что такое прочность на изгиб

iSopromat.ru

Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.

Рассмотрим способы расчета напряжений при плоском поперечном изгибе балки

Расчет напряжений

Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент M_x

представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.

Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:

где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
I_x — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.

По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.

Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y₁=y₂=h/2:

Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.

Для несимметричного сечения

напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:

где:

W_X — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
W_X(1) и W_X(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.

Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.

Условия прочности при изгибе

Прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.

В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.

Здесь:
M_max — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре M_x;
[ σ], [ σ]_р, [ σ]_с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).

Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [ σ]_с>[ σ]_р.

В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.

При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:

Прочность по касательным напряжениям

В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.

Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского

где
S_{x отс} — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
b_y — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.

Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Q_max:

где [ τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.

Полная проверка прочности

Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:

При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:

так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.

Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Определение предела прочности при изгибе

Прочность — свойство твердого тела сопротивляться воздействию внешних сил. Обычно прочность тела характеризуется величиной разрушающих нагрузок при сжатии, растяжении, изгибе, кручении и т. д. Предел прочности — это отношение наибольшей нагрузки до разрушения к первоначальной площади поперечного сечения образца. Прочность твердого сплава — одно из основных его свойств. Учитывая, что изделия из твердого сплава в большинстве своем подвергаются воздействию изгибающих нагрузок, предел прочности при изгибе является основной его характеристикой. Предел прочности при изгибе находится в обратной зависимости от твердости и увеличивается с возрастанием процентного содержания цементирующего металла (кобальта). Таким образом, на прочность при изгибе металлокерамических твердых сплавов решающее влияние оказывают химический состав сплава, а также величина зерен карбидов и толщина слоев цементирующего металла (кобальта). Титановольфрамовые сплавы по сравнению с вольфрамовыми являются менее прочными, так как карбид титана более хрупок, чем карбид вольфрама.

Большое значение для предела прочности при изгибе имеет величина прослоек цементрующей (кобальтовой) фазы, так как чем толще эта прослойка, тем меньше местные напряжения и больше прочность. С уменьшением прослоек цементирующей фазы уменьшается прочность сплава. Толщина прослоек в свою очередь зависит от химического состава сплава и величины зерен карбидной фазы. Толщина прослоек увеличивается с увеличением содержания цементирующей фазы в сплаве и зерна карбидной составляющей.

Для определения предела прочности при поперечном изгибе образцов твердых сплавов применяют метод разрушения свободно лежащего на двух опорах образца одной сосредоточенной силой. При данном виде испытаний образец твердого сплава свободно лежит на двух опорах, а в центре образца приложена статическая нагрузка.

Предел прочности при изгибе сосредоточенной нагрузкой рассчитывают по формуле

где M = Pl/4 — максимальный изгибающий момент, кГ*мм2;

W = bh2/6 момент сопротивления образца прямоугольного сечения, мм3;

P — разрушающая нагрузка, кГ;

b — ширина образца, мм;

h — высота образца, мм;

l — расстояние между опорами, мм.

Испытание на изгиб проводят на образцах в форме правильного бруска квадратного сечения размером 5±0,2 * 5±0,2 * 35±1 мм. Образцы готовят в одногнездных прессформах, на образце указывают сторону давящего пуансона

На прессованных образцах необходимо снять заусенцы. Поверхность образцов после спекания не шлифуют. Скорость нагружения при испытании должна быть постоянной в пределах 4—10 мм/мин. Испытанию подвергают 20 образцов каждой партии смеси.

В процессе испытаний необходимо соблюдать следующую последовательность. Вначале измеряют ширину и высоту посередине образца индикатором часового типа или микрометром с точностью до 0,01 мм, затем образцы устанавливают на опорах так, чтобы к стороне приложения усилия при их прессовании прикладывалась разрушающая сила. После этого прикладывают нагрузку к середине образца через вертикальный пуансон приспособления. Нагрузка должна быть не мгновенной, а постепенно возрастающей. Расстояние между местом приложения силы и серединой пролета не должно превышать ±0,5 мм.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Вступление

Когда объект, состоящий из одного материала, например, деревянная балка или стальной стержень, изгибается (рис. 1), он испытывает ряд напряжений по своей глубине (рис. 2). На краю объекта на внутренней стороне изгиба (вогнутой поверхности) напряжение будет равно максимальному значению сжимающего напряжения. На внешней стороне изгиба (выпуклая поверхность) напряжение будет иметь максимальное значение растяжения. Эти внутренние и внешние края балки или стержня известны как «крайние волокна». Большинство материалов обычно разрушаются под действием растягивающего напряжения, прежде чем они разрушаются под действием сжимающего напряжения, поэтому максимальное значение растягивающего напряжения, которое может выдерживаться до того, как балка или стержень выйдет из строя, является их прочностью на изгиб.

Прочность на изгиб в сравнении с пределом прочности при растяжении

Если не принимать во внимание какие-либо дефекты, очевидно, что материал разрушится под действием изгибающей силы, которая меньше соответствующей растягивающей силы. Обе эти силы будут вызывать одно и то же напряжение разрушения, значение которого зависит от прочности материала.

Для прямоугольного образца результирующее напряжение под действием осевой силы определяется по следующей формуле:

Это напряжение не является истинным напряжением, поскольку поперечное сечение образца считается неизменным (инженерное напряжение).

Результирующее напряжение для прямоугольного образца под нагрузкой в ​​установке для трехточечного изгиба (рис. 3) определяется формулой ниже (см. «Измерение прочности на изгиб»).

Уравнение этих двух напряжений (разрушения) дает:

Измерение прочности на изгиб

Для прямоугольного образца под нагрузкой в ​​установке трехточечного изгиба (рис.3):

Для прямоугольного образца, находящегося под нагрузкой в ​​установке для четырехточечного изгиба, где диапазон нагрузки составляет одну треть пролета опоры:

Для установки 4-точечного изгиба, если диапазон нагрузки составляет 1/2 пролета опоры (т.е. L _i = 1/2 L на рис. 4):

Если диапазон нагрузки не составляет ни 1/3, ни 1/2 от пролета опоры для установки 4-х точечного изгиба (рис. 4):

Источник

Изгиб.

Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.

Внутренние силовые факторы при изгибе балки.

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечных сил Q:

Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов M:

Дифференциальные зависимости Журавского.

Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:

На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:

Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.

1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией, параллельной базе эпюре, а эпюра М — наклонной прямой (рис. а).

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента, (рис. 26, б).

4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М — по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).

5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M_max или M_min (рис. г).

Нормальные напряжения при изгибе.

Определяются по формуле:

Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:

Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.

Касательные напряжения при прямом изгибе.

Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:

Расчеты на прочность при изгибе.

1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:

2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:

3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:

Далее по полученному значению [M_x] определяют допускаемые значения внешних поперечных нагрузок [Q] и внешних изгибающих моментов [M_внеш]. Условие прочности имеет вид:

Перемещения при изгибе.

Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)

Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина.

Метод Мора.

Порядок определения перемещений по методу Мора:

1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.

3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.

Правило Верещагина.

Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.

где A_f – площадь эпюры изгибающего момента М_f от заданной нагрузки; y_c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М_f ; EI_x – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A_f*y_c) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М_f должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое «расслоение эпюры»), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.

Источник

Расчет прочности на изгиб

Прочность на изгиб – важное механическое свойство, характеризуемое пределом прочности породы при изгибе в сухом состоянии, которое дополняет основную информацию о породе, предопределяющую ее назначение. В отечественных стандартах указано, что эта характеристика определяется по требованию потребителя. В то же время нормативные документы в Италии предусматривают испытания на изгиб как обязательные для пород, предназначенных для изготовления плит и изделий наружной облицовки, а также несущих ступеней (практика показывает, что такие изделия в наибольшей мере подвергаются воздействию изгибающих нагрузок).

Испытания на изгиб производят на образцах пород в виде призм-балочек с размерами 40 x 40 x 160 мм (10 x 10 x 120 мм), используя в качестве оборудования специальные машины например модели МИН-100 (рис. 17). Нагрузка прилагается сосредоточенно в середине длинной стороны балоч- ки с помощью полукруглого «ожа. Наибольшее напряжение при изгибе равно отношению изгибающего момента к моменту сопротивления соответствующего сечения. Испытания на изгиб целесообразно производить на прессе малой мощности (с предельной нагрузкой до 25 кН).

Расчет предела прочности при изгибе R_изг (МПа) производится по формуле

где P – разрушающее усилие, кН; l – расстояние между опорами, см; Ь и h – соответственно ширина и высота поперечного сечения призмы- образца, CM.

Предел прочности при изгибе для горной породы вычисляют как среднее арифметическое результатов испытаний трех образцов.

Источник