Что такое наклонная к прямой? Сколько наклонных можно провести из одной точки к данной прямой? Как найти расстояние между основаниями наклонных?
Наклонной, проведенной из точки A к прямой a, называется отличный от перпендикуляра отрезок, соединяющий точку A с некоторой точкой на прямой a.
Рисунок наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, начинают с изображения перпендикуляра (даже если в условии задачи о перпендикуляре не упоминается).
Чтобы нарисовать наклонную, нужно соединить точку, из которой проводится наклонная, с любой точкой на данной прямой.
На рисунке 1 AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a, AC — наклонная.
Точка B — основание перпендикуляра, точка C — основание наклонной AC.
Отрезок BC, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной, — проекция наклонной AC на прямую a.
Из точки к прямой можно провести бесконечно много наклонных.
Две наклонные проведенные из данной точки к данной прямой, могут быть расположены как по одну сторону от перпендикуляра, так и по разные стороны от него.
На рисунке 2 наклонные AC и AD расположены по одну сторону от перпендикуляра AB.
BC — проекция наклонной AC на прямую a,
BD — проекция наклонной AD на прямую a.
CD — расстояние между основаниями наклонных
Если наклонные расположены по одну сторону от перпендикуляра, чтобы найти расстояние между основаниями наклонных, надо найти разность между длинами их проекций.
На рисунке 3 наклонные AC и AD расположены по разные стороны от перпендикуляра AB.
BC — проекция наклонной AC на прямую a,
BD — проекция наклонной AD на прямую a.
CD — расстояние между основаниями наклонных
Если наклонные расположены по разные стороны от перпендикуляра, расстояние между основаниями наклонных равно сумме длин проекций этих наклонных.
В следующий раз рассмотрим свойства наклонных.
2 Comments
Если наклонные расположены по разные стороны от перпендикуляра, расстояние между основаниями наклонных равно сумме длин проекций этих наклонных.
Если через какую-нибудь точку, взятую вне прямой, провести прямую, перпендикулярную к ней, то отрезок от данной точки до прямой для краткости называют одним словом перпендикуляр.
Отрезок СО — перпендикуляр к прямой АВ. Точка О называется основанием перпендикуляра СО (черт. 168).
Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает другую прямую, но не перпендикулярна к ней, то отрезок её от данной точки до точки пересечения с другой прямой называют наклонной к этой прямой.
Отрезок ВС — наклонная к прямой АО. Точка С называется основанием наклонной (черт. 169).
Если из концов какого-нибудь отрезка опустим перпендикуляры на произвольную прямую, то отрезок прямой, заключённый между основаниями перпендикуляров, называется проекцией отрезка на эту прямую.
Отрезок А’В’ — проекция отрезка АВ на ЕС. Отрезок ОМ’ — также называется проекцией отрезка ОМ на ЕС.
Проекцией отрезка КР, перпендикулярного к ЕС, будет точка К’ (черт. 170).
2. Свойства перпендикуляра и наклонных.
Теорема 1.Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.
Отрезок АС (черт. 171) является перпендикуляром к прямой ОВ, а АМ — одна из наклонных, проведённых из точки А к прямой ОВ. Требуется доказать, что АМ > АС.
В /\ МАС отрезок АМ является гипотенузой, а гипотенуза больше каждого из катетов этого треугольника (§ 30). Следовательно, АМ > АС. Так как наклонная АМ взята нами произвольно, то можно утверждать, что всякая наклонная к прямой больше перпендикуляра к этой прямой (а перпендикуляр короче всякой наклонной), если они проведены к ней из одной и той же точки.
Верно и обратное утверждение, а именно: если отрезок АС (черт. 171) меньше всякого другого отрезка, соединяющего точку АС любой точкой прямой ОВ, то он является перпендикуляром к ОВ. В самом деле, отрезок АС не может быть наклонной к ОВ, так как тогда он не был бы самым коротким из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой ОВ. Значит, он может быть только перпендикуляром к ОВ.
Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, принимается за расстояние от данной точки до этой прямой.
Пусть ВА и ВС — наклонные, проведённые из точки В к прямой АС (черт. 172), причём АВ = ВС. Нужно доказать, что равны и их проекции.
Для доказательства опустим из точки В перпендикуляр ВО на АС. Тогда АО и ОС будут проекции наклонных АВ и ВС на прямую АС. Треугольник АВС равнобедренный по условию теоремы. ВО — высота этого треугольника. Но высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является в то же время и медианой этого треугольника (§ 18).
Теорема 3 (обратная). Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.
Пусть АС и СВ — наклонные к прямой АВ (черт. 173). СО_|_ АВ и АО = ОВ.
Требуется доказать, что АС = ВС.
В прямоугольных треугольниках АОС и ВОС катеты АО и ОВ равны. СО — общий катет этих треугольников. Следовательно, /\ AOС = /\ ВОС. Из равенcтва треугольников вытекает, что АС = ВС.
Теорема 4.Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.
Пусть АВ и ВС — наклонные к прямой АО; ВО_|_АО и АО>СО. Требуется доказать, что АВ > ВС.
1) Наклонные расположены по одну сторону перпендикуляра.
Угол АСЕ внешний по отношению к прямоугольному треугольнику СОВ (черт. 174), а поэтому / АСВ > / СОВ, т. е. он тупой. Отсюда следует, что АВ > СВ.
2) Наклонные расположены по обе стороны перпендикуляра. Для доказательства отложим на АО от точки О отрезок ОК = ОС и соединим точку К с точкой В (черт. 175). Тогда по теореме 3 имеем: ВК = ВС, но АВ > ВК, следовательно, АВ > ВС, т. е. теорема справедлива и в этом случае.
Теорема 5 (обратная). Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.
Пусть КС и ВС — наклонные к прямой КВ (черт. 176), СО_|_КВ и КС > ВС. Требуется доказать, что КО > ОВ.
Между отрезками КО и ОВ может быть только одно из трёх соотношений:
КО не может быть меньше ОВ, так как тогда по теореме 4 наклонная КС была бы меньше наклонной ВС, а это противоречит условию теоремы.
Точно так же КО не может равняться ОВ, так как в этом случае по теореме 3 КС = ВС, что также противоречит условию теоремы.
Следовательно, остаётся верным только последнее соотношение, а именно, что КО > ОВ.
Ортогональнальная проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
Проекция прямой на плоскость
Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.
Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.
Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».
Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».
Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a’, образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.
Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).
Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице
Фигура
Рисунок
Свойство проекции
Наклонная к плоскости α
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.
Угол между прямой и плоскостью
Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.
Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O. )
На рисунке это угол φ
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).
Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O )
На рисунке это угол φ
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a’ на плоскость α перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.
На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P’ – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b’, параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b’, совпадет с прямой b.
Поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’. Прямая a перпендикулярна к прямой b’ по условию. Таким образом, прямая b’ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’, откуда вытекает, что прямая b’ перпендикулярна и к прямой a’, лежащей на плоскости POP’.
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a’ наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.
Прямая a’ перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’, поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b’, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P’O и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’. Тогда, в частности, прямая b’ перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP’.
«Магнитогорский технологический колледж имени В.П.Омельченко»
урока по математике
Тема:«Наклонная и ее проекция»
Разработчик: преподаватель Шаранова Т.Б.
Методическая разработка урока усвоения новых знаний по математике по теме «Наклонная и ее проекция» предназначена для текущего урока по разделу: « Геометрия»
Методическая разработка включает в себя:
Технологическую карту урока усвоения новых знаний ;
Описание хода урока ;
Отражение собственного опыта проведения урока.
Проведение урока усвоения новых знаний по данному разделу подразумевает не только взаимосвязь знаний по разным темам на одном занятии, но и интегрирование педагогических технологий, методов и форм обучения в пределах занятия.
Данная методическая разработка может быть рекомендована к использованию в средних профессиональных учебных заведениях.
План урока
1. Тема урока: «Наклонная и ее проекция».
2. Тип урока: урока усвоения новых знаний
3. Форма проведения урока: Комбинированный.
Параметры качества обучения
Обучающая: сформировать знания о понятиях перпендикуляра и наклонной, умения решать простейшие стереометрические задачи на вычисление расстояния от точки до плоскости, длин наклонной и её проекции.
определения и теоремы о перпендикулярности в пространстве;
определения понятий «перпендикуляр», «наклонная»;
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
5. Методическая характеристика урока
Методы стимулирования и мотивации интереса к учению.
Создание ситуаций познавательной новизны.
Поощрение в учении.
Примеры использования стереометрический понятий применения в жизни, в профессиональной деятельности.
— Использование доски, цветных мелков
-Доска, цветные мелки,
-Алгоритмическая запись на доске и в тетрадях решения типовых задач;
-Разбор разных способов решения задач на наклонную и ее проекцию;
— Атанасян, Л. С. и др. «Геометрия, 10-11», стр. 40 – 42, 44-46, §2, п. 19-20
— Доска, мел, тетради, ручки
Раздаточный материал: дидактические карточки по вариантам
Дидактические задачи этапа
Рефлексивная деятельность учащихся
Подготовка учащихся к работе на уроке.
Предъявление единых педагогических требований:
выявление отсутствующих на уроке;
проверка внешнего вида (соответствие требованиям внутреннего распорядка лицея).
Отвечают на приветствие. Староста докладывает о явке учащихся на занятие. Приводят в соответствие с требованиями внешний вид, рабочее место.
Психологическая установка на восприятие материала урока.
Организация внимания и готовности учащихся к уроку (устранение отвлекающих факторов: посторонний шум, лишние предметы на рабочем месте).
Готовятся к восприятию урока.
Подготовка к основному этапу урока.
Проверка домашнего задания.
Установление правильности и полноты выполнения домашнего задания.
Организация контроля знаний и умений учащихся и коррекция
Самоосмысление учебного материала.
Обеспечение возникновения у учащихся мотива – внутреннего побудителя деятельности, придающего ей личностный смысл и соответствующего требованиям учения и будущей профессии.
-Знаете ли вы как называется процесс получения неразъёмных соединений посредством установления межатомных связей между свариваемыми частями при их местном или общем нагреве, пластическом деформировании или совместном действии того и другого?
— А как называется неразъёмное соединение, выполненное с помощью сварки?
— с варным соединением;
— А какими основными умениями должен обладать сварщик?
— производить сварку конструкций во всех пространственных положениях сварного шва и уметь читать рабочие чертежи и схемы;
Рассмотрим сварку закладных деталей.
Закладные детали –это специальные металлические элементы, которые состоят из полосовой, круглой, уголковой стали.
Бывают открытые закладные конструкции и закрытые, закладные детали с перпендикулярными, параллельным, наклонным или же смешанным размещением анкерных стержней (последние могут быть с резьбой).
Т.о., простейшие приемы сварки вполне доступы, нужно иметь богатую фантазию и хорошо владеть сварочными аппаратами. От того как вы привариваете детали, можно получить нужную конструкцию.
Скажите, как с точки зрения геометрии можно расположить деталь относительно плоскости (поверхности)?
(Предполагаемый ответ: параллельно, перпендикулярно и под углом).
Осмысливают значимость материала данного урока в формировании профессионального опыта.
Тема сегодняшнего урока: «Наклонная и ее проекция».
Запишите тему в тетради.
Слушают название темы. Записывают в тетрадь.
Обеспечение самоосмысления через постановку цели.
Перед вами стоит следующая цель:
определения и теоремы о перпендикулярности в пространстве;
определения понятий «перпендикуляр», «наклонная»;
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;
анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве.
Учащиеся осмысливают и записывают цель в терминалах «иметь представление», «знать», «уметь».
Актуализация опорных знаний.
межпредметных (производственное обучение – спецпредметы – общеобразовательные предметы);
внутрепредметных (материал предыдущих и данного уроков).
Входной тест проводить в виде фронтального опроса все задачи решаются устно (См. приложение №1).
Вопросы базовых дисциплин или предыдущих уроков:
Сформулируйте теорему Пифагора.
Продолжить фразу: «Прямая d перпендикулярна плоскости β, если …»
Ответ: 1) называют определение перпендикулярности прямой и плоскости;
2)называют признак перпендикулярности прямой и плоскости
Отвечают на вопросы. Сравнивают свои ответы с эталонами (прилагаются). Определяют Ку– коэф. усвоения Ку = Рпр\Р, где Р – общее число существенных операций (ответов), Рпр. – число правильно выполненных существенных операций (ответов).
Коррекция опорных знаний.
Выявление пробелов и внесение исправлений, поправок в опорных знаниях учащихся.
Разбор вопросов, вызвавших затруднения. Доведение до Ку=0,7 опорных знаний.
Определяют и восполняют пробелы в знаниях.
Сильные помогают более слабым.
ориен-тировчной основы учебной деятельности. Получение новой информации.
Обеспечение восприятия и осмысления способов действий.
Разберём возможное применение понятия перпендикулярности прямой. Изобразите рисунок у себя в тетради.
Возьмём на данной прямой некоторую точку А.
Назовите понятие, которое определяет прямая по отношению точки А и плоскости.
С помощью перпендикулярной прямой можно определить расстояние от точки А до данной плоскости.
Отрезок АО называют расстоянием от точки А до данной плоскости, под которым понимают длину перпендикуляра опущенного на данную плоскость из данной точки.
Записывают в тетради.
Можно вместе с учащимися сформулировать определение данного понятия и затем записать в тетради.
С помощью преподавателя формулируют определение перпендикуляра
Через точку А можно провести различные прямые, назовите прямую проходящую под прямым углом.
Прямая проходящая под прямым углом к плоскости является перпендикулярной прямой к плоскости.
Такие прямые можно назвать наклонные.
Сформулируем определение наклонной прямой, и записывают его в тетради.
С помощью преподавателя формулируют определение наклонной.
Проведя различные прямые, мы получили множество точек в пересечении этих прямых и плоскости.
Назовём их: О – основание перпендикуляра.
Записывают новые понятия.
Мы назвали два отрезка: АО-перпендикуляр, АС – наклонная. Остался ещё один отрезок СО, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной. Этот отрезок называют проекцией наклонной. Запишите это определение (можно пояснить, что СО состоит из совокупности точек, являющихся проекциями точек прямой АС).
Записывают новые понятия.
Первичное закрепление базисного уровня
Обеспечение репродуктивного воспроизведения материала на основе алгоритма действий.
Итак, перечислите понятия, с которыми мы познакомились.
СО – проекция наклонной.
Проверка понимания алгоритма
Определение возможности допуска студентов к самостоятельной работе.
Рассмотрим задачи на закрепление данных понятий. (см. Приложение № 2)
Задача 1. Из точки А на плоскость опущен перпендикуляр длиной 4 см и проведена наклонная длиной 5 см. найдите длину проекции наклонной.
Отвечают на вопросы. Воспроизведение знаний ориентировочной основы действий.
С помощью преподавателя решают данную задачу (метод решения: Th Пифагора).
Сравнение своих ответов с эталонами
Закрепление базисного уровня.
Обеспечение репродуктивного воспроизведения материала.
Сравнение своих ответов с эталонами
Проверка понимания алгоритма действий.
Определение возможности допуска учащихся к итоговому тесту.
Задача 3. Из точки А к плоскости проведены две наклонные равные 10 см и 12 см. разность проекций этих наклонных равна 9 см. найдите проекции наклонных.
С помощью преподавателя решают данную задачу (Метод решения: рассматривается два прямоугольных треугольника, для которых по теореме Пифагора записываются формулы для вычисления длины перпендикуляра. Из этих формул приравниваются правые части, не содержащие отрезок-перпендикуляр и решается квадратное уравнение).
Сравнение своих ответов с эталонами
Коррекция знаний ориентировочной основы действий
Выявление пробелов и исправление ошибок в понимании ориентировочной основы действий.
Определяют и восполняют пробелы в знаниях. Задают вопросы.
Сильные помогают более слабым.
III. Основной этап работы.
Самостоятельная работа студентов по применению полученных знаний.
Обеспечение самореализации через саморегуляцию и
самоосмысление. Обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в знакомой и измененной ситуации.
Предлагается выполнить итоговый контроль по индивидуальным карточкам
Самостоятельное выполнение заданий с применением знаний в знакомой и измененной ситуациях.
IV. Заключительный этап урока
Анализ и оценка успешности достижения цели урока.
Подвести итоги за урок
Анализ работы каждого учащегося.
Сообщить оценку качества работы каждого учащегося.
Отметить, кто достиг отличного качества работы.
Разобрать наиболее характерные недочёты в работе учащихся и рекомендации по их устранению.
Слайд текст с целями проведённого мероприятия.
Самоанализ выполненной работы.
Развитие творческих способностей.
Формирование у учащихся ориентации на успех.
Поощрение учащихся в процессе достижения ими поставленной цели (в т.ч. слабых).
Саморегуляция через достижения цели
Обеспечение понимания цели домашнего задания. Обеспечение понимания содержания и способов выполнения домашнего задания.
1) Выучить определения перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной, признак перпендикулярности прямой и плоскости
2) Домашнее задание. Атанасян, Л. С. и др. «Геометрия, 10-11», с 40-42, №139.
Самоосмысливают способов выполнения домашнего задания.
Постановка новой цели к следующему уроку.
Создание мотивации через анализ результатов достигнутого, развивает аналитико – синтетическую деятельность учащихся.
— Тема следующего урока:
«Плоскости в пространстве.».
На следующем уроке мы рассмотрим:
Самоосмысление информации о задачах на ближайший урок.
Приложение № 1.
Решить квадратное уравнение: х 2 + 3х – 4 = 0
Вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если длины его катетов равны 2см и 3 см.
(Можно предложить учащимся данные задания в 2 вариантах)
Приложение №2
АС – перпендикуляр – отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости .
АВ – наклонная – любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром.
Примеры решения задач
Задача 1. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр и наклонная длиной 10 см. Найдите длину перпендикуляра, если длина проекции наклонной равна 6см.
радиан).
