку элемент а 11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1 а 11 = 1 2 :
Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):
Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!
Ранг матрицы: определение, методы нахождения
В данной публикации мы рассмотрим определение ранга матрицы, а также методы, с помощью которых его можно найти. Также разберем примеры для демонстрации применения теории на практике.
Определение ранга матрицы
Ранг матрицы – ранг ее системы строк или столбцов. В любой матрице есть ее строчный и столбцовый ранги, которые равны между собой.
Ранг системы строк – это максимальное количество линейно-независимых строк. Аналогичным образом определяется ранг системы столбцов.
Примечания:
Нахождение ранга матрицы
Метод окаймляющих миноров
Ранг матрицы равняется максимальному порядку ненулевого минора.
Пример
Чтобы было понятнее, давайте разберем практический пример и найдем ранг матрицы A ниже, пользуясь методом окаймляющих миноров.
Решение
Мы имеем дело с матрицей 4×4, следовательно, ее ранг не может быть выше 4. Также в матрице присутствуют ненулевые элементы, значит, ее ранг не меньше единицы. Итак, приступим:
1. Начинаем проверять миноры второго порядка. Для начала берем две строки первого и второго столбцов.
Минор равняется нулю.
Следовательно переходим к следующему минору (первый столбец остается, а вместо второго берем третий).
Минор равен 54≠0, следовательно ранг матрицы не меньше двух.
Примечание: Если бы и этот минор оказался равным нулю, мы бы дальше проверили следующие комбинации:
Если требуется, перебор можно аналогичным образом продолжить со строками:
Если бы все миноры второго порядка оказались равными нулю, то ранг матрицы равнялся бы одному.
2. Нам удалось почти сразу найти минор, который нам подходит. Поэтому переходим к минорам третьего порядка.
К найденному минору второго порядка, который дал отличный от нуля результат, добавляем одну строку и один из столбцов, выделенных зеленым цветом (начнем со второго).
Минор оказался равным нулю.
Следовательно меняем второй столбец на четвертый. И со второй попытки нам удается найти минор, не равный нулю, значит ранг матрицы не может быть меньше 3.
Примечание: если бы результат снова оказался равным нулю, вместо второй строки мы бы дальше взяли четвертую и продолжили бы поиски “хорошего” минора.
3. Теперь остается определить миноры четвертого порядка с учетом найденного ранее. В данном случае он один, который совпадает с определителем матрицы.
Минор равняется 144≠0. А это значит, что ранг матрицы A равняется 4.
Приведение матрицы к ступенчатому виду
Ранг ступенчатой матрицы равняется количеству её ненулевых строк. То есть все, что нам нужно сделать – это привести матрицу к соответствующему виду, например, с помощью элементарных преобразований, которые, как мы уже упомянули выше, не меняют ее ранг.
Пример
Найдем ранг матрицы B ниже. Мы не берем слишком сложный пример, т.к. наша основная цель – это просто продемонстрировать применение метода на практике.
Решение
1. Сначала вычтем из второй строки удвоенную первую.
2. Теперь отнимем из третьей строки первую, умноженную на четыре.
Таким образом, мы получили ступенчатую матрицу, в которой количество ненулевых строк равняется двум, следовательно ее ранг, также, равен 2.
От действий над матрицами к пониманию их сути…
Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.
Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше.
Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.
Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.
Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.
Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…
Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.
Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?
Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…
Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.
В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.
Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».
Ранг матрицы – как найти ранг матрицы (теория и примеры)
Ранг матрицы – наивысший порядок минора матрицы, который не равен нулю. В статье рассмотрим разберём несколько определений и на примере покажем, как правильно искать ранг матрицы.
Что такое ранг матрицы: определения и теорема
Для данной матрицы можно составить миноры разных порядков, начиная от «1» (определитель первого порядка принимается одинаковым своему единственному элементу) к меньшему из чисел 
или 
. Так, для матрицы
= 
Можно составить 12 миноров первого порядка (одни элементы), 18 миноров второго порядка и 4 минора третьего порядка. Выпишем миноры 3-го порядка и найдём их значения.
, 
, 
,
.
Среди миноров второго порядка могут быть нулевые и не равны нулю. Все выписывать не будем, а покажем на примере,
,
Наивысший порядок минора матрицы 
который не равен нулю, называется рангом этой матрицы и обозначается 
Из определения следует, что если ранг матрицы , 
, тогда среди миноров 
-того порядка есть миноры, которые не равны нулю, а все миноры 
-го порядка равняются нулю.
Если же матрица нулевая, тогда её ранг равен нулю, а если матрица квадратная и невырожденная, тогда её ранг равен порядку матрицы. Таким образом, для каждой матрицы размером 
её ранг принимает соответствующее значение 
, которое находится в пределах:
В вышеприведённом примере матрицы мы видели, что наивысший порядок её минора, не равного нулю, равняется 2, 
Нахождение ранга матрицы путём перебора значений всех её возможных миноров связано со значимым объёмом вычислений, особенно когда размер матрицы большой. Поэтому существует способ нахождения ранга, который основан на элементарных преобразованиях:
К элементарным преобразованиям относятся:
Две матрицы и 
называются эквивалентными (обозначаются 
), если одна из них может быть получена из другой при помощи конечного числа элементарны преобразований.
Ранги эквивалентных матриц равняются:
Нужна помощь в написании работы?
Примеры
Чтобы вы могли найти ранг матриц без проблем, разберём несколько примеров.
Найти ранг матрицы:
= 
Решение:
Из второй строки матрицы отнимем первую и переставим их местами:
=
=
Прибавим ко второй и третьей строке первую, соответственно, умноженную на (-2) и (-4), а тогда поменяем местами второй и третий столбцы и получим:
=
=
Умножим вторую строку на (-10) и прибавим с третьей строкой. Получается:
=
Матрица – трапециеподобная. Она получена из при помощи конечного числа элементарных преобразований, её ранг равен 3.